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| Aufgabe | Ein Polygon sei definiert durch die folgenden vier Punkte, die in dieser Reihenfolge miteinander verbunden sind. P1 = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1}, [/mm] P2 = [mm] \vektor{4 \\ 1 \\ 0}, [/mm] P3 = [mm] \vektor{-2 \\ 1 \\ 2}, [/mm] P4 = [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 1 }.
[/mm]
Wir betrachten einen Strahl g in z-Richtung, ausgehend vom Punkt V = [mm] (-2,0,0)^{T}.
[/mm]
a) Bestimmen Sie den Schnittpunkt S der Polygonebene mit dem Strahl g. (Berechnen Sie hierfür den Normalenvektor n der Polygonebene)
b) Projizieren Sie die Punkte P1,P2,P3,P4 und den Schnittpunkt S entlang der treibenden Achse des Normalenvektors n. |
zu a)
wie fange ich hier an?
Den Normalenvektor der Polygonebenen : n = [mm] \bruch{\vec{n}}{\vec{||n||}}
[/mm]
= ((P2-P1)x(P3-P1))/ [mm] \vec{||n||}
[/mm]
wäre in diesem Fall [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 6} [/mm] / [mm] \wurzel{40}
[/mm]
wenn ich aber nun (P3-P2)x(P4-P2) berechne kommt [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] heraus.
Was mache ich falsch?
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Hallo diemelli1,
> Ein Polygon sei definiert durch die folgenden vier Punkte,
> die in dieser Reihenfolge miteinander verbunden sind. P1 =
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 1},[/mm] P2 = [mm]\vektor{4 \\ 1 \\ 0},[/mm] P3 =
> [mm]\vektor{-2 \\ 1 \\ 2},[/mm] P4 = [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ 1 }.[/mm]
> Wir
> betrachten einen Strahl g in z-Richtung, ausgehend vom
> Punkt V = [mm](-2,0,0)^{T}.[/mm]
> a) Bestimmen Sie den Schnittpunkt S der Polygonebene mit
> dem Strahl g. (Berechnen Sie hierfür den Normalenvektor n
> der Polygonebene)
> b) Projizieren Sie die Punkte P1,P2,P3,P4 und den
> Schnittpunkt S entlang der treibenden Achse des
> Normalenvektors n.
> zu a)
>
> wie fange ich hier an?
> Den Normalenvektor der Polygonebenen : n =
> [mm]\bruch{\vec{n}}{\vec{||n||}}[/mm]
>
> = ((P2-P1)x(P3-P1))/ [mm]\vec{||n||}[/mm]
> wäre in diesem Fall [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ 6}[/mm] / [mm]\wurzel{40}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> wenn ich aber nun (P3-P2)x(P4-P2) berechne kommt [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> heraus.
Poste doch mal, wie Du zu diesem Ergebnis kommst.
>
> Was mache ich falsch?
Gruss
MathePower
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Hallo Mathepower,
hier meine Rechnung:
(P3-P2)x(P4-P2)
[mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ 1 \\ 2 } [/mm] - [mm] \vektor{4 \\ 1 \\ 0} [/mm] x [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 1 } [/mm] - [mm] \vektor{4 \\ 1 \\ 0 } [/mm] = [mm] \vektor{-6 \\ 0 \\ 2 } [/mm] x [mm] \vektor{-3 \\ 0 \\ 1 }
[/mm]
dann wende ich das Kreuzprodukt an:
[mm] \vektor{0*1 - 2*0 \\ 2* (-3) - (-6)*1 \\ -6*0 - 0*(-3)} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
was mache ich falsch?
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> Hallo Mathepower,
> hier meine Rechnung:
>
> (P3-P2)x(P4-P2)
>
> [mm]\vec{n}[/mm] [mm] =\red{(}[/mm] [mm]\vektor{-2 \\
1 \\
2 }[/mm] - [mm]\vektor{4 \\
1 \\
0}[/mm][mm] \red{)} [/mm] x [mm] \red{(}[/mm] [mm]\vektor{1 \\
-1 \\
1 }[/mm] - [mm]\vektor{4 \\
1 \\
0 }[/mm]red{)} = [mm]\vektor{-6 \\
0 \\
2 }[/mm] x [mm]\vektor{-3 \\
0 \\
1 }[/mm]
Hallo,
Du hast Dich bei der zweiten Differenz vertan.
Was ist denn (-1)-1?
Gruß v. Angela
>
> dann wende ich das Kreuzprodukt an:
> [mm]\vektor{0*1 - 2*0 \\
2* (-3) - (-6)*1 \\
-6*0 - 0*(-3)}[/mm] =
> [mm]\vektor{0 \\
0 \\
0 }[/mm]
>
> was mache ich falsch?
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Guten morgen Angela,
oh je... da hast du vollkommen recht. Natürlich ist die Differnz nicht 0, sondern 1.
Der Normalenvektor ist in diesem Fall also [mm] \vektor{-4 \\ 0 \\ -12 }/ \wurzel{160}, [/mm] dieses ergibt das gleiche Ergebnis wie [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 6 }/ \wurzel{40}. [/mm] Lediglich die Vorzeichen sind anders.
Wie bekomme ich nun den Schnittpunkt S heraus?
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Hallo,
> Natürlich ist die
> Differnz nicht 0, sondern 1.
Nö. Sondern -2, aber ich glaube, Du hast auch damit gerechnet.
> Der Normalenvektor ist in diesem Fall also [mm]\vektor{-4 \\
0 \\
-12 }/ \wurzel{160},[/mm]
> dieses ergibt das gleiche Ergebnis wie [mm]\vektor{2 \\
0 \\
6 }/ \wurzel{40}.[/mm]
> Lediglich die Vorzeichen sind anders.
An dieser Stelle wäre mal lohnenswert, innezuhalten und darüber nachzudenken, warum Du diese beiden Normalenvektoren überhaupt berechnet hast und was Du jetzt weißt
.
>
> Wie bekomme ich nun den Schnittpunkt S heraus?
Ebenengleichung aufstellen, Geradengleichung aufstellen und dann, je nachdem für welche Form der Gleichungen Du Dich entschieden hast, einsetzen oder gleichsetzen.
Gruß v. Angela
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:)) klar ich meinte -2 nicht 1. Habe auch mit -2 gerechnet.
Hmmm, wie kann ich denn eine Ebengleichung aufstellen, wenn ich 4 Punkte habe? Irgendwie komme ich damit nicht klar. Betrachte ich einfach nur 3 Punkte?
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> Hmmm, wie kann ich denn eine Ebengleichung aufstellen, wenn
> ich 4 Punkte habe? Irgendwie komme ich damit nicht klar.
Hallo,
Dir ist aber klar, daß jede Ebene sehr viel mehr als drei Punkte enthält, oder? Natürlich sagt man Dir diese vielen Punkte in der Regel nicht alle auf.
Was braucht man zum Aufstellen einer Ebenengleichung? Mindestens(!!!) drei Punkte der Ebene, welche nicht auf einer Geraden liegen.
Wenn aber 13 solcher Punkte angegeben sind, wen stört's? Niemanden.
(Du kannst natürlich auch die Normalenform hinschreiben.)
> Betrachte ich einfach nur 3 Punkte?
Genau. Sie dürfen halt nicht auf einer Geraden liegen.
Aber nochmal was anderes, Du bist leider zuvor nicht darauf eingegangen: ist Dir klar, daß Du vorhin gezeigt hast, daß die 4 Punkte in einer gemeinsamen Ebene liegen?
Gruß v. Angela
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Hallo zusammen,
sorry das ich schon wieder eine Frage zu dieser Aufgabe stelle.
> Dir ist aber klar, daß jede Ebene sehr viel mehr als drei Punkte enthält, oder? Natürlich sagt man Dir diese vielen Punkte in der Regel nicht alle auf. Was braucht man zum Aufstellen einer Ebenengleichung?Mindestens(!!!) drei Punkte der Ebene, welche nicht auf einer Geraden liegen. Wenn aber 13 solcher Punkte angegeben sind, wen stört's? Niemanden.
Das ist mir klar. Hätte mir die Frage sparen können.
Ich habe nun die Ebenegleichung in Parameterform aufgestellt indem ich nur die Pkt P1,P2 und P3 genommen habe. E = (P1) + r(P2-P1) + s(P3-P1)
[mm] E:\vec{x}= \vektor{1 \\ 0 \\1} [/mm] + r [mm] \vektor{3 \\ 1 \\ -1} [/mm] +s [mm] \vektor{-3 \\ 1 \\ 1} [/mm]
Die Koordinatenform der Ebene lautet 2x + 0y + 6z = 8 (d = [mm] \vec{n}* \vec{OV})
[/mm]
Wie stelle ich nun meinen Strahl g auf? Ich weiß das er im Punkt V=(-2,0,0) beginnt und parallel zur z Achse (also in Richtung [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}) [/mm] verläuft.
heißt es g= [mm] \vektor{-2 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] da kommt aber irgendwie nichts raus.
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> Ich habe nun die Ebenegleichung in Parameterform
> aufgestellt indem ich nur die Pkt P1,P2 und P3 genommen
> habe. E = (P1) + r(P2-P1) + s(P3-P1)
> [mm]E:\vec{x}= \vektor{1 \\
0 \\
1}[/mm] + r [mm]\vektor{3 \\
1 \\
-1}[/mm] +s [mm]\vektor{-3 \\
1 \\
1}[/mm]
>
> Die Koordinatenform der Ebene lautet 2x + 0y + 6z = 8 (d = [mm]\vec{n}* \vec{OV})[/mm]
>
> Wie stelle ich nun meinen Strahl g auf? Ich weiß das er im
> Punkt V=(-2,0,0) beginnt und parallel zur z Achse (also in
> Richtung [mm]\vektor{0 \\
0 \\
1})[/mm] verläuft.
>
> heißt es g= [mm]\vektor{-2 \\
0 \\
0}[/mm] + [mm]\lambda \vektor{0 \\
0 \\
1}[/mm]
Neiiiin!
Es heißt g: [mm] \qquad\qquad\\qquad \vec{x}=$\vektor{-2 \\ 0 \\ 0}$ [/mm] + [mm] $\lambda \vektor{0 \\ 0 \\ 1}$ [/mm]
> da kommt aber irgendwie nichts raus.
Wenn man Dir bei der Rechnung helfen soll, müßte man sie sehen.
Ich vermute, daß Du mit den drei Variablen durcheinander kommst.
Du kannst aber bequemer mit der Koordinatenform arbeiten, indem Du für x die "erste Etage" der Parameterform der Geraden einsetzt, für y die zweite und für z die dritte.
Dann hast Du nur eine Variable, und das Ergebnis sollte Dir eigentlich in den Schoß hüpfen.
Gruß v. Angela
>
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Guten morgen und vielen dank für die Hilfe.
Ich habe [mm] g:\vec{x} [/mm] in die Koordinatenform der Ebene eingesetzt und folgendes herausbekommen.
E: 2x1 + 6x3 = 8
[mm] g:\vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{-2\\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
2(-2 + [mm] \lambda [/mm] 0) + 6 (0 - [mm] \lambda) [/mm] = 8
-4 - [mm] 6\lambda [/mm] = 8
[mm] \lambda [/mm] = -2
[mm] \vektor{x-2\\ 0 \\ 0} [/mm] + (-2) * [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ 0 \\ -2}
[/mm]
Der Schnittpunkt S der Polygonebene mit dem Strahl g liegt also im Punkt (-2,0,-2).
Wie ist Aufgabe b) gemeint? Was verstehe ich unter Projizieren Sie die Punkte P1,P2,P3,P4 und den Schnittpunkt S entlang der treibenden Achse des Normalenvektors?
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> Guten morgen und vielen dank für die Hilfe.
>
> Ich habe [mm]g:\vec{x}[/mm] in die Koordinatenform der Ebene
> eingesetzt und folgendes herausbekommen.
>
> E: 2x1 + 6x3 = 8
> [mm]g:\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{-2\\
0 \\
0}[/mm] + [mm]\lambda \vektor{0 \\
0 \\
1}[/mm]
>
> 2(-2 + [mm]\lambda[/mm] 0) + 6 (0 - [mm]\lambda)[/mm] = 8
> -4 - [mm]6\lambda[/mm] = 8
> [mm]\lambda[/mm] = -2
>
> [mm]\vektor{x-2\\
0 \\
0}[/mm] + (-2) * [mm]\vektor{0 \\
0 \\
1}[/mm] =
> [mm]\vektor{-2 \\
0 \\
-2}[/mm]
>
> Der Schnittpunkt S der Polygonebene mit dem Strahl g liegt
> also im Punkt (-2,0,-2).
Hallo,
Du hast richtig verstanden, was Du tun sollst.
Allerdings solltest Du ins Grübeln geraten, denn wenn Du Deinen neu gewonnenen Schnittpunkt S in die Ebenengleichung einsetzt, dann stellst Du fest, daß er gar nicht in der Ebene liegt...
Du hast einen Fehler gemacht, welchen ich oben rot markiert habe.
Er hat natürlich Folgen.
>
> Wie ist Aufgabe b) gemeint? Was verstehe ich unter
> Projizieren Sie die Punkte P1,P2,P3,P4 und den Schnittpunkt
> S entlang der treibenden Achse des Normalenvektors?
Hm. Mir fehlt da was, nämlich die Ebene, auf welche projiziert werden soll.
Da bin ich ratlos im Moment.
Gruß v. Angela
>
>
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Hallo Angela,
ich habe mich auch schon gewundert, dass S nicht in der Ebene liegt.
Aber wo ist der Fehler? Ich kann leider keine rote Makierung sehen.
Falls du den Tippfehler meinst [mm] .....\vektor{x-2 \\ 0 \\0 } [/mm] + (-2) * [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] ... das sollte natürlich [mm] \vektor{-2 \\ 0 \\0 } [/mm] + (-2) * [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] heißen und verändert das Ergebnis nicht.
zu b) ich verstehe die Aufgabe so, dass ich die z-Ebene = 0 setzten muss und nun nur noch 2 dimensional Werte habe. (Es geht hier in der Aufgabenstellung um einen Point-in-Polygon-Test, bei der der größte Werte des Normalenvektors gleich 0 gesetzt wird)
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> Hallo Angela,
> ich habe mich auch schon gewundert, dass S nicht in der
> Ebene liegt.
> Aber wo ist der Fehler? Ich kann leider keine rote
> Makierung sehen.
Hallo,
ich hab' das rote Minuszeichen in meiner vorhergehenden Antwort jetzt dicker gemacht.
>
> zu b) ich verstehe die Aufgabe so, dass ich die z-Ebene = 0
> setzten muss und nun nur noch 2 dimensional Werte habe.
Wenn es so ist, wie ich Dich verstehe, Du also auf die xy-Ebene entlang des Vektors [mm] \vektor{1\\0\\3} [/mm] projizieren sollst, dann mußt Du den Ortsvektor eines jeden Punktes schreiben als
[mm] \overrightarrow{0P_i}=a_i\vektor{1\\0\\0}+b_i\vektor{0\\1\\0}+c_i\\overrightarrow{0P_i}=a_i\vektor{1\\0\\0}+b_i\vektor{0\\1\\0}+c_i\vektor{1\\0\\3}
[/mm]
Die Projektion entlang des Normalenvektors [mm] \vektor{1\\0\\3} [/mm] auf die xy-Ebene wäre dann
[mm] \overrightarrow{0P_i'}=a_i\vektor{1\\0\\0}+b_i\vektor{0\\1\\0}
[/mm]
> (Es
> geht hier in der Aufgabenstellung um einen
> Point-in-Polygon-Test, bei der der größte Werte des
> Normalenvektors gleich 0 gesetzt wird)
Mit solchen Test kenne ich mich nicht aus.
Gruß v. Angela
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