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Forum "Schul-Analysis" - Schnittstellen Sinus-Funktion
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Schnittstellen Sinus-Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:12 Sa 04.12.2004
Autor: scratchy

Hallo,
ich moechte die Schnittstellen der folg. Fkt. in [mm] [-2\pi;2\pi] [/mm] berechnen.

[mm] f(x)=3sin(x/2+\pi/4)-1,5 [/mm]

Ich nehme die Nullstellenformel [mm] x_{k} [/mm] = [mm] \bruch{k\pi-c}{b} [/mm] fuer die Form f(x)=a sin(bx+c).
Demnach ist bei meiner Fkt. a=3; b=1/2; c= [mm] \pi/4. [/mm]

Wenn ich [mm] x_{0} [/mm] nach der Formel ausrechne komme ich auf [mm] x_{0}=\bruch{0*\pi-\bruch{\pi}{4}}{\bruch{1}{2}} [/mm] = [mm] -\bruch{2\pi}{4} [/mm] = [mm] -\bruch{\pi}{2}. [/mm]
Das ist aber keine Nullstelle der Fkt. Eine Nullstelle muesste [mm] -\bruch{\pi}{6} [/mm] sein. Was mache ich falsch?

mfg


    * Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Schnittstellen Sinus-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:59 Sa 04.12.2004
Autor: e.kandrai

Insgesamt müssten wir 4 Nullstellen finden; im Intervall [mm] [0;2\pi] [/mm] gibt es zwei, und im "Restintervall" demnach auch.

Deine Nullstelle stimmt deswegen nicht, weil sich deine Nullstellenformel auf die Form [mm]a \cdot sin(b \cdot x+c)=0[/mm] bezieht, und nicht auf [mm]a \cdot sin(b \cdot x+c)+d=0[/mm].

Es gibt hier aber auch einen anderen Weg:

Man kann die Gleichung ja erstmal umformen zu: [mm]sin(\bruch{x}{2}+\bruch{\pi}{4})=\bruch{1}{2}[/mm]

Man muss also überlegen, wann der sin-Wert [mm]\bruch{1}{2}[/mm] wird. Das ist im Intervall [mm] [0;2\pi] [/mm] der Fall für [mm]30°=\bruch{\pi}{6}[/mm] und [mm]150°=\bruch{5*\pi}{6}[/mm]. Wie's für das Intervall [mm] [-2\pi ; 0] [/mm] aussieht, kannst du dir ja selber überlegen.

Und jetzt musst du nur noch schauen, wann das Argument diese Werte annimmt, also:
[mm]\bruch{x}{2}+\bruch{\pi}{4}=\bruch{\pi}{6}[/mm]  [mm]\gdw[/mm]  [mm]x=-\bruch{\pi}{6}[/mm].

Und jetzt viel Spaß mit den restlichen Nullstellen.

Bezug
                
Bezug
Schnittstellen Sinus-Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:01 Sa 04.12.2004
Autor: scratchy

Danke fuer die Antwort. Eins ist mir aber nicht klar:

>  
> Und jetzt musst du nur noch schauen, wann das Argument
> diese Werte annimmt, also:
>  [mm]\bruch{x}{2}+\bruch{\pi}{4}=\bruch{1}{2}[/mm]  [mm]\gdw[/mm]  
> [mm]x=-\bruch{\pi}{6}[/mm].
>  

ich komme da nicht auf [mm] x=-\bruch{\pi}{6} [/mm]

[mm] \bruch{x}{2}+\bruch{\pi}{4}=\bruch{1}{2} [/mm]       |   - [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm]
[mm] \bruch{x}{2}=\bruch{1}{2}-\bruch{\pi}{4} [/mm]        |   *2
[mm] x=1-\bruch{\pi}{2} [/mm]



Bezug
                        
Bezug
Schnittstellen Sinus-Funktion: Verbessert
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:25 So 05.12.2004
Autor: e.kandrai

War natürlich auch ein Blödsinn, was ich da geschrieben habe.
Damit der sin-Wert [mm]=\bruch{1}{2}[/mm] wird, muss das Argument z.B. den Wert [mm]30°=\bruch{\pi}{6}[/mm] annehmen.
Die andere Antwort hab ich verbessert, kannst da in der letzten Zeile mal nachschauen.

Hast die anderen Nullstellen mal berechnet? Kannst sie ja mal posten, ob alles richtig ist.

Bezug
                
Bezug
Schnittstellen Sinus-Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:48 So 05.12.2004
Autor: scratchy

Hallo,

> Und jetzt musst du nur noch schauen, wann das Argument
> diese Werte annimmt, also:
>  [mm]\bruch{x}{2}+\bruch{\pi}{4}=\bruch{\pi}{6}[/mm]  [mm]\gdw[/mm]  
> [mm]x=-\bruch{\pi}{6}[/mm].


so, für
[mm]\bruch{x}{2}+\bruch{\pi}{4}=\bruch{5\pi}{6}[/mm]

habe ich  eine Nullstelle bei:
[mm]x=\bruch{7\pi}{6}[/mm].


> Man muss also überlegen, wann der sin-Wert [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> wird. Das ist im Intervall [mm][0;2\pi][/mm] der Fall für
> [mm]30°=\bruch{\pi}{6}[/mm] und [mm]150°=\bruch{5*\pi}{6}[/mm]. Wie's für das
> Intervall [mm][-2\pi ; 0][/mm] aussieht, kannst du dir ja selber
> überlegen.

Also in [mm][-2\pi ; 0][/mm] gibt es meiner Meinung nach keinen sin-Wert der
0,5 wird. Dann gibt es nur 2 Nullstellen, oder liege ich da falsch?

Bezug
                        
Bezug
Schnittstellen Sinus-Funktion: Richtig
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:17 Mo 06.12.2004
Autor: e.kandrai

Die andere Nullstelle ist richtig.
Bis jetzt haben wir gefunden: [mm]x_1=-\bruch{\pi}{6}[/mm] ,  [mm]x_2=\bruch{7\pi}{6}[/mm].
Es ist eine periodische Funktion, und die zweite Nullstelle kommt genau [mm]2\pi[/mm] nach der ersten. Würde man nochmal um [mm]2\pi[/mm] weitergehen, dann wäre man schon aus dem Def.bereich [mm] [-2\pi ; 2\pi] [/mm] raus.
Und 'nach links' kann man's auch mal probieren: von [mm]x_1=-\bruch{\pi}{6}[/mm] um [mm]2\pi[/mm] nach links führt auch wieder aus dem Def.bereich raus [mm]\Rightarrow[/mm] die beiden gefundenen Nullstellen sind tatsächlich schon alle.

Bezug
        
Bezug
Schnittstellen Sinus-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:20 Sa 04.12.2004
Autor: FriedrichLaher

Hallo, scratchy,

ich hoffe ich kann helfen

[a]Datei-Anhang

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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