Schnittpunkte im Dreieck < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei das Dreieck mit den Eckpunkten A=(6; 0), B=(4;-2) und C=(0; 4).
a) Aus einer Geometrie-Vorlesung ist bekannt, dass sich die drei Höhengeraden in einem Punkt schneiden. Berechnen Sie diesen Schnittpunkt.
b) Weiterhin liefert dieselbe Geometrie-Vorlesung die Aussage: Die drei Mittelsenkrechten schneiden sich in einem Punkt. Berechnen Sie diesen Schnittpunkt.
c) Berechnen Sie die Schnittpunkte der Seitenhalbierenden.
d) Skizzieren Sie die Situation. Was fällt bzgl. der drei Schnittpunkte auf? Verifizieren Sie Ihre Vermutung rechnerisch. |
a)
Für die Höhengerade gilt:
[mm] g_A: A+\lambda*\overrightarrow{n}_\overrightarrow{BC}
[/mm]
[mm] g_B: B+k*\overrightarrow{n}_\overrightarrow{AC}
[/mm]
Dabei ist [mm] \overrightarrow{n}_\overrightarrow{BC} [/mm] und [mm] \overrightarrow{n}_\overrightarrow{AC} [/mm] der Normalvektor der Seiten [mm] \overrightarrow{BC} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AC}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{BC}=\vektor{-4 \\ 6} \Rightarrow \overrightarrow{n}_{\overrightarrow{BC}}=\vektor{-6 \\ -4}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AC}=\vektor{-6 \\ 4} \Rightarrow \overrightarrow{n}_{\overrightarrow{AC}}=\vektor{-4 \\ 6}
[/mm]
Daraus folgt für die Höhengeraden:
[mm] g_A: \vektor{6 \\ 0}+\lambda*\vektor{-6 \\ -4}
[/mm]
[mm] g_B: \vektor{4 \\ -2}+k*\vektor{-4 \\ 6}
[/mm]
[mm] g_A=g_B
[/mm]
[mm] \vektor{6 \\ 0}+\lambda*\vektor{-6 \\ -4}=\vektor{4 \\ -2}+k*\vektor{-4 \\ 6}
[/mm]
[mm] \vektor{2 \\ 2}+\lambda*\vektor{-6 \\ -4}=k*\vektor{-4 \\ 6}
[/mm]
[mm] \lambda=\bruch{5}{13}
[/mm]
[mm] k=\bruch{1}{13}
[/mm]
Schnittpunkt ist [mm] (\bruch{48}{13};\bruch{20}{13})
[/mm]
Stimmt die Lösung?
b)
[mm] g_A: B+\bruch{1}{2}\overrightarrow{BC}+\lambda*\overrightarrow{n}_\overrightarrow{BC}
[/mm]
[mm] g_B: A+\bruch{1}{2}\overrightarrow{AC}+k*\overrightarrow{n}_\overrightarrow{AC}
[/mm]
Sind die Mittelsenkrechten richtig aufgestellt worden?
c)
Der Schnittpunkt der Seitenhalbierende entspricht dem Schwerpunkt des Dreieck:
[mm] S=\bruch{1}{3}(A+B+C)=\bruch{1}{3}(\vektor{6 \\ 0}+\vektor{4 \\ -2}+\vektor{0 \\ 4})=\bruch{1}{3}*\vektor{10 \\ 2}
[/mm]
Die Lösung stimmt oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:23 Fr 06.05.2016 | | Autor: | X3nion |
Hi Rebellismus,
> a)
>
> Für die Höhengerade gilt:
>
> [mm]g_A: A+\lambda*\overrightarrow{n}_\overrightarrow{BC}[/mm]
>
> [mm]g_B: B+k*\overrightarrow{n}_\overrightarrow{AC}[/mm]
>
> Dabei ist [mm]\overrightarrow{n}_\overrightarrow{BC}[/mm] und
> [mm]\overrightarrow{n}_\overrightarrow{AC}[/mm] der Normalvektor der
> Seiten [mm]\overrightarrow{BC}[/mm] und [mm]\overrightarrow{AC}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{BC}=\vektor{-4 \\ 6} \Rightarrow \overrightarrow{n}_{\overrightarrow{BC}}=\vektor{-6 \\ -4}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{AC}=\vektor{-6 \\ 4} \Rightarrow \overrightarrow{n}_{\overrightarrow{AC}}=\vektor{-4 \\ 6}[/mm]
>
> Daraus folgt für die Höhengeraden:
>
> [mm]g_A: \vektor{6 \\ 0}+\lambda*\vektor{-6 \\ -4}[/mm]
>
> [mm]g_B: \vektor{4 \\ -2}+k*\vektor{-4 \\ 6}[/mm]
>
> [mm]g_A=g_B[/mm]
>
> [mm]\vektor{6 \\ 0}+\lambda*\vektor{-6 \\ -4}=\vektor{4 \\ -2}+k*\vektor{-4 \\ 6}[/mm]
>
> [mm]\vektor{2 \\ 2}+\lambda*\vektor{-6 \\ -4}=k*\vektor{-4 \\ 6}[/mm]
>
> [mm]\lambda=\bruch{5}{13}[/mm]
>
> [mm]k=\bruch{1}{13}[/mm]
>
> Schnittpunkt ist [mm](\bruch{48}{13};\bruch{20}{13})[/mm]
>
> Stimmt die Lösung?
Achtung bei [mm] \overrightarrow{n}_{\overrightarrow{AC}}=\vektor{-4 \\ 6}.
[/mm]
Das Skalarprodukt aus [mm] \overrightarrow{AC}=\vektor{-6 \\ 4} [/mm] und [mm] \overrightarrow{n}_{\overrightarrow{AC}}=\vektor{-4 \\ 6} [/mm] muss ja null ergeben da die Vektoren orthogonal sein sollen, dies tut es hier aber nicht.
Denn (-6) * (-4) + 4 + 6 [mm] \not= [/mm] 0
Wenn du zum Beispiel [mm] \overrightarrow{n}_{\overrightarrow{AC}}=\vektor{-4 \\ -6} [/mm] wählst dann ergibt das Skalarprodukt "null".
> b)
>
> [mm]g_A: B+\bruch{1}{2}\overrightarrow{BC}+\lambda*\overrightarrow{n}_\overrightarrow{BC}[/mm]
>
> [mm]g_B: A+\bruch{1}{2}\overrightarrow{AC}+k*\overrightarrow{n}_\overrightarrow{AC}[/mm]
>
> Sind die Mittelsenkrechten richtig aufgestellt worden?
Ja das stimmt, du wählst den Ortsvektor von B, hängst die Hälfte des Vektors [mm] \overrightarrow{BC} [/mm] dran um in der Mitte der Seite zu sein und hängst denn den Normalenvektor BC dran, dasselbe für AC.
> c)
>
> Der Schnittpunkt der Seitenhalbierende entspricht dem
> Schwerpunkt des Dreieck:
>
> [mm]S=\bruch{1}{3}(A+B+C)=\bruch{1}{3}(\vektor{6 \\ 0}+\vektor{4 \\ -2}+\vektor{0 \\ 4})=\bruch{1}{3}*\vektor{10 \\ 2}[/mm]
>
> Die Lösung stimmt oder?
Ja passt!
Gruß X3nion
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d)
Der Schnittpunkt der Höhengeraden ist [mm](4,8;-0,8)[/mm]
Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten ist [mm](2,6;1,4)[/mm]
Der Schnittpunkt der Seitenhalbierende ist [mm] (\bruch{10}{3}; \bruch{2}{3}) [/mm]
Meine Rechnung ist in Anhang zwei zu sehen
Meine Skizze sieht so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Es fällt auf, dass alle Schnittpunkte auf einer Geraden liegen. Das soll ich rechnerisch zeigen. Ich hätte das so gemacht:
Aus zwei Schnittpunkten eine Gerade bilden:
[mm] \vektor{4,8 \\ -0,8}+k*\vektor{2,6-4,8 \\ 1,4-(-0,8)}=\vektor{4,8 \\ -0,8}+k*\vektor{-2,2 \\ 2,2}
[/mm]
Jetzt einfach prüfen ob der dritte Schnittpunkt auf der Geraden liegt:
[mm] \vektor{\bruch{10}{3} \\ \bruch{2}{3}}=\vektor{4,8 \\ -0,8}+k*\vektor{-2,2 \\ 2,2}
[/mm]
Das Gleichungssystem ist laut meiner Rechnung ein Widerspruch. Was habe ich falsch gemacht?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:11 Fr 06.05.2016 | | Autor: | statler |
Hi!
> [mm]\vektor{\bruch{10}{3} \\ \bruch{2}{3}}=\vektor{4,8 \\ -0,8}+k*\vektor{-2,2 \\ 2,2}[/mm]
>
> Das Gleichungssystem ist laut meiner Rechnung ein
> Widerspruch.
Laut meiner nicht, k = 2/3 tut es.
Gruß Dieter
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Hallo
mich irritiert es, dass das Dreieck, das hier als Beispiel
dienen soll, ausgerechnet ein gleichschenkliges ist.
Dann ist es nämlich überhaupt nicht verwunderlich, dass
die drei besagten Schnittpunkte auf einer gemeinsamen
Geraden liegen. Im gleichschenkligen Dreieck ist dies
nämlich trivial, da die Symmetrieachse des Dreiecks
gleichzeitig Höhengerade, Mittelsenkrechte, Seitenhalbierende
und nebenbei auch noch Winkelhalbierende ist.
Wirklich interessant ist die nachzuweisende Kollinearität
erst im allgemeinen (nicht gleichschenkligen) Dreieck.
LG , Al-Chw.
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