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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:22 Sa 27.10.2018 | | Autor: | mathstu |
| Aufgabe | Sei u [mm] \in [/mm] C [mm] \subset [/mm] U [mm] \subset [/mm] X.
Zeige, dass u(x)=0 eine schwache lokale Minimalstelle von [mm] F(u)=\integral_{0}^{1}{u'(t)^2-u'(t)^4 dt} [/mm] in [mm] C=\{u\in X|u(0)=u(1)=0\} [/mm] ist, mit [mm] X=C^1([0,1]).
[/mm]
Zeige außerdem, dass u(x)=0 keine starke lokale Minimalstelle ist.
Hinweis: Betrachte
[mm] u_{p,q}=\begin{cases} \bruch{q}{p} t, & \mbox{für } 0\le t\le p \\ \bruch{q}{p-1} (t-1), & \mbox{für } p
und berechne [mm] F(u_{p,q}) [/mm] mit p [mm] \to [/mm] 1. Die Funktionen [mm] u_{p,q} [/mm] lassen sich durch [mm] C^1 [/mm] Funktionen in [mm] L^\infty [/mm] approximieren. |
Hallo Vorhilfe-User!
Ich soll obige Aufgabe lösen. Ich schreibe einmal unsere Definition von schwacher und starker lokaler Minimalstelle an:
u ist eine schwache lokale Minimalstelle von F in C, falls es ein [mm] \delta>0 [/mm] gibt, sodass [mm] F(u) \le F(v) \forall v \in C\cap B_\delta (u,X)[/mm]. Also wir betrachten die Differenz von u und v bezüglich der [mm] C^1-Norm.
[/mm]
u ist eine starke lokale Minimalstelle von F in C, falls es ein [mm] \delta>0 [/mm] gibt, sodass [mm]F(u) \le F(v) \forall v \in C\cap B_\delta (u,C([0,1],\IR^N))[/mm].
Ich habe schon ein Problem den Hinweis zu verstehen. Ist der Hinweis so gedacht, dass ich die Funktion [mm] u_{p,q} [/mm] als v einsetzen und dann die Differenz zu u in der [mm] C^1-Norm [/mm] betrachten soll oder wie ist das gemeint?
Ich habe [mm] F(u_{p,q}) [/mm] berechnet:
[mm] F(u_{p,q})
= \integral_{0}^{p}{((\bruch{q}{p}t)')^2 - ((\bruch{q}{p}t)')^4 dt} + \integral_{0}^{p}{((\bruch{q}{p-1}(t-1))')^2 - ((\bruch{q}{p-1}(t-1))')^4 dt}
= \integral_{0}^{p}{(\bruch{q}{p})^2 - (\bruch{q}{p})^4 dt} + \integral_{p}^{1}{(\bruch{q}{p-1}(t-1))^2 - (\bruch{q}{p-1}(t-1))^4 dt}[/mm]
[mm]
\to \integral_{0}^{1}{q^2-q^4 dt} + 0
= q^2-q^4 [/mm]
aber ich sehe auch hier nicht direkt wie mich das weiter bringen könnte.
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand bei dieser Aufgabe etwas Starthilfe geben könnte.
LG, mathestudent
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Aufgabe
> Sei u $ [mm] \in [/mm] $ C $ [mm] \subset [/mm] $ U $ [mm] \subset [/mm] $ X.
Könntest du erläutern, was damit wirklich gemeint sein soll ?
(ich verstehe nur Bahnhof)
> Zeige, dass u(x)=0 eine schwache lokale Minimalstelle ..... ist.
Auch dies ist für mich schon wieder ein Rätsel:
Wie soll eine Gleichung auch noch eine Minimalstelle sein ?
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:19 Mi 31.10.2018 | | Autor: | fred97 |
> Aufgabe
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> > Sei u [mm]\in[/mm] C [mm]\subset[/mm] U [mm]\subset[/mm] X.
>
Hallo Al,
> Könntest du erläutern, was damit wirklich gemeint sein
> soll ?
> (ich verstehe nur Bahnhof)
Welche Bedeutung X und C haben, erklärt der Fragesteller. Was U bedeutet erzählt er uns nicht. Allerdings kommt U nicht weiter vor....
>
>
> > Zeige, dass u(x)=0 eine schwache lokale Minimalstelle .....
> ist.
>
> Auch dies ist für mich schon wieder ein Rätsel:
>
> Wie soll eine Gleichung auch noch eine Minimalstelle sein
> ?
Die Abbildung F ist auf $ [mm] C=\{u\in X|u(0)=u(1)=0\} [/mm] $ definiert und geht nach [mm] \IR, [/mm] F bildet also eine Funktion u [mm] \in [/mm] C auf eine reelle Zahl ab.
Zu zeigen ist, dass die Nullfunktion u=0 eine schwache lokale Minimalstelle von F ist, d.h.:
es ex. ein [mm] \delta [/mm] >0 mit
F(0) [mm] \le [/mm] F(v) für alle v [mm] \in [/mm] C mit $||v||< [mm] \delta$.
[/mm]
Hierbei ist $||*||$ eine Norm auf $ [mm] X=C^1([0,1]). [/mm] $ Welche Norm gemeint ist, das verschweigt uns der Fragesteller. Aus diesem Grund habe ich mich bis jetzt auch um keine Antwort gekümmert.
>
> LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Mi 31.10.2018 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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