Schnittpunkt im Dreieck < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die drei Punkte A (6/0/0) B (0/8/0 und C (0/0/4) bilden ein Dreieck.
a) Berechnen sie den Schnittpunkt S der Seitenhalbierenden für das gegebene Dreieck.
b) Weisen sie nach, dass alle Seitenhalbierenden des Dreiecks durch diesen Punkt verlaufen. |
Hallo zusammen,
es geht um oben genannte Aufgabe. Ich habe schon eine Weile rumprobiert und gerechnet, kam aber nie wirklich auf ein zufriedenstellendes Ergebnis.
Zuerst habe ich versucht, die Seiten a, b und c sowie die Seitenhalbierenden durch Vektoren zu beschreiben, was auch geklappt hat. Nur weiß ich nicht, wie man den Schnittpunkt von Vektoren ausrechnen soll?
Danach habe ich die Seitenhalbierenden durch Geraden im Raum dargestellt, was ebenfalls geklappt hat. Für 2 habe ich einen Schnittpunkt rausbekommen, die dritte verläuft aber überhaupt nicht durch diesen Punkt.
Wie geht man nun sinnvoll an sowas heran? Wäre für jede hilfe dankbar.
Und nebenbei, kennt jemand ein schlichtes und gutes Programm, was mir ein kartesisches Koordinatensystem zeichnet und Punkte und Geraden darstellt? Ich finde sowas nicht.
Vielen Dank 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:53 Mi 23.02.2011 | | Autor: | abakus |
> Die drei Punkte A (6/0/0) B (0/8/0 und C (0/0/4) bilden ein
> Dreieck.
>
> a) Berechnen sie den Schnittpunkt S der Seitenhalbierenden
> für das gegebene Dreieck.
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> b) Weisen sie nach, dass alle Seitenhalbierenden des
> Dreiecks durch diesen Punkt verlaufen.
> Hallo zusammen,
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> es geht um oben genannte Aufgabe. Ich habe schon eine Weile
> rumprobiert und gerechnet, kam aber nie wirklich auf ein
> zufriedenstellendes Ergebnis.
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> Zuerst habe ich versucht, die Seiten a, b und c sowie die
> Seitenhalbierenden durch Vektoren zu beschreiben, was auch
> geklappt hat. Nur weiß ich nicht, wie man den Schnittpunkt
> von Vektoren ausrechnen soll?
>
> Danach habe ich die Seitenhalbierenden durch Geraden im
> Raum dargestellt, was ebenfalls geklappt hat. Für 2 habe
> ich einen Schnittpunkt rausbekommen, die dritte verläuft
> aber überhaupt nicht durch diesen Punkt.
>
> Wie geht man nun sinnvoll an sowas heran? Wäre für jede
> hilfe dankbar.
Hallo,
stelle die Gleichungen folgender drei Gerade auf:
Gerade durch A und den Mittelpunkt von BC
Gerade durch B und den Mittelpunkt von AC
Gerade durch C und den Mittelpunkt von AB
Ermittle den Schnittpunkt S der ersten beiden Geraden.
Weise nach, dass dieser Punkt S auch auf der dritten Geraden liegt.
Gruß Abakus
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> Und nebenbei, kennt jemand ein schlichtes und gutes
> Programm, was mir ein kartesisches Koordinatensystem
> zeichnet und Punkte und Geraden darstellt? Ich finde sowas
> nicht.
>
> Vielen Dank
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Also habe ich die drei Geraden:
[mm] x = \vektor{6 \\ 0 \\ 0} + r * \vektor{-6 \\ 4 \\ 2}
y = \vektor{0 \\ 8 \\ 0} + s * \vektor{3 \\ -8 \\ 2}
z = \vektor{0 \\ 0 \\ 4} + t * \vektor{3 \\ 4 \\ -4}[/mm]
Wenn das soweit stimmt, habe ich für den Schnittpunkt von x und y den Punkt [mm] S ( 2 / \bruch{8}{3} / \bruch{4}{3} ) [/mm] heraus, mit r und s = 2/3
Gerade z schneidet diesen Punkt ebenso bei t = 2/3
Stimmt das so? Ist damit genug bewiesen oder fehlt irgendwas oder ist das gar falsch?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:18 Mi 23.02.2011 | | Autor: | abakus |
> Also habe ich die drei Geraden:
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> [mm]x = \vektor{6 \\ 0 \\ 0} + r * \vektor{-6 \\ 4 \\ 2}
y = \vektor{0 \\ 8 \\ 0} + s * \vektor{3 \\ -8 \\ 2}
z = \vektor{0 \\ 0 \\ 4} + t * \vektor{3 \\ 4 \\ -4}[/mm]
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> Wenn das soweit stimmt, habe ich für den Schnittpunkt von
> x und y den Punkt [mm]S ( 2 / \bruch{8}{3} / \bruch{4}{3} )[/mm]
> heraus, mit r und s = 2/3
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> Gerade z schneidet diesen Punkt ebenso bei t = 2/3
>
> Stimmt das so? Ist damit genug bewiesen oder fehlt
> irgendwas oder ist das gar falsch?
Hallo,
ohne groß nachzurechnen: Die Seitenhalbierenden werden durch ihren gemeinsamen Schnittpunkt jeweils im Verhältnis 2:1 geteilt (das längere Stück ist also 2/3 der Gesamtlänge der jeweiligen Seitenhalbierenden).
Dein Zwischenergebnis r=s=t=2/3 ist also goldrichtig, und damit dürfte alles stimmen.
Gruß Abakus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:25 Mi 23.02.2011 | | Autor: | Lauschgift |
Gut, dann vielen Dank für die Hilfe
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