Schnittswinkel zweier Geraden < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bei einer Trainingsfahrt fahren ein leistungsstärkerer Rennradfahrer und ein leistungsschwächerer Rannradfahrer einander entgegen. Der erste fährt mit der konstanten Geschwindigkeit von $ 30 [mm] \bruch{km}{h} [/mm] $ von Osten nach Westen, der zweite fährt von Westen nach Osten mit der kostanten Geschwindigkeit von $ 25 [mm] \bruch{km}{h} [/mm] $.
Wie viel Zeit vergeht nach der in Fig. 1 dargestellten Situation, bis die beiden Fahrer sich treffen?
a) Lösen Sie die Aufgabe rechnerisch.
b) Lösen Sie die Aufgabe, indem Sie für jeden Fahrer die zurückgelegte Strecke als Funktion der Fahrzeit angeben und die beiden Graphen in ein Koordinatensystem eintragen. |
Guten Tach,
Hier erst einmal Fig. 1:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Jetzt zu a). Mir ist klar, wie ich berechnen kann, wann Sie die angegebene km-Zahl gefahren sind, doch wie kann ich das Aufeinandertreffen der Beiden berechnen?
b) Wie soll ich das machen?
Vielen Dank für Hilfe,
Stefan.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hi, Stefan,
wie kommt die Überschrift "Schnittwinkel" zustande?
Na, egal:
> Bei einer Trainingsfahrt fahren ein leistungsstärkerer
> Rennradfahrer und ein leistungsschwächerer Rannradfahrer
> einander entgegen. Der erste fährt mit der konstanten
> Geschwindigkeit von [mm]30 \bruch{km}{h}[/mm] von Osten nach Westen,
> der zweite fährt von Westen nach Osten mit der kostanten
> Geschwindigkeit von [mm]25 \bruch{km}{h} [/mm].
>
> Wie viel Zeit vergeht nach der in Fig. 1 dargestellten
> Situation, bis die beiden Fahrer sich treffen?
>
> a) Lösen Sie die Aufgabe rechnerisch.
Wenn ich die Zeichnung richtig deute, sind die beiden Radler "zu Beginn" grade 7 km voneinander entfernt. Richtig?
Dann gilt für die Summe der von beiden zurückgelegten Wege:
(I) [mm] s_{1} [/mm] + [mm] s_{2} [/mm] = 7
[mm] (s_{1} [/mm] der Weg des schnelleren Radlers)
Andererseits gilt bei konstanter Geschwindigkeit: v = [mm] \bruch{s}{t}.
[/mm]
Da beide die GLEICHE ZEIT unterwegs sind, lösen wir nach t auf:
t = [mm] \bruch{s}{v} [/mm] (***)
und es gilt:
(II) [mm] \bruch{s_{1}}{v_{1}} [/mm] = [mm] \bruch{s_{2}}{v_{2}} [/mm]
Nun hast Du 2 Gleichungen für 2 Unbekannte und kannst diese berechnen.
Aus (***) ergibt sich damit die benötigte Zeit t.
> b) Lösen Sie die Aufgabe, indem Sie für jeden Fahrer die
> zurückgelegte Strecke als Funktion der Fahrzeit angeben und
> die beiden Graphen in ein Koordinatensystem eintragen.
s als Funktion von t, also s(t), ergibt sich wieder mit Hilfe der Gleichung
v = [mm] \bruch{s}{t}. [/mm]
s(t) = v*t.
Das Koordinatensystem ist demnach so zu zeichnen, dass Du die Zeit t als waagrechte Achse nach rechts abträgst (Vorschlag für die Einheiten: 1cm = 10 min) und den zurückgelegten Weg als senkrechte Achse nach oben (Vorschlag für die Achse: 1 cm = 1 km)
Die beiden Funktionen (zwei Radler!) sind Geradenstücke, die bei t = 0 beginnen, die eine kannst Du im Nullpunkt beginnen lassen, die andere natürlich dann bei s=7.
Ich würde nun (wegen der Einheiten) nicht mit der Methode "Steigungsdreieck" vorgehen, sondern jeweils einen weiteren Hilfspunkt berechnen, z.B. für t=30min = 0,5h. Bedenke dabei, dass die Gerade für den 2. Radler fällt, da er ja auf den ersten zufährt!
Und nun: Viel Spaß!
mfG!
Zwerglein
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O.K.,
Nach
$ [mm] \bruch{s_{1}}{v_{1}}=\bruch{s_{2}}{v_{2}} [/mm] $
und
$ [mm] s_{1}+s_{2}=7 [/mm] $
wäre das dann:
$ [mm] s_{1}=3\bruch{9}{11}km \wedge s_{2}=3\bruch{2}{11}km \wedge [/mm] t=0,0875 h $
Korrekt, oder habe ich mich verrechnet?
Wenn
$ s(t)=v*t $
gilt, dann kommt für den schnelleren Fahrer
$ s(0,5)=30*0,5=15 [mm] \wedge [/mm] s(0)=7 $
heraus, also hat die Gerade die Steigung
[mm] m=\bruch{7-15}{0-0,5}=16
[/mm]
Da er auf den anderen zukommt, mit umgekehrten Vorzeichen.
[mm] \Rightarrow y_{schnellerer Fahrer}=-16x+7
[/mm]
Für den langsameren Fahrer:
$ s(0,5)=25*0,5=12,5 [mm] \wedge [/mm] s(0)=0 $
[mm] m=\bruch{0-12,5}{0-0,5}=25
[/mm]
[mm] \Rightarrow y_{langsamerer Fahrer}=25x
[/mm]
Doch wenn ich diese beiden Geraden einzeichne, schneiden sie sich nicht bei $t=0,0875 h$, so wie ich es zuvor ausgerechnet habe?
Wo ist denn der Fehler?
Dankeschön,
Stefan.
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Hi, stefan,
> [mm]\bruch{s_{1}}{v_{1}}=\bruch{s_{2}}{v_{2}}[/mm]
>
> und
>
> [mm]s_{1}+s_{2}=7[/mm]
>
> wäre das dann:
>
> [mm]s_{1}=3\bruch{9}{11}km \wedge s_{2}=3\bruch{2}{11}km \wedge t=0,0875 h[/mm]
>
> Korrekt, oder habe ich mich verrechnet?
Also: Ich krieg füt t was Anderes raus, nämlich: t = [mm] \bruch{7}{55} \approx [/mm] 0,127h bzw. ca. 7,64 min.
>
> Wenn
>
> [mm]s(t)=v*t[/mm]
>
> gilt, dann kommt für den schnelleren Fahrer
>
> [mm]s(0,5)=30*0,5=15 \wedge s(0)=7[/mm]
>
> heraus, also hat die Gerade die Steigung
>
> [mm]m=\bruch{7-15}{0-0,5}=16[/mm]
>
> Da er auf den anderen zukommt, mit umgekehrten Vorzeichen.
Also: So stimmt das natürlich nicht!
Du musst beachten, dass der Fahrer bei km 114 losfährt (s=7) und nach 30 min (=0,5 Std.) einen Weg von 15 km zurückgelegt hat. Wo ist er dann, wenn er "entgegengesetzt" fährt? Bei km 114 - 15 = 99; d.h. er ist bereits 8 km über den Grenzstein 107 hinaus! Wo ist dieser Punkt in unserer Zeichnung? Bei y = -8!
> Für den langsameren Fahrer:
>
> [mm]s(0,5)=25*0,5=12,5 \wedge s(0)=0[/mm]
>
> [mm]m=\bruch{0-12,5}{0-0,5}=25[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow y_{langsamerer Fahrer}=25x[/mm]
mfG!
Zwerglein
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Ist die Gleichung denn für den anderen Fahrer richtig?
Ich verstehe immer noch nicht, welche Punkt sich jetzt für den schnellen Fahrer ergeben, und besonders, warum.
Sorry, aber ich bräuchte noch mal eine andere Erklärung!
Dankesehr,
Stefan.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:27 So 17.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Stefan
Fahrer 1 fährt bei km 7 los mit 30km/h nach links. Also ist die Steigung -30km/h oder -0,5m/min. Y=Weg bei t=0 ist 7km, also Weg=-30km/h*Zeit(in h)+7km
Den Weg für den 2. Fahrer hast du richtig.
Aber Aufpassen, wenn du die Steigung einzeichnest, wenn auf deiner Zeitachse Minuten stehen musst du die Steigung in km/min umrechnen, also h durch 60 min ersetzen!
Gruss leduart
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