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| Aufgabe | Gegeben Sei
f(x)=x³ * [mm] e^{-0,5x}^2 [/mm] ; x€R
Ihr Schaubild sei K.
Für welche Werte von a schneidet K die Kurve mit der Gleichung y=ax³ in einem Punkt S(X/Y) mit x>0
Gegen welchen Grenzwert strebt a für x->0? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe die Gleichung f(x) gleichgesetzt mit [mm] y=ax^3
[/mm]
Ergebnis: [mm] \bruch{-x^2}{e^2} [/mm] = [mm] \bruch{ax^3}{x^3} [/mm]
Ist dies richtig? - Kann ich hier kürzen??
Wie muss ich nun weiterrechnen. Ich weiß nicht, wie ich den Logarithmus nun anwenden soll.
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> Gegeben Sei
> f(x)=x³ * [mm]e^{-0,5x}^2[/mm] ; x€R
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> Ihr Schaubild sei K.
Ich vermute die Funktion f(x) = [mm] $x^3 [/mm] * [mm] e^{-0.5 x^2}$ [/mm] ist gemeint.
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> Für welche Werte von a schneidet K die Kurve mit der
> Gleichung y=ax³ in einem Punkt S(X/Y) mit x>0
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> Gegen welchen Grenzwert strebt a für x->0?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Ich habe die Gleichung f(x) gleichgesetzt mit [mm]y=ax^3[/mm]
Gute Idee.
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> Ergebnis: [mm] \bruch{-x^2}{e^2}[/mm] = [mm] \bruch{ax^3}{x^3}[/mm]
Diese Rechnung erschließt sich mir nicht...
Zunächst geht es ja um das a und danach lässt sich herrlich einfach auflösen, indem man die Gleichung durch [mm] $^x^3$ [/mm] dividiert - was geht, da wir ohnehin nur x>0 suchen und betrachten.
Damit ist $a= [mm] e^{-0.5 x^2}$
[/mm]
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> Ist dies richtig? - Kann ich hier kürzen??
> Wie muss ich nun weiterrechnen. Ich weiß nicht, wie ich
> den Logarithmus nun anwenden soll.
Jetzt kann man schon sehen, für welche Werte von a diese Gleichung überhaupt nur erfüllt werden kann (unter der Voraussetzung x>0), man kann es aber auch herausfinden, indem man die Gleichung nach x auflöst (wozu man dann den Logarithmus braucht):
(sorry, wird jetzt etwas kürzer, muss los)
Zunächst mal muss a>0 gelten, da e hoch bla ebenfalls immer >0 ist.
Dann den ln auf beiden Seiten ziehen und umstellen gibt
[mm] $x^2 [/mm] = -2 * ln(a)$
Hier sieht man, dass das nur geht, wenn $ln(a)<0$ ist, d.h. a<1.
Damit gibt es also im gewünschten Bereich einen Schnittpunkt für 0<a<1 und für den Grenzwert benutzt man dann die nach a umgestellte Form von oben und lässt x gegen 0 gehen.
Klingt kompliziert, die Rechnungen sind aber wirklich sehr einfach  .
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