Schnittwinkel Gerade - Ebene < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:34 So 22.01.2006 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | F: $ [mm] \vektor{1 \\ -4 \\ 8}\cdot{}[\vec{x}-\vektor{1 \\ 2 \\ -8}]=0 [/mm] $
$ [mm] g:\vec{x}\vektor{2 \\ 0 \\ 1}+r\vektor{-8 \\ -4 \\ 8} [/mm] $
Bestimmen sie den Schnittwinkel [mm] \alpha [/mm] zwischen der Ebene F und der Geraden g. |
Moin.
$ [mm] g:\vec{x}\vektor{2 \\ 0 \\ 1}+r\vektor{-8 \\ -4 \\ 8} [/mm] $
Ich kürze den Richtungsvektor der Geraden mit :4
$ [mm] g:\vec{x}\vektor{2 \\ 0 \\ 1}+r\vektor{-2 \\ -1 \\ 2} [/mm] $
Es ergibt sich Vektor [mm] \vec{u} [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ -1 \\ 2}
[/mm]
Vektor [mm] \vec{n} [/mm] ist der Normalenvektor der Ebene F
[mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -4 \\ 8}
[/mm]
cos [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{|\vec{u}*\vec{n}|}{|\vec{u}|*|\vec{n}|}
[/mm]
cos [mm] \alpha =\bruch{|(-2*1)+(-1*-4)+(2*8)|}{|\vec{u}|*|\vec{n}|}
[/mm]
cos [mm] \alpha =\bruch{|(-2)+4+16)|}{|\vec{u}|*|\vec{n}|}
[/mm]
cos [mm] \alpha =\bruch{|18|}{|\vec{u}|*|\vec{n}|}
[/mm]
Nun mache ich das ganze mal für den Nenner
cos [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{|18|}{|\wurzel{2^2+1^2+2^2}*\wurzel{1^2+4^2+8^2}}
[/mm]
cos [mm] \alpha =\bruch{|18|}{\wurzel{9}*\wurzel{81}}
[/mm]
cos [mm] \alpha =\bruch{18}{18}
[/mm]
Irgendwie falsch. Die Gerade schneidet die Ebene nicht senkrecht!
Findet jemand den Fehler? Darf man den Richtungsvektor der Geraden nicht kürzen (denn da würde ich auf einen Schnittwinkel von 63° oder so ähnlich kommen)
Grüße Phoney.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:39 So 22.01.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
> F: [mm]\vektor{1 \\ -4 \\ 8}\cdot{}[\vec{x}-\vektor{1 \\ 2 \\ -8}]=0[/mm]
>
> [mm]g:\vec{x}\vektor{2 \\ 0 \\ 1}+r\vektor{-8 \\ -4 \\ 8}[/mm]
>
> Bestimmen sie den Schnittwinkel [mm]\alpha[/mm] zwischen der Ebene F
> und der Geraden g.
> Moin.
>
> [mm]g:\vec{x}\vektor{2 \\ 0 \\ 1}+r\vektor{-8 \\ -4 \\ 8}[/mm]
>
> Ich kürze den Richtungsvektor der Geraden mit :4
>
> [mm]g:\vec{x}\vektor{2 \\ 0 \\ 1}+r\vektor{-2 \\ -1 \\ 2}[/mm]
>
> Es ergibt sich Vektor [mm]\vec{u}[/mm] = [mm]\vektor{-2 \\ -1 \\ 2}[/mm]
>
> Vektor [mm]\vec{n}[/mm] ist der Normalenvektor der Ebene F
>
> [mm]\vec{n}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ -4 \\ 8}[/mm]
>
> cos [mm]\alpha[/mm] =
> [mm]\bruch{|\vec{u}*\vec{n}|}{|\vec{u}|*|\vec{n}|}[/mm]
>
> cos [mm]\alpha =\bruch{|(-2*1)+(-1*-4)+(2*8)|}{|\vec{u}|*|\vec{n}|}[/mm]
>
> cos [mm]\alpha =\bruch{|(-2)+4+16)|}{|\vec{u}|*|\vec{n}|}[/mm]
>
> cos [mm]\alpha =\bruch{|18|}{|\vec{u}|*|\vec{n}|}[/mm]
>
> Nun mache ich das ganze mal für den Nenner
>
>
> cos [mm]\alpha[/mm] =
> [mm]\bruch{|18|}{|\wurzel{2^2+1^2+2^2}*\wurzel{1^2+4^2+8^2}}[/mm]
>
> cos [mm]\alpha =\bruch{|18|}{\wurzel{9}*\wurzel{81}}[/mm]
>
>
> cos [mm]\alpha =\bruch{18}{18}[/mm]
So viel Mühe gegeben alles sauber aufzuschreiben und zack in der letzten Reihe verrechnet. 3*9 ist nicht 18. Damit hat sich alles erledigt. Tschuldigung für den überflüssen Post!
> Irgendwie falsch. Die Gerade schneidet die Ebene nicht
> senkrecht!
>
> Findet jemand den Fehler? Darf man den Richtungsvektor der
> Geraden nicht kürzen (denn da würde ich auf einen
> Schnittwinkel von 63° oder so ähnlich kommen)
>
> Grüße Phoney.
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