Schwache Abgeschlossenheit < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien X, Y Banachr¨aume und T : X ⊃ D(T) → Y ein linearer Operator. Beweise oder widerlege die folgenden Aussage:
Seien X und Y speziell Hilberträume. Dann ist T genau dann abgeschlossen, wenn T schwach abgeschlossen ist, d.h. wenn für jede Folge (un) ⊂ D(T) mit [mm] $u_n \to [/mm] u$ schwach in X und [mm] $Tu_n \to [/mm] v$ schwach in Y folgt, daß u ∈ D(T) und Tu = v ist. |
Trivial ist: Aus der schwachen Abgeschlossenheit folgt die Abgeschlossenheit. Also stimmt <=.
Aber zu => kann ich nichts sagen. Ich vermute, dass diese Richtung falsch ist. Mir fällt aber kein beispiel eines abgeschlossenen Operators ein, der nicht schwach abgeschlossen ist. Habt ihr vielleicht eine Idee?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:39 Mi 22.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> Es seien X, Y Banachr¨aume und T : X ⊃ D(T) → Y
> ein linearer Operator. Beweise oder widerlege die folgenden
> Aussage:
>
> Seien X und Y speziell Hilberträume. Dann ist T genau dann
> abgeschlossen, wenn T schwach abgeschlossen ist, d.h. wenn
> für jede Folge (un) ⊂ D(T) mit [mm]u_n \to u[/mm] schwach in X
> und [mm]Tu_n \to v[/mm] schwach in Y folgt, daß u ∈ D(T) und
> Tu = v ist.
> Trivial ist: Aus der schwachen Abgeschlossenheit folgt die
> Abgeschlossenheit. Also stimmt <=.
>
> Aber zu => kann ich nichts sagen. Ich vermute, dass diese
> Richtung falsch ist. Mir fällt aber kein beispiel eines
> abgeschlossenen Operators ein, der nicht schwach
> abgeschlossen ist. Habt ihr vielleicht eine Idee?
Eine Idee hätte ich. Die genaue Umsetzung überlasse ich Dir.
T sei abgeschlossen. Dann ist der Graph G(T) in XxY abgeschlossen. Da G(T) konvex ist, ist G(T) auch in der schwachen Topologie abgeschlossen, also auch schwach folgen-abgeschlossen. somit ist T schwach abgeschlossen.
FRED
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Vielen Dank!
Da hattest du eine geniale Idee. Dank der Linearität ist der Graph tatsächlich konvex und da abgeschlossen in der Tat schwach abgeschlossen. Also benötigt man hier gar nicht die Hilbertraumeigenschaft!
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