Schnittpunkt zweier Raumkurven < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:06 So 18.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
| Aufgabe | wo und unter welchem Winkel schneiden sich die Raumkurven
[mm] x(t)=\vektor{-1+t^2 \\ t^2 \\ e^{t}}
[/mm]
[mm] y(t)=\vektor{cos(u) \\ sin(u) \\ \bruch{u}{\pi}} [/mm] |
hi kann mir jemand helfen den Schnittpunkt dieser Raumkurven zu berechnen?
Mir ist klar, dass an Schnittpunkten koordinatenweise Übereinstimmung herrschen muss. Aber bei Winkelfunktionen gibt es ja Periodizitäten und ich weiß nicht, wie ich das hier berechnen kann!
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:17 So 18.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> wo und unter welchem Winkel schneiden sich die Raumkurven
>
> [mm]x(t)=\vektor{-1+t^2 \\ t^2 \\ e^{t}}[/mm]
> [mm]y(t)=\vektor{cos(u) \\ sin(u) \\ \bruch{u}{\pi}}[/mm]
>
> hi kann mir jemand helfen den Schnittpunkt dieser
> Raumkurven zu berechnen?
>
> Mir ist klar, dass an Schnittpunkten koordinatenweise
> Übereinstimmung herrschen muss. Aber bei Winkelfunktionen
> gibt es ja Periodizitäten und ich weiß nicht, wie ich das
> hier berechnen kann!
Du bekommst doch die drei Gleichungen:
(1) [mm] t^2-1 = \cos u [/mm]
(2) [mm] t^2 = \sin u [/mm]
(3) [mm] e^t = u/\pi[/mm]
Wenn du die ersten beiden voneinander abziehst, bekommst du
[mm] 1 = \sin u - \cos u [/mm],
wofür du alle möglichen Lösungen angeben kannst (Tipp: es sind Vielfache von [mm] $\pi/4$, [/mm] aber nicht alle.)
Daraus rechnest du die entsprechenden Werte von t aus und prüfst, welche die dritte Gleichung erfüllen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:33 So 18.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
das habe ich schon versucht.
Also wäre mein u dann 2 [mm] \bruch{\pi}{4}, [/mm] 4 [mm] \bruch{\pi}{4}, [/mm] 10 [mm] \bruch{\pi}{4}...
[/mm]
rückeingesetzt ergibt das entsprechende t= 1, 0, 1....
davon erfüllt t=0 und [mm] u=\pi [/mm] die z-Gleichung
und damit die Schnittpunktkoordinaten
[mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
aber wie weiß ich, wie viele Schnittpunkte es gibt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:43 So 18.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> das habe ich schon versucht.
>
> Also wäre mein u dann 2 [mm]\bruch{\pi}{4},[/mm] 4 [mm]\bruch{\pi}{4},[/mm]
> 10 [mm]\bruch{\pi}{4}...[/mm]
Da fehlen noch die negativen Lösungen.
> rückeingesetzt ergibt das entsprechende t= 1, 0, 1....
>
> davon erfüllt t=0 und [mm]u=\pi[/mm] die z-Gleichung
>
> und damit die Schnittpunktkoordinaten
>
> [mm]\vektor{-1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> aber wie weiß ich, wie viele Schnittpunkte es gibt?
Was ist mit den anderen möglichen Werten für u? Du musst alle überprüfen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 So 18.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
ich dachte, da [mm] e^{t} [/mm] sicher positiv ist kann ich aus der z-Gleichung negative u-Werte ausschließen (da die rechte Seite der Gleichung ja immer negativ wäre...?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:36 So 18.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> ich dachte, da [mm]e^{t}[/mm] sicher positiv ist kann ich aus der
> z-Gleichung negative u-Werte ausschließen (da die rechte
> Seite der Gleichung ja immer negativ wäre...?
Das ist allerdings richtig. Mit einem ähnlichen Argument kannst du anderen Werte von u ausschließen (Betrachte [mm] $\sin [/mm] u + [mm] \cos [/mm] u$: Welches erlaubte Intervall für t ergibt sich?)
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 So 18.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
könnte ich nicht so argumentieren, dass der Sinus mit 1 beschränkt ist und dadurch auch t zwischen 0 und 1 liegen muss? (aus der zweiten Gleichung)?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:22 So 18.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> könnte ich nicht so argumentieren, dass der Sinus mit 1
> beschränkt ist und dadurch auch t zwischen 0 und 1 liegen
> muss? (aus der zweiten Gleichung)?
Stimmt, das kannst du auch tun.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 So 18.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
Jetzt soll ich noch Schnittwinkel und durch die Tangentenvektoren aufgespannte Tangentialebene bestimmen.
für den Schnittwinkel müsste ich doch den Richtungscosinus verwenden können:
[mm] cos(\alpha)=\bruch{a*b}{|a|*|b|}
[/mm]
wäre dann
[mm] \bruch{\vektor{0 \\ 0 \\ 1}*\vektor{0 \\ -1 \\ 1/\pi}}{1+\wurzel{1+1/\pi^2}}=\bruch{1}{\pi+\wurzel{\pi^2+1}}
[/mm]
(ergibt allerdings keinen schönen Winkel...)
wie kann ich jetzt die Ebene für die Tangentenvektoren bestimmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:46 So 18.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Jetzt soll ich noch Schnittwinkel und durch die
> Tangentenvektoren aufgespannte Tangentialebene bestimmen.
>
> für den Schnittwinkel müsste ich doch den Richtungscosinus
> verwenden können:
>
> [mm]cos(\alpha)=\bruch{a*b}{|a|*|b|}[/mm]
>
> wäre dann
>
> [mm]\bruch{\vektor{0 \\ 0 \\ 1}*\vektor{0 \\ -1 \\ 1/\pi}}{1+\wurzel{1+1/\pi^2}}=\bruch{1}{\pi+\wurzel{\pi^2+1}}[/mm]
>
> (ergibt allerdings keinen schönen Winkel...)
Du kannst durch quadratische Erweiterung des Brcuhes den Bruch ganz wegbekommen. Viel besser wird's dadurch aber auch nicht.
> wie kann ich jetzt die Ebene für die Tangentenvektoren
> bestimmen?
Du hast doch den Schnittpunkt und die zwei Tangentenvektoren, die die Ebene aufspannen.
Viele Grüße
Rainer
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