Schnittpunkt von vier Kugeln < Sonstiges < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:58 Mi 04.06.2008 | | Autor: | Yak90 |
| Aufgabe | I: [mm]s^2 = x^2+y^2+z^2[/mm]
II: [mm](s-d_1)^2 = (x-x_1)^2+(y-y_1)^2+(z-z_1)^2[/mm]
III: [mm](s-d_2)^2 = (x-x_2)^2+(y-y_2)^2+(z-z_2)^2[/mm]
IV:[mm] (s-d_3)^2 = (x-x_3)^2+(y-y_3)^2+(z-z_3)^2[/mm]
Löse nach s, x, y und z!
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Es geht darum den Schnittpunkt von vier Kugeln zu finden.
Der Radius der Kugeln ist nicht bekannt, aber die Differenz der Radien schon.( [mm]r_0 = s,r_1 = s-d_1,...[/mm])
Auch der Mittelpunkt jeder Kugel ist bekannt ([mm]M_0(0;0;0),M_1(x_1;y_1;z_1),...[/mm]).
Eine weitere wichtige Information ist, dass
die vier Kugeln nicht auf einer Ebene liegen. Algebraisch habe ich das so formuliert:
[mm]a*x_1 + b*x_2 \ne x_3[/mm]
[mm]a*y_1 + b*y_2 \ne y_3[/mm]
[mm]a*z_1 + b*z_2 \ne z_3[/mm]
für jedes [mm]a,b \in R \setminus {0}[/mm]
Es ist mir nicht gelungen das Gleichungssystem per Hand (die Terme werden sehr schnell sehr lang und man hat mehre plusminuse die aber nicht zusammen gehören) oder mit Derive oder Maxima zu lösen. Allerdings bin ich nie in der Lage gewesen die letzte Bedingung/Information in meinen Lösungsversuch einzubringen. Wie kann ich das machen? Eine Formulierung des Problems mit Vektoren ist auch ohne weiteres möglich, ist sogar einfacher. Jedoch führt das bei mir auch nicht zu einer Lösung :(.
Ich bitte um eure Hilfe. Ich brauche die Lösung für meine Seminarfacharbeit, um Geräusche mit einem PC und vier Microphonen zu Orten.
Vielen Dank im Vorraus,
Jan
PS: OhOh- miene Lesekompetenz :( : ich abe ungefähr 4 versuche gebrauch bist ich den Cross-Posting Satz richtig und an das Ende geschrieben habe:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:26 Mi 04.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wieso nimmst du an, dass es genau einen Schnittpkt der 4 Kugeln gibt?
Wenn du die als Einflussspäre deiner 4 Mikrofone denkst, und dann die Position durch Laufzeitunterschiede messen willst, geht das sicher nicht.
Kannst du das Problem genauer schildern?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Do 05.06.2008 | | Autor: | Yak90 |
Es gibt genau einen Schnittpunkt. Das wird deutlich, wenn man das Problem von der anderen Seite Betrachtet:
Von dem Geräusch S(=Schnittpunkt) gehen vier Kugeln aus. Ihre Radien sind [mm]s, s-d_1,... [/mm] für genau ein s schneiden alle diese Kugeln zusammen, jeden der Punkte [mm]M_0, M_1, ...[/mm]. Das weiß ich, da sich der Schall von der Quelle Kugelförmig ausbreitet und ich [mm]d_i[/mm] mit der zeitlichen Verschiebung des Signals am Mikrophon [mm]M_i[/mm] zu [mm]M_0[/mm] berrechne. Daraus folgt, dass sich vier Kugeln mit den Mittelpunkten [mm]M_0, M_1, ...[/mm] und mit den gleichen Radien wie die Kugeln oben, die den Mittelpunkt S haben und die vier Punkte schneiden, sich auf jeden Fall in dem Punkt S scheinden.
Noch mal anders:
Die Kugeln von [mm]M_0[/mm] und [mm]M_1[/mm] bilden einen Schnittkreis (Abhängig von s) die Kugeln von [mm]M_0[/mm] und [mm]M_2[/mm] bilden mit gleichem s auch einen Schnittkreis, ebsenso wie die Kugeln von von [mm]M_0[/mm] und [mm]M_3[/mm]. Zwei der Schnittkreise schneiden sich in maximal 2 Punkten. Drei in genau einem. ( Die Schnittkreise können durch die unterschiedliche Position der Kugeln nicht gleich sein.
Wesshalb glaubst du, dass das sicher nicht geht, bzw. was meinst du mit "Einflusssphäre"?
Vielen Dank, dass du dich mit meiner Frage beschäftigst,
Jan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:32 Do 05.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dein Argument hat mich nicht überzeugt! wenigstens nicht, dass es nur einen Punkt gibt. woher weisst du, dass es nicht 2 Punkte im Raum gibt, von denen die Zeitunterschiede gleich gross sind?
Ich würd das erstmal in der Ebene lösen, also nur mit Kreisen, wieder nicht alle Flachlandmikrofone auf einer Geraden. damit hast du Erfahrung und kannst dann dein Programm später einfach erweitern.
Vorbereitung zu Fuss:
zieh die erste Gleichung von allen 3 anderen ab. dann sind alle quadratischen Terme in s,x,y,z weg und du behältst 3 lineare Gleichungen, die dir vielleicht ein fertiges Programm nach einer der Variablen auflösen kann.
das steckst du dann in die erste Gleichung und hast alle.
Auf die Weise hast du erst am Ende was Quadratisches! und benutz Kürzel für immer auftretende Größen wie [mm] x1^2+y1^2+z1^2=a1 [/mm] usw. dann werden die Ausdrücke übersichlicher.
warum du die Bed. für x3 usw haben musst versteh ich nicht. Die Punkte sind doch durch die Stellung der Mikrofone festgelegt? und die dürfen eben nicht alle in einer Ebene liegen.
Die Ortung von Schiffen mit dem Loran-System (mindestens 3 verschiedene Sender) lief in der Ebene früher so ab, wie dus jetzt im Raum willst. vielleicht hilft dir das.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:33 Mo 09.06.2008 | | Autor: | Yak90 |
Vielen Dank für deine Tipps Leduart!
Dank ihnen ist es mir gelungen das Gleichungssystem richtig (hoffe ich und erste versuche bestätigen das)
gelößt [allesdings nur mit Konkreten Werten für [mm] x_1,y_1,z_1,x_2,...]. [/mm] ich werde die lösung irgentwann demnächst posten.
Vielen Dank und gute Nacht
Jan
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