Schwache Ableitung < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] \Omega \subset \IR^{d} [/mm] ein Gebiet. Eine Funktion h [mm] \in L_{2}(\Omega) [/mm] habe auf [mm] \Omega [/mm] die schwachen Ableitungen [mm] \partial_{x_{i}} [/mm] = 0 für alle i = 1, ...,d. Man zeige, dass h = const. (f.ü) auf [mm] \Omega [/mm] ist.
Tipp: Testen sie die schwache Relation mit einer Dirac-Folge derart, dass man eine Faltung erhält. |
Hallo,
ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter. Bereits der Tipp hilft mir nicht sonderlich weiter.
Wenn die Definition der schwachen Ableitung nutze, gilt für die schwache Ableitung h' von h :
[mm] \integral_{}^{}{h'(x)*\phi(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{h(x)*\phi(x) ' dx}
[/mm]
Wenn h'=0 ist, muss also [mm] \integral_{}^{}{h(x)*\phi(x) ' dx} [/mm] = 0 sein.
Zuletzt muss man das Fundamentallema der Variationsrechnung anwenden, aber mir fehlen insgesamt die logischen Zwischenschritte.
Wäre nett, wenn mir jemand auf die Sprünge hilft.
Danke.
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Hi Palindrom,
> Sei [mm]\Omega \subset \IR^{d}[/mm] ein Gebiet. Eine Funktion h [mm]\in L_{2}(\Omega)[/mm]
> habe auf [mm]\Omega[/mm] die schwachen Ableitungen [mm]\partial_{x_{i}}[/mm]
> für alle i = 1, ...,d. Man zeige, dass h = const. (f.ü)
> auf [mm]\Omega[/mm] ist.
Warum sollte denn diese Aussage gelten? Also ich wüsste ehrlich gesat nicht warum.
Nur weil eine Funktion eine schwache Ableitung besitzt, heißt das ja noch lange nicht, dass sie konstant ist.
Gibt es da noch Bedingungen, die du nicht erwähnt hast?
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> Tipp: Testen sie die schwache Relation mit einer
> Dirac-Folge derart, dass man eine Faltung erhält.
> Hallo,
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> ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter. Bereits der Tipp
> hilft mir nicht sonderlich weiter.
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> Wenn die Definition der schwachen Ableitung nutze, gilt
> für die schwache Ableitung f' von f :
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> [mm]\integral_{}^{}{f'(x)*\phi(x) dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{}^{}{f(x)*\phi(x) ' dx}[/mm]
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> Wenn f'=0 ist, muss also [mm]\integral_{}^{}{f(x)*\phi(x) ' dx}[/mm]
> = 0 sein.
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> Zuletzt muss man das Fundamentallema der Variationsrechnung
> anwenden, aber mir fehlen insgesamt die logischen
> Zwischenschritte.
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> Wäre nett, wenn mir jemand auf die Sprünge hilft.
>
> Danke.
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Upps, da hat ein = 0 gefehlt.
Die schwachen Ableitungen sollen natürlich verschwinden.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Di 06.05.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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