Schwache Ableitung < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe eine Frage zur schwachen Ableitung:
Wir haben die Schwache Ableitung für $f [mm] \in \mathcal{L}_{2}\left(\IR\right)$ [/mm] wie folgt definiert:
Eine Funktion $f [mm] \in \mathcal{L}_{2}\left(\IR\right)$ [/mm] heißt schwach differenzierbar, falls ein $f' [mm] \in \mathcal{L}_{2}\left(\IR\right)$ [/mm] existert, sodass für alle stetig differenzierbaren Testfunktionen $g [mm] \in \mathcal{L}_{1}\left(\IR\right)\cap \mathcal{L}_{2}\left(\IR\right)$ [/mm] mit [mm] $\lim\limits_{\left|x\right| \to \infty} [/mm] g(x)=0$ gilt:
[mm] $\langle [/mm] f',g [mm] \rangle=-\langle [/mm] f, g' [mm] \rangle$
[/mm]
Wenn man beispielweise in das Funktionalanalysis-Buch von Werner schaut(oder auch bei Wiki) werden die Testfunktionen $g$ immer mit kompaktem Träger definiert.
Ich würde mich gerne davon überzeugen, dass unsere Definition und die Definition aus dem Werner, wo $g$ immer mit kompaktem Träger gewählt wird, äquivalent sind.
Die Richtung von unserer Definition der schwachen Ableitung zu der von Werner ist klar. Allerdings bereitet mir die Rückrichtung Probleme.
Ich weiß, dass die Menge aller Kompakt getragenen, unendlich oft Differenzierbaren Funktionen dicht in [mm] $\mathcal{L}_{1}\cap \mathcal{L}_{2}$ [/mm] liegt.
Allerdings weiß ich nun nicht weiter.
Wer kann helfen?
VIele Grüße
Blasco
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:41 Fr 06.07.2012 | | Autor: | blascowitz |
Hallo,
ich bin immer noch an einer Antwort interessiert.
Viele Grüße
Blasco
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:35 Sa 07.07.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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