Schnittwinkel zweier Ebenen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 Sa 12.06.2010 | | Autor: | Kimmel |
| Aufgabe | Durch die Eckpunkte
O (0|0|0), [mm] A_1 [/mm] (10|0|0), [mm] B_1 [/mm] (10|6|0), [mm] C_1 [/mm] (0|8|0),
[mm] 0_2 [/mm] (0|0|10), [mm] A_2 [/mm] (10|0|11), [mm] B_2 [/mm] (10|6|8), [mm] C_2 [/mm] (0|8|6)
ist ein Gebäude mit ebenen Seitenwänden gegeben, welches auf der [mm] x_1x_2 [/mm] - Ebene steht.
[mm] 0_2, A_2, B_2, C_2 [/mm] sind die Eckpunkte seiner Dachfläche.
a)
Zeigen Sie, dass die Eckpunkte der Dachfläche in einer Ebene E liegen.
Ermitteln sie eine Koordinatengleichung der Dachfläche in einer Ebene E liegen.
Falls die Dachneigung (Winkel zwischen E und der [mm] x_1x_2 [/mm] - Ebene) größer als 30° ist, muss ein Schneefanggitter angebracht werden.
Überprüfung Sie, ob dies der Fall ist.
b) Es soll die Größe der Dachfläche bestimmt werden. Untersuchen Sie hierzu die Lage gegenüberliegender Dachkanten.
Bestimmen Sie den Inhalt der Dachfläche. |
Für a) habe ich die Koordinatengleichung E: [mm] x_1 [/mm] - [mm] 5x_2 [/mm] - [mm] 10x_3 [/mm] + 100 = 0 raus, was auch richtig ist.
So, jetzt kommt der Teil mit dem Schnittwinkel.
Brauche ich dazu die Normalvektoren?
Wenn ja, wie bekomme ich die?
Zu b):
Hier habe ich herausgefunden, dass der Vektor [mm] A_2B_2 [/mm] und [mm] O_2C_2 [/mm] parallel sind. Wie es aussieht, ist das wohl ein Trapez.
Doch um die Fläche auszurechnen, brauche ich die Höhe. Wie bekomme ich die?
|
|
| |
|
Hallo,
> Durch die Eckpunkte
> O (0|0|0), [mm]A_1[/mm] (10|0|0), [mm]B_1[/mm] (10|6|0), [mm]C_1[/mm] (0|8|0),
> [mm]0_2[/mm] (0|0|10), [mm]A_2[/mm] (10|0|11), [mm]B_2[/mm] (10|6|8), [mm]C_2[/mm] (0|8|6)
> ist ein Gebäude mit ebenen Seitenwänden gegeben, welches
> auf der [mm]x_1x_2[/mm] - Ebene steht.
> [mm]0_2, A_2, B_2, C_2[/mm] sind die Eckpunkte seiner Dachfläche.
>
> a)
> Zeigen Sie, dass die Eckpunkte der Dachfläche in einer
> Ebene E liegen.
> Ermitteln sie eine Koordinatengleichung der Dachfläche in
> einer Ebene E liegen.
> Falls die Dachneigung (Winkel zwischen E und der [mm]x_1x_2[/mm] -
> Ebene) größer als 30° ist, muss ein Schneefanggitter
> angebracht werden.
> Überprüfung Sie, ob dies der Fall ist.
>
> b) Es soll die Größe der Dachfläche bestimmt werden.
> Untersuchen Sie hierzu die Lage gegenüberliegender
> Dachkanten.
> Bestimmen Sie den Inhalt der Dachfläche.
> Für a) habe ich die Koordinatengleichung E: [mm]x_1[/mm] - [mm]5x_2[/mm] -
> [mm]10x_3[/mm] + 100 = 0 raus, was auch richtig ist.
> So, jetzt kommt der Teil mit dem Schnittwinkel.
> Brauche ich dazu die Normalvektoren?
Erstmal brauchst du beide Ebenen... Was ist die Gleichung der [mm] x_1x_2-Ebene [/mm] ?
Wie hast du die Koordinatengleichung aufgestellt ohne zu wissen, was die Normalenvektoren sind ?
Eine Ebene der Form [mm] n_1*x_1+n_2*x_2+n_3*x_3=r [/mm] hat den normalenvektor [mm] \vec{n}=\vektor{n_1 \\ n_2 \\ n_3} [/mm] ...
> Wenn ja, wie bekomme ich die?
>
> Zu b):
>
> Hier habe ich herausgefunden, dass der Vektor [mm]A_2B_2[/mm] und
> [mm]O_2C_2[/mm] parallel sind. Wie es aussieht, ist das wohl ein
> Trapez.
> Doch um die Fläche auszurechnen, brauche ich die Höhe.
> Wie bekomme ich die?
Hast du dir mal eine Skizze gemacht ? Das Stichwort ist hier denke ich Abstand von zwei Geraden.
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 Sa 12.06.2010 | | Autor: | Kimmel |
Hey,
> Erstmal brauchst du beide Ebenen... Was ist die Gleichung
> der [mm]x_1x_2-Ebene[/mm] ?
[mm] x_3 [/mm] = 0?
> Wie hast du die Koordinatengleichung aufgestellt ohne zu
> wissen, was die Normalenvektoren sind ?
Ich habe drei Punkte genommen und daraus die Koordinatengleichung gebildet.
> Eine Ebene der Form [mm]n_1*x_1+n_2*x_2+n_3*x_3=r[/mm] hat den
> normalenvektor [mm]\vec{n}=\vektor{n_1 \\ n_2 \\ n_3}[/mm] ...
Dann ist der Normalenvektor von E in diesem Fall [mm]\vec{n}=\vektor{1 \\ -5 \\ -10} [/mm] ?
Das hieße dann, dass der Normalenvektor von der [mm] x_1x_2-Ebene[/mm] [mm]\vec{n}=\vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] ist, oder?
> Hast du dir mal eine Skizze gemacht ?
Ja, ich habe das ganze Gebäude gezeichnet.
> Das Stichwort ist hier denke ich Abstand von zwei Geraden.
Hm, dazu brauche ich doch den Normalenvektor von der einen Gerade und lasse ihn dann mit der anderen Geraden schneiden, um den Schnittpunkt zu bestimmen, oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:53 Sa 12.06.2010 | | Autor: | Wredi |
> Hey,
>
> > Erstmal brauchst du beide Ebenen... Was ist die Gleichung
> > der [mm]x_1x_2-Ebene[/mm] ?
>
> [mm]x_3[/mm] = 0?
naja, die richtige gleichung der Ebene ist [mm] x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] = 0
>
> > Wie hast du die Koordinatengleichung aufgestellt ohne zu
> > wissen, was die Normalenvektoren sind ?
>
> Ich habe drei Punkte genommen und daraus die
> Koordinatengleichung gebildet.
>
> > Eine Ebene der Form [mm]n_1*x_1+n_2*x_2+n_3*x_3=r[/mm] hat den
> > normalenvektor [mm]\vec{n}=\vektor{n_1 \\ n_2 \\ n_3}[/mm] ...
>
> Dann ist der Normalenvektor von E in diesem Fall
> [mm]\vec{n}=\vektor{1 \\ -5 \\ -10}[/mm] ?
ja
> Das hieße dann, dass der Normalenvektor von der
> [mm]x_1x_2-Ebene[/mm] [mm]\vec{n}=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm] ist, oder?
ja
>
>
> > Hast du dir mal eine Skizze gemacht ?
>
> Ja, ich habe das ganze Gebäude gezeichnet.
>
> > Das Stichwort ist hier denke ich Abstand von zwei Geraden.
>
> Hm, dazu brauche ich doch den Normalenvektor von der einen
> Gerade und lasse ihn dann mit der anderen Geraden
> schneiden, um den Schnittpunkt zu bestimmen, oder?
du bildest aus jeweils zwei punkten, also aus [mm] A_2 [/mm] und [mm] B_2 [/mm] eine gerade und [mm] 0_2 [/mm] und [mm] C_2 [/mm] eine gerade, geraden, wo du dann den Abstand bestimmst, der dann der Höhe der Dachtrapezfäche entspricht.
wie bestimmt man den Abstand zweier paralleler Geraden?
- Hilfsebene in beliebigen punkt einer Geraden und dem Ruchtungsvektor der Geraden als Normalenvektor der ebene.
- Hilfsebene und Gerade schneiden => Schnittpunkt
- Abstand zwischen Punkt der Gerade und dem Schnittpunkt = Abstand beider Geraden.
MfG Wredi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 So 13.06.2010 | | Autor: | Kimmel |
> > Dann ist der Normalenvektor von E in diesem Fall
> > [mm]\vec{n}=\vektor{1 \\ -5 \\ -10}[/mm] ?
>
> ja
>
> > Das hieße dann, dass der Normalenvektor von der
> > [mm]x_1x_2-Ebene[/mm] [mm]\vec{n}=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm] ist, oder?
>
> ja
Jetzt muss ich nur noch das in die Formel
[mm]
\cos \alpha = \frac{\vec n_1 * \vec n_2}{\left| \vec n_1 \right| * \left| \vec n_2 \right|}
[/mm]
einsetzen, richtig?
> wie bestimmt man den Abstand zweier paralleler Geraden?
> - Hilfsebene in beliebigen punkt einer Geraden und dem
> Ruchtungsvektor der Geraden als Normalenvektor der ebene.
> - Hilfsebene und Gerade schneiden => Schnittpunkt
> - Abstand zwischen Punkt der Gerade und dem Schnittpunkt =
> Abstand beider Geraden.
>
> MfG Wredi
Wie bekomme ich die Hilfsebene hin?
Mit dem Normalenvektor habe ich doch nur eine Richtung. Oder ist die andere Richtung der Richtungsvektor der Geraden?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:37 So 13.06.2010 | | Autor: | Wredi |
> > > Dann ist der Normalenvektor von E in diesem Fall
> > > [mm]\vec{n}=\vektor{1 \\ -5 \\ -10}[/mm] ?
> >
> > ja
> >
> > > Das hieße dann, dass der Normalenvektor von der
> > > [mm]x_1x_2-Ebene[/mm] [mm]\vec{n}=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm] ist, oder?
> >
> > ja
>
> Jetzt muss ich nur noch das in die Formel
> [mm]
\cos \alpha = \frac{\vec n_1 * \vec n_2}{\left| \vec n_1 \right| * \left| \vec n_2 \right|}
[/mm]
>
> einsetzen, richtig?
so siehts aus.
>
> > wie bestimmt man den Abstand zweier paralleler Geraden?
> > - Hilfsebene in beliebigen punkt einer Geraden und dem
> > Ruchtungsvektor der Geraden als Normalenvektor der ebene.
> > - Hilfsebene und Gerade schneiden => Schnittpunkt
> > - Abstand zwischen Punkt der Gerade und dem
> Schnittpunkt =
> > Abstand beider Geraden.
> >
> > MfG Wredi
>
> Wie bekomme ich die Hilfsebene hin?
> Mit dem Normalenvektor habe ich doch nur eine Richtung.
> Oder ist die andere Richtung der Richtungsvektor der
> Geraden?
Wenn du die Normalform der Ebene aufstellt reicht doch der Normalvektor. dieser steht senkrecht in allen Punkten in der Ebene, soll heißen, jeder Richtugnvektor in der Ebene ist orthogonal dazu. somit ist die Ebene eindeutig definiert.
MfG
Wredi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:50 So 13.06.2010 | | Autor: | Kimmel |
> Wenn du die Normalform der Ebene aufstellt reicht doch der
> Normalvektor. dieser steht senkrecht in allen Punkten in
> der Ebene, soll heißen, jeder Richtugnvektor in der Ebene
> ist orthogonal dazu. somit ist die Ebene eindeutig
> definiert.
Aber ich habe die Ebene doch gar nicht. Nur zwei Geraden...
(Sry, für die dummen Fragen...)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:54 So 13.06.2010 | | Autor: | Wredi |
> du bildest aus jeweils zwei punkten, also aus $ [mm] A_2 [/mm] $ und $ [mm] B_2 [/mm] $ eine gerade und $ [mm] 0_2 [/mm] $ und $ [mm] C_2 [/mm] > $ eine gerade, geraden, wo du dann den Abstand bestimmst, der dann der Höhe der Dachtrapezfäche
> entspricht.
> wie bestimmt man den Abstand zweier paralleler Geraden?
> - Hilfsebene in beliebigen punkt einer Geraden und dem Ruchtungsvektor der Geraden als
> Normalenvektor der ebene.
> - Hilfsebene und Gerade schneiden => Schnittpunkt
> - Abstand zwischen Punkt der Gerade und dem Schnittpunkt = Abstand beider Geraden.
das war der allgemeine lösungsansatz.
die Hilfsebene der einen gerade bildest du aus den Richtungsvektor(dr wird zum Normalenvektor der Ebene) und dem Ortsvektor(der wird der ortsvektor der Ebene).
mehr ist das nicht ;)
MfG
Wredi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 So 13.06.2010 | | Autor: | Kimmel |
> die Hilfsebene der einen gerade bildest du aus den
> Richtungsvektor(dr wird zum Normalenvektor der Ebene) und
> dem Ortsvektor(der wird der ortsvektor der Ebene).
>
> mehr ist das nicht ;)
>
> MfG
> Wredi
Das heißt:
Wenn ich die Gerade [mm] g: \vec x = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 10 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ -4 \end{pmatrix} [/mm]habe, dann lautet die Hilfsebene einfach [mm] E: t * \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 10 \end{pmatrix} + u* \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ -4\end{pmatrix} [/mm]?
Ach ja, zu der Schnittwinkelaufgabe:
[mm]
\cos \alpha = \frac{\vec n_1 \cdot{} \vec n_2}{\left| \vec n_1 \right| \cdot{} \left| \vec n_2 \right|}
[/mm]
Muss man den Zähler immer im Betrag setzen?
Wenn ich das nicht tue, kommt ein Winkel von 153° raus. Wenn ja, bekomme ich 27°, was ich für plausibeler halte.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 So 13.06.2010 | | Autor: | Wredi |
> > die Hilfsebene der einen gerade bildest du aus den
> > Richtungsvektor(dr wird zum Normalenvektor der Ebene) und
> > dem Ortsvektor(der wird der ortsvektor der Ebene).
> >
> > mehr ist das nicht ;)
> >
> > MfG
> > Wredi
>
> Das heißt:
>
> Wenn ich die Gerade [mm]g: \vec x = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 10 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ -4 \end{pmatrix} [/mm]habe,
> dann lautet die Hilfsebene einfach [mm]E: t * \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 10 \end{pmatrix} + u* \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ -4\end{pmatrix} [/mm]?
nein, du stellt die Normalenform der Ebene auf, die ist: [mm] (\vec x-\vec p)\cdot \vec{n}=0
[/mm]
>
> Ach ja, zu der Schnittwinkelaufgabe:
> [mm]
\cos \alpha = \frac{\vec n_1 \cdot{} \vec n_2}{\left| \vec n_1 \right| \cdot{} \left| \vec n_2 \right|}
[/mm]
>
> Muss man den Zähler immer im Betrag setzen?
> Wenn ich das nicht tue, kommt ein Winkel von 153° raus.
> Wenn ja, bekomme ich 27°, was ich für plausibeler halte.
>
ja, oben muss natürlich ein betrag hin, sry, hab ich vorhin übersehen :)
MfG Wredi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:05 So 13.06.2010 | | Autor: | Kimmel |
> nein, du stellt die Normalenform der Ebene auf, die ist:
> [mm](\vec x-\vec p)\cdot \vec{n}=0[/mm]
Uhm, nächster Versuch^^:
[mm]
\begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ -4 \end{pmatrix} * \vec n = 0
[/mm]
?
> ja, oben muss natürlich ein betrag hin, sry, hab ich
> vorhin übersehen :)
Ok^^
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:11 So 13.06.2010 | | Autor: | Wredi |
> > nein, du stellt die Normalenform der Ebene auf, die ist:
> > [mm](\vec x-\vec p)\cdot \vec{n}=0[/mm]
>
> Uhm, nächster Versuch^^:
> [mm]
\begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ -4 \end{pmatrix} * \vec n = 0
[/mm]
>
nein -.- das [mm] \vec{x} [/mm] ist doch der variable vektor der ebene, so würdest du nur das skalarprodukt an einem punkt uasrechnen. [mm] \vec{x} [/mm] ist die variable der ebene, [mm] \vec{p} [/mm] der ortsvektor der ebene und [mm] \vec{n} [/mm] der normalenvektor
> ?
> > ja, oben muss natürlich ein betrag hin, sry, hab ich
> > vorhin übersehen :)
>
> Ok^^
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 So 13.06.2010 | | Autor: | Kimmel |
> nein -.- das [mm]\vec{x}[/mm] ist doch der variable vektor der
> ebene, so würdest du nur das skalarprodukt an einem punkt
> uasrechnen. [mm]\vec{x}[/mm] ist die variable der ebene, [mm]\vec{p}[/mm] der
> ortsvektor der ebene und [mm]\vec{n}[/mm] der normalenvektor
Und genau da ist mein Problem.
Ich bin nach deinen Erklärungen immer noch nicht in der Lage aus einer Geraden eine Ebene aufzustellen, geschweige denn die Normalenebene von der Ebene...
(Sowas habe ich noch nie gemacht...)
P.S: Sorry, dass ich gerade an deine Nerven nag...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:33 So 13.06.2010 | | Autor: | Wredi |
sag das doch gleich dass du das noch nie genacht hast ;)
aaalso: du setzt für [mm] \vec{p} [/mm] deinen ortsvektor der geraden ein für [mm] \vec{n} [/mm] den richtungsvektor der geraden und das [mm] \vec{x} [/mm] bleibt einfach so stehen.
mach das mal, und dann einfach zum schnitt bringen.
MfG Wredi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 So 13.06.2010 | | Autor: | Kimmel |
> sag das doch gleich dass du das noch nie genacht hast ;)
^^
> aaalso: du setzt für [mm]\vec{p}[/mm] deinen ortsvektor der geraden
> ein für [mm]\vec{n}[/mm] den richtungsvektor der geraden und das
> [mm]\vec{x}[/mm] bleibt einfach so stehen.
Ok:
[mm](\vec x - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 10 \end{pmatrix}) * \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ -4 \end{pmatrix} = 0
[/mm]
Ist es das?
Muss ich jetzt die Gleichung lösen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:49 So 13.06.2010 | | Autor: | Wredi |
> > sag das doch gleich dass du das noch nie genacht hast ;)
>
> ^^
>
> > aaalso: du setzt für [mm]\vec{p}[/mm] deinen ortsvektor der geraden
> > ein für [mm]\vec{n}[/mm] den richtungsvektor der geraden und das
> > [mm]\vec{x}[/mm] bleibt einfach so stehen.
>
> Ok:
>
> [mm](\vec x - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 10 \end{pmatrix}) * \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ -4 \end{pmatrix} = 0
[/mm]
>
> Ist es das?
ja
> Muss ich jetzt die Gleichung lösen?
naja, jetzt setzt du die andere gerade von [mm] A_2 [/mm] und [mm] B_2 [/mm] da ein. also die gerade von den beiden punkten ermitteln.
[mm] \vec{x} [/mm] = Ortsvektor + s [mm] \cdot [/mm] Richtungsvektor
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{o_1 \\ o_2 \\ o_3} [/mm] + s [mm] \cdot \vektor{r_1 \\ r_2 \\ r_3}
[/mm]
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{o_1 +s\cdot r_1 \\o_2 +s\cdot r_2 \\o_3 +s\cdot r_3}
[/mm]
das ganze dann für [mm] \vec{x} [/mm] in die Ebene einsetzen.
MfG
Wredi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 So 13.06.2010 | | Autor: | Kimmel |
> naja, jetzt setzt du die andere gerade von [mm]A_2[/mm] und [mm]B_2[/mm] da
> ein. also die gerade von den beiden punkten ermitteln.
[mm]
\vec x = \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ 11 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix}
[/mm]
> das ganze dann für [mm]\vec{x}[/mm] in die Ebene einsetzen.
[mm]
\left(\begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ 11 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 10 \end{pmatrix}\right) \cdot{} \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ -4 \end{pmatrix} = 0
[/mm]
Etwa so?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 So 13.06.2010 | | Autor: | Wredi |
> > naja, jetzt setzt du die andere gerade von [mm]A_2[/mm] und [mm]B_2[/mm] da
> > ein. also die gerade von den beiden punkten ermitteln.
>
> [mm]
\vec x = \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ 11 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix}
[/mm]
>
> > das ganze dann für [mm]\vec{x}[/mm] in die Ebene einsetzen.
>
> [mm]
\left(\begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ 11 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 10 \end{pmatrix}\right) \cdot{} \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ -4 \end{pmatrix} = 0
[/mm]
>
> Etwa so?
>
ja, genau. jetzt noch vereinfachen, und eine gleichung drausmachen, nach s auflösen, dann noch punktausrechnen und abstand berechnen und fertig ist die laube ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 So 13.06.2010 | | Autor: | Kimmel |
> ja, genau. jetzt noch vereinfachen, und eine gleichung
> drausmachen, nach s auflösen, dann noch punktausrechnen
> und abstand berechnen und fertig ist die laube ;)
Etwa so?
[mm]
\left(\begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot{} \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix}\right) \cdot{} \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ -4 \end{pmatrix} = 0
[/mm]
[mm]
-4 + 48 s + 12 s = 0
[/mm]
[mm]
s = \frac{1}{15}
[/mm]
Oder sind die "s" nicht dieselben Variablen, also:
[mm]
-4 + 48 s + 12 t = 0?
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:00 So 13.06.2010 | | Autor: | Wredi |
> > ja, genau. jetzt noch vereinfachen, und eine gleichung
> > drausmachen, nach s auflösen, dann noch punktausrechnen
> > und abstand berechnen und fertig ist die laube ;)
>
> Etwa so?
> [mm]
\left(\begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot{} \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix}\right) \cdot{} \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ -4 \end{pmatrix} = 0
[/mm]
>
> [mm]
-4 + 48 s + 12 s = 0
[/mm]
> [mm]
s = \frac{1}{15}
richtig.
jetzt s in die gerade einsetzen, dann erhälst du denn gesuchten punkt, dann kannst du den abstand bestimmen.
[/mm]
>
> Oder sind die "s" nicht dieselben Variablen, also:
>
> [mm]
-4 + 48 s + 12 t = 0?
[/mm]
nee, die sind schon gleich, warum sollen die unterschiedlich sein?
MfG Wredi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 Mo 14.06.2010 | | Autor: | Kimmel |
> richtig.
> jetzt s in die gerade einsetzen, dann erhälst du denn
> gesuchten punkt, dann kannst du den abstand bestimmen.
Also, einsetzen...:
[mm] h: \vec x = \vektor{10 \\ 0 \\ 11} + \frac{1}{15} * \vektor{0 \\ 6 \\ -3} [/mm]
[mm] S = \vektor{10 \\ 0,2 \\ 10,8} [/mm]
Um den Abstand zu berechnen, brauche ich ja noch einen Punkt... Wo habe ich angefangen die Hilfsebene zu zeichnen?
Wie darf ich mir die ganzen Schritte vorstellen?
Haben wir sozusagen zwei parallele Bleistifte, die durch ein Blatt durchgestochen wurden?
> nee, die sind schon gleich, warum sollen die
> unterschiedlich sein?
Weil ich so gelernt habe, dass eine Ebene in Parameterform zwei verschiedene Variablen hat...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:43 Mo 14.06.2010 | | Autor: | Wredi |
> > richtig.
> > jetzt s in die gerade einsetzen, dann erhälst du denn
> > gesuchten punkt, dann kannst du den abstand bestimmen.
>
> Also, einsetzen...:
> [mm]h: \vec x = \vektor{10 \\ 0 \\ 11} + \frac{1}{15} * \vektor{0 \\ 6 \\ -3}[/mm]
>
> [mm]S = \vektor{10 \\ 0,2 \\ 10,8}[/mm]
>
soweit richtig
> Um den Abstand zu berechnen, brauche ich ja noch einen
> Punkt... Wo habe ich angefangen die Hilfsebene zu zeichnen?
>
hier nimst du den ortsvektor von der Hilfsebene, das musst du selbst fonden (ich glaub das war [mm] O_2, [/mm] wenn ich mich nicht irre, abe guck lieber selbst nochmal nach.
> Wie darf ich mir die ganzen Schritte vorstellen?
> Haben wir sozusagen zwei parallele Bleistifte, die durch
> ein Blatt durchgestochen wurden?
genau, das blatt papier ist jetzt deine hilfebene. den einen bleistift (deine ausgangsgerade) bildest mit ihrem Ortsvektor einen punkt durch das durchstechen des zweiten stiftes(also der schnittpunkt von Ebene und zweiter geraden) bildet nun den lotfußpunkt, mit dem du den astand berechnen kannst.
>
> > nee, die sind schon gleich, warum sollen die
> > unterschiedlich sein?
>
> Weil ich so gelernt habe, dass eine Ebene in Parameterform
> zwei verschiedene Variablen hat...
in der paramenterform: ja
in der Normalenform: da ist eigentlich gar kein parameter, doch hier hast du eine gerade eingesetzt, wodurch der paramenter in die gleichung reinkommt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 Mo 14.06.2010 | | Autor: | Kimmel |
> hier nimst du den ortsvektor von der Hilfsebene, das musst
> du selbst fonden (ich glaub das war [mm]O_2,[/mm] wenn ich mich
> nicht irre, abe guck lieber selbst nochmal nach.
Aber der Punkt [mm] O_2 [/mm] liegt doch, wie der Schnittpunkt, ebenfalls auf der Gerade h?
Ich dachte, man bräuchte einen Punkt, der auf der Geraden g?
> in der Normalenform: da ist eigentlich gar kein parameter,
> doch hier hast du eine gerade eingesetzt, wodurch der
> paramenter in die gleichung reinkommt.
Normalenform...
Sag mir irgendwie nichts^^
(Sieht so aus, als hätten wir das noch nicht behandelt. Bisher kenne ich nur die Parameter- und die Koordinatenform)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:20 Mo 14.06.2010 | | Autor: | Wredi |
> > hier nimst du den ortsvektor von der Hilfsebene, das musst
> > du selbst fonden (ich glaub das war [mm]O_2,[/mm] wenn ich mich
> > nicht irre, abe guck lieber selbst nochmal nach.
>
> Aber der Punkt [mm]O_2[/mm] liegt doch, wie der Schnittpunkt,
> ebenfalls auf der Gerade h?
> Ich dachte, man bräuchte einen Punkt, der auf der Geraden
> g?
ja, eben von der anderen geraden, von der geraden, wo du die hilfsebene konstruiert hast.
ich habe ja extra gesagt, guck lieber nochmal selbst nach.
zwischen den beiden punkten dann den abstand bestimmen und fertig.
>
> > in der Normalenform: da ist eigentlich gar kein parameter,
> > doch hier hast du eine gerade eingesetzt, wodurch der
> > paramenter in die gleichung reinkommt.
>
> Normalenform...
> Sag mir irgendwie nichts^^
> (Sieht so aus, als hätten wir das noch nicht behandelt.
> Bisher kenne ich nur die Parameter- und die
> Koordinatenform)
ist eigentlich komisch, damit lässt sich das eigentlich am einfachsten lösen (finde ich)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 Mo 14.06.2010 | | Autor: | Kimmel |
> ja, eben von der anderen geraden, von der geraden, wo du
> die hilfsebene konstruiert hast.
> ich habe ja extra gesagt, guck lieber nochmal selbst
> nach.
Ups, sorry. Hab mich verguckt. Du hast doch recht gehabt, sry!
Der Abstand beträgt dann:
[mm] d = \wurzel{(10-0)^2 + (10-0,2)^2 + (-3-8)^2 [/mm]
[mm] d = 16,4 [/mm]
Richtig?
> ist eigentlich komisch, damit lässt sich das eigentlich am
> einfachsten lösen (finde ich)
Hm :/
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:20 Mo 14.06.2010 | | Autor: | Wredi |
> > ja, eben von der anderen geraden, von der geraden, wo du
> > die hilfsebene konstruiert hast.
> > ich habe ja extra gesagt, guck lieber nochmal selbst
> > nach.
>
> Ups, sorry. Hab mich verguckt. Du hast doch recht gehabt,
> sry!
>
> Der Abstand beträgt dann:
>
> [mm]d = \wurzel{(10-0)^2 + (10-0,2)^2 + (-3-8)^2}[/mm]
> [mm]d = 16,4[/mm]
>
> Richtig?
>
kann es sein, dass du die falsche werte eingesetzt hast?
du willst doch den abstand zwischen S und [mm] O_2 [/mm] bestimmen, oder?
dabei fällt mir gerade auf:
$ h: [mm] \vec [/mm] x = [mm] \vektor{10 \\ 0 \\ 11} [/mm] + [mm] \frac{1}{15} \cdot{} \vektor{0 \\ 6 \\ -3} [/mm] $
da kommt bei mir bei der y-Komponente 0,4 raus: [mm] \frac{6}{15} [/mm] = [mm] \frac{2}{5} [/mm] = 0,4
das wäre bei mir:
d = [mm] \wurzel{(10-0)^2 + (0,4-0)^2 + (10,8-10)^2}
[/mm]
[mm] d=\wurzel{100+0,16+0,64}
[/mm]
d=10,03...
aber ein anderer weg:
also probe kannst du den abstand zwischen der einen gerade (meinetwegen h) und [mm] O_2 [/mm] auch bestimmen indem du den abstand zwischen h(als allgemeiner punkt) und [mm] O_2 [/mm] bestimmst.
das ergebnis ist nicht gerade schön, deswegen das nochmal gucken, das wäre dann auch ein weg den du sicherlich machen könntest, da hier die normalform nicht benötigt wird.
MfG Wredi
> > ist eigentlich komisch, damit lässt sich das eigentlich am
> > einfachsten lösen (finde ich)
>
> Hm :/
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:28 Di 15.06.2010 | | Autor: | Kimmel |
> dabei fällt mir gerade auf:
>
> [mm]h: \vec x = \vektor{10 \\ 0 \\ 11} + \frac{1}{15} \cdot{} \vektor{0 \\ 6 \\ -3}[/mm]
>
> da kommt bei mir bei der y-Komponente 0,4 raus:
> [mm]\frac{6}{15}[/mm] = [mm]\frac{2}{5}[/mm] = 0,4
>
>
> das wäre bei mir:
> d = [mm]\wurzel{(10-0)^2 + (0,4-0)^2 + (10,8-10)^2}[/mm]
>
> [mm]d=\wurzel{100+0,16+0,64}[/mm]
> d=10,03...
Danke, hab das jetzt korrigiert.
> aber ein anderer weg:
>
> also probe kannst du den abstand zwischen der einen gerade
> (meinetwegen h) und [mm]O_2[/mm] auch bestimmen indem du den abstand
> zwischen h(als allgemeiner punkt) und [mm]O_2[/mm] bestimmst.
>
> das ergebnis ist nicht gerade schön, deswegen das nochmal
> gucken, das wäre dann auch ein weg den du sicherlich
> machen könntest, da hier die normalform nicht benötigt
> wird.
Ich schau mal (obwohl wir das noch nicht gemacht haben, aber im Buch steht bestimmt was).
Vielen, vielen Dank für deine Mühe, Wredi.
Du hast mir sehr geholfen!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:55 Di 15.06.2010 | | Autor: | Wredi |
kein problem, immer wieder gerne :)
MfG Wredi
|
|
|
|
