Schnittstabilität nachweisen < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:38 Mo 09.09.2013 | | Autor: | hkl1 |
| Aufgabe | | Zeige, dass [m] \bigcup_{\substack{n\in\mathbb{N},\\t_1,\ldots,t_n\in[0,\infty)}}\sigma(\pi_{t_1},\ldots,\pi_{t_n}) [/m] schnittstabiler Erzeuger von [m] \sigma(\pi_t:t\ge 0) [/m] ist. |
Hallo zusammen,
bisher habe ich gesagt, dass
[m]\sigma(\pi_t:t\ge 0)=\sigma\left(\bigcup_{t\ge 0}\sigma(\pi_t)\right)[/m] und daher [m]\bigcup_{t\ge 0}\sigma(\pi_t)[/m] Erzeuger von [m]\sigma(\pi_t:t\ge 0)[/m] ist. Hierbei ist [m] \pi_i [/m] die Projektion auf die i-te Koordinate. Danach habe ich mir gedacht, dass
[m][mm] \bigcup_{t\ge 0}\sigma(\pi_t)=\bigcup_{\substack{n\in\mathbb{N},\\t_1,\ldots,t_n\in[0,\infty)}}\sigma(\pi_{t_1},\ldots,\pi_{t_n})[\m] [/mm] ist und daher nur noch die Schnittstabilität von [m] \bigcup_{\substack{n\in\mathbb{N},\\t_1,\ldots,t_n\in[0,\infty)}}\sigma(\pi_{t_1},\ldots,\pi_{t_n}) [/m] zu zeigen ist. Ich weiß aber absolut nicht wie ich das zeigen soll.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:08 Di 10.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo hkl1 und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Zeige, dass
> [m]\bigcup_{\substack{n\in\mathbb{N},\\t_1,\ldots,t_n\in[0,\infty)}}\sigma(\pi_{t_1},\ldots,\pi_{t_n})[/m]
> schnittstabiler Erzeuger von [m]\sigma(\pi_t:t\ge 0)[/m] ist.
Leider verrätst du nicht genau, was die [mm] $\pi_t$ [/mm] sein sollen. Ich vermute mal Folgendes:
Gegeben ist ein messbarer Raum [mm] $(\Omega,\mathcal{A})$. [/mm] Für [mm] $t\in[0,\infty)$ [/mm] möge [mm] $\pi_t\colon\Omega^{[0,\infty)}\to\Omega$ [/mm] die Projektion auf die Komponente $t$ bezeichnen.
> bisher habe ich gesagt, dass
> [m]\sigma(\pi_t:t\ge 0)=\sigma\left(\bigcup_{t\ge 0}\sigma(\pi_t)\right)[/m]
Wenn ihr [mm] $\sigma(\pi_t [/mm] : [mm] t\ge [/mm] 0)$ so definiert habt, alles klar. Ansonsten müsstest du diese Gleichheit aus meiner Sicht begründen.
> und daher [m]\bigcup_{t\ge 0}\sigma(\pi_t)[/m] Erzeuger von
> [m]\sigma(\pi_t:t\ge 0)[/m] ist.
Ja.
> Danach habe ich mir gedacht, dass
> [m][mm]\bigcup_{t\ge 0}\sigma(\pi_t)=\bigcup_{\substack{n\in\mathbb{N},\\t_1,\ldots,t_n\in[0,\infty)}}\sigma(\pi_{t_1},\ldots,\pi_{t_n})[\m][/mm] ist
Im Allgemeinen stimmt das nicht. Die Menge auf der rechten Seite ist zwar eine Obermenge der linken Seite, aber im Allgemeinen nicht umgekehrt.
Wie habt ihr die von einer Menge von Abbildungen erzeugte Sigma-Algebra genau definiert?
> und daher nur noch die Schnittstabilität von [m]\bigcup_{\substack{n\in\mathbb{N},\\t_1,\ldots,t_n\in[0,\infty)}}\sigma(\pi_{t_1},\ldots,\pi_{t_n})[/m] zu zeigen ist. Ich weiß aber absolut nicht wie ich das zeigen soll.
Zur Verkürzung der Schreibarbeit bezeichne [mm] $\mathcal{E}:=\bigcup_{\substack{n\in\mathbb{N},\\t_1,\ldots,t_n\in[0,\infty)}}\sigma(\pi_{t_1},\ldots,\pi_{t_n})$ [/mm] die Menge, deren Durchschnittsstabilität wir zeigen wollen.
[mm] "$\mathcal{E}$ [/mm] durchschnittsstabil" bedeutet: Für alle [mm] $A,B\in\mathcal{E}$ [/mm] ist auch [mm] $A\cap B\in\mathcal{E}$.
[/mm]
Seien also [mm] $A,B\in\mathcal{E}$. [/mm] Zu zeigen ist [mm] $A\cap B\in\mathcal{E}$.
[/mm]
Was bedeutet [mm] $A,B\in\mathcal{E}$? [/mm] Es existieren [mm] $n\in\IN$ [/mm] und [mm] $t_1,\ldots,t_n\in[0,\infty)$ [/mm] mit [mm] $A\in\sigma(\pi_{t_1},\ldots,\pi_{t_n})$ [/mm] sowie [mm] $m\in\IN$ [/mm] und [mm] $s_1,\ldots,s_m\in[0,\infty)$ [/mm] mit [mm] $B\in\sigma(\pi_{s_1},\ldots,\pi_{s_m})$.
[/mm]
Um nun [mm] $A\cap B\in\mathcal{E}$ [/mm] zu zeigen, müssen wir irgendwie [mm] $k\in\IN$ [/mm] und [mm] $r_1,\ldots,r_k\in[0,\infty)$ [/mm] finden, so dass [mm] $A\cap B\in\sigma(\pi_{r_1},\ldots,\pi_{r_k})$ [/mm] gilt.
Bis hierhin habe ich eigentlich nur hingeschrieben, was gegeben und was zu tun ist. Nun braucht es eine Idee, wie man aus den [mm] $t_i$ ($i=1,\ldots,n$) [/mm] und [mm] $s_i$ ($i=1,\ldots,m$) [/mm] auf $k$ und [mm] $r_1,\ldots,r_k$ [/mm] kommt.
Meine Idee ist nun: Wähle [mm] $k\in\IN$ [/mm] und [mm] $r_1,\ldots,r_k$ [/mm] so, dass
[mm] $(r_1,\ldots,r_k)=(t_1,\ldots,t_n,s_1,\ldots,s_m)$
[/mm]
gilt. Also:
$k:=n+m$, [mm] $r_1:=t_1,r_2:=t_2,\ldots,r_n:=t_n$ [/mm] und [mm] $r_{n+1}:=s_1,r_{n+2}:=s_2,\ldots,r_{n+m}:=s_m$.
[/mm]
Zeige also [mm] $A\cap B\in\sigma(\pi_{t_1},\ldots,\pi_{t_n},\pi_{s_1},\ldots,\pi_{s_m})$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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