Schnittpunkt mit Tangente < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Tangente an [mm] y=e^x [/mm] im Punkt [mm] (x_0|y_0) [/mm] mit der x-Achse. Würden Sie ein ähnliches Ergebnis auch bei einer anderen Basis erwarten? |
Guten Morgen!
Könnt ihr mir helfen?
Ich habe das so gemacht:
1.Ableitung: [mm] y=e^x
[/mm]
Die Steigung der Tangente ist dann [mm] e^x_0.
[/mm]
Damit gilt [mm] y_0=(e^x_0)*x [/mm] + b
usw.
Ist das der richtige Weg?
Was kriegt ihr als Lösung?
Gruß
|
|
| |
|
Hallo Micchecker,
der Ansatz ist schon richtig.
Beachte nur, dass du bei der Eingabe geschweifte Klammern brauchst, denn nur $e^{x_0}$ erzeugt [mm] $e^{x_0}$. [/mm] (Ja ja, die liebe Technik...)
Also die Tangentensteigung ist bekannt, es fehlt noch der Achsen-Abschnitt $t$, also
[mm] $y=e^{x_0}x+t$.
[/mm]
Die Tangente verläuft durch [mm] $(x_0,y_0)$, [/mm] also gilt
[mm] $y_0=e^{x_0}x_0+t.$
[/mm]
(Nicht vergessen: [mm] $y_0=e^{x_0}$. [/mm]  )
So bekommst du auch $t$ und kannst die Nullstelle dieser Geradengleichung bestimmen.
Bekommst du etwas Vernünftiges raus?
(zur Kontrolle: für [mm] $x_0=0$ [/mm] liegt die Nullstelle bei $-1$)
Hugo
|
|
|
| |
|
Nein, ich erhalte für die Nullstelle
[mm] x=x_0 [/mm] -1
Wieso setze ich bei dem Schnittpunkt mit x-Achse [mm] x_0 [/mm] = 0. Die Bedingung ist doch y=0?
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:56 Mo 06.02.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
mit Nullstelle x= x0-1 hast du recht! Der andere Vorschlag war nur WENN x0=0 dann ist die Nulstelle x=-1.
jetzt nur noch für andere exp funktionen. da solltest du dasselbe mit nem Faktor rauskriegen.
Das "Schöne" was du hier rausgefunden hast, ist wie leicht man die Tangente zeichnen kann, weil man den Punkt auf der x- Achse so leicht findet.
das ist für andere Grundzahlen nicht so!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Hallo Micchecker,
leduart erklärt genau das, was ich mit meiner Angabe gemeint habe:
deine Lösung [mm] $x=x_0-1$ [/mm] ist richtig, so dass (zur Kontrolle) für das Beispiel [mm] $x_0=0$ [/mm] der Schnittpunkt bei $-1$ liegt.
Hugo
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:49 Mo 06.02.2006 | | Autor: | riwe |
das ist der richtige weg
jetzt mußt du noch b bestimmen und bekommst dann den schnittpunkt mit der x- achse zu [mm] x_1=x_0-y_0 \cdot e^{-x_0}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:58 Mo 06.02.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo riwe
> das ist der richtige weg
> jetzt mußt du noch b bestimmen und bekommst dann den
> schnittpunkt mit der x- achse zu [mm]x_1=x_0-y_0 \cdot e^{-x_0}[/mm]
das ist ungeschickt geschrieben, da y0= [mm] e^{x_0}, [/mm] also x1=x0-1.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:52 Mo 06.02.2006 | | Autor: | riwe |
man muß ja nicht immer alles gleich verraten!
werner
|
|
|
|
