Schnittpunkte zweier Kreise < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:31 So 29.01.2006 | | Autor: | Gwin |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Schnittpunkte derbeiden Kreise:
I [mm] x^{2}+y^{2}-6x-8y=0
[/mm]
II [mm] x^{2}+y^{2}-4x+6y-12=0 [/mm] |
Nabend...
und wiedermal ein für mich unlößbarer fall...
mein ansatz:
I - II = -2x-14y+12=0
auflösen nach x
-2x=14y-12 |/-2
x = -7y+6
x in I einsetzen um y zu berechnen
[mm] (-7y+6)^{2}+y²-6(-7y+6)-8y=0
[/mm]
49y²-84y+36+y²+42y-36-8y=0
50y²-50y=0
y²-y=0
[mm] y_{1}=0
[/mm]
[mm] y_{2}=1
[/mm]
wenn ich jetzt [mm] y_{1}=0 [/mm] in I einsetze bekomme ich 2 x-werte herraus
und mit [mm] y_{2}=1 [/mm] nochmals 2 x-werte --> 2 y-Werte aber 4 x-Werte...
aus diesem ergebniss folgere ich das ich irgendwo nen fehler gemacht habe... ich weiß aber leider nicht wo...
kann mir hier bitte nochmal jemand auf die sprünge helfen...
mfg Gwin
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Hallo Gwin,
> Berechnen Sie die Schnittpunkte derbeiden Kreise:
>
> I [mm]x^{2}+y^{2}-6x-8y=0[/mm]
> II [mm]x^{2}+y^{2}-4x+6y-12=0[/mm]
Bei solchen Gleichungen sollte man (meistens) immer versuchen die Gleichungen auf eine Art "Normalform" umzuformen. Wie sieht die bei einem Kreis in einem kartesischen Koordinatensystem aus? Beim Ursprungskreis ist es die Gleichung [mm]x^2 + y^2 = r^2[/mm]. Alle Punkte [mm](x,y)[/mm], die auf der Kreislinie liegen, haben also den selben Abstand vom Ursprung [mm]r[/mm], was hier durch die Pythagoras-Beziehung ausgedrückt werden kann. Liegt der Mittelpunkt des Kreises nicht im Ursprung, so muß die Gleichung entsprechend angepasst werden:
[mm](x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2[/mm]
Und auf diese Form bringen wir jetzt die beiden Kreise:
[mm]x^2 + y^2 - 6x - 8y = x^2 - 2\cdot{3x} + y^2 - 2\cdot{4y}[/mm]
[mm]= x^2 - 2\cdot{3x} + 3^2 + y^2 - 2\cdot{4y} + 4^2 - 3^2 - 4^2[/mm]
[mm]= (x-3)^2 + (y-4)^2 - 5^2 = 0 \gdw (x-3)^2 + (y-4)^2 = 5^2[/mm]
[mm]x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = x^2 - 2\cdot{2x} + 4 + y^2 + 2\cdot{3y} + 9 - 12 - 4 - 9[/mm]
[mm]= (x-2)^2 + (y+3)^2 - 5^2 = 0 \gdw (x-2)^2 + (y+3)^2 = 5^2[/mm]
Jetzt setzen wir die Gleichungen gleich:
[mm](x-3)^2 + (y-4)^2 = (x-2)^2 + (y+3)^2 \gdw (x-3)^2 - (x-2)^2 = (y+3)^2 - (y-4)^2[/mm]
[mm]\gdw (x-3-x+2)(x-3+x-2) = -1(2x-5) = (y+3-y+4)(y+3+y-4) = 7(2y-1)[/mm]
Jetzt entscheiden wir uns für eine Variable nach der wir auflösen. Wir wissen nämlich, daß sich Kreise in höchstens 2 Punkten schneiden. Eine Gerade wird jedoch durch zwei Punkte beschrieben:
[mm]\gdw \frac{5-2x}{7} = 2y-1 \gdw y = \frac{5-2x}{14}+ \frac{7}{14} = \frac{6-x}{7}[/mm]
Und das setzen wir jetzt als Funktion:
[mm]g(x) := \frac{6-x}{7}[/mm]
Unsere neue Aufgabe besteht nun darin den Schnittpunkt von [mm]g[/mm] mit einem der Kreise zu bestimmen. Da uns [mm]g[/mm] bei dem Schnittpunkt [mm]x_S[/mm] den Funktionswert [mm]y_S[/mm] liefert, gilt:
[mm]\left(x_S-3\right)^2 + \left(y_S-4\right)^2 = \left(x_S-3\right)^2 + \left(\frac{6-x_S}{7}-4\right)^2 = 5^2[/mm]
Dies ist eine quadratische Gleichung. Löse diese nach [mm]x_{S_1}[/mm] und [mm]x_{S_2}[/mm] auf, und du erhälst die [mm]x\texttt{--Stellen}[/mm] der beiden Schnittpunkte. Durch das Einsetzen dieser Stellen in [mm]g[/mm] erhälst du die zugehörigen [mm]y\texttt{--Werte}[/mm].
Grüße
Karl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:41 Mo 30.01.2006 | | Autor: | Gwin |
hi Karl...
vielen dank für deine wirklich sehr ausführliche lösung...
habe dein lösungsansatz mal durchprobiert...
irgendwo in der mitte der aufgabe habe ich dann gemerkt das ja erstmal die Formeln der Kreise in verschiebungslage hergeleitet wurden...
also habe ich mir mal spontan nen zettel und nen zirkel geschnappt und habe die ganze sache mal aufgezeichnet...
und bin zu der lösung gekommen das die schnittpunkte bei S1(-1;1) und S2(6;0) liegen...
hier ist mir aufgefallen das die y-werte schonmal die sind die ich ausgerechnet hatte...
also habe ich mein lösungsansatz nochmal rausgesucht und habe geguckt ob ich irgendwie auf die -1 und 6 komme...
dann nach ein bissel rumprobieren ist mir die nach x aufgelöste formel (x=6-7y) aufgefallen... also mal eben y eingesetzt und siehe da es kamen die richtigen x werte raus...
werde das nochmal mit deinem weg ausprobieren...
also tausend dank nochmal...
mfg Gwin
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