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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:45 Sa 28.01.2012 | | Autor: | Lyrn |
| Aufgabe | Sei [mm] S ( \mathbb R ) [/mm] der Raum der Schwarz - Funktionen auf [mm] \mathbb R [/mm]. Zeigen Sie für [mm] f,g \in S ( \mathbb R ) [/mm]
(i) Für alle [mm] x \in \mathbb R [/mm] liegt die Funktion [mm] y \to f(x-y) [/mm] in [mm] S ( \mathbb R ) [/mm] .
(ii) Das Produkt [mm] f \cdot g [/mm] liegt in [mm] S ( \mathbb R ) [/mm].
Da [mm] S ( \mathbb R ) \subset L^1 ( \mathbb R , \mu, \mathbb C ) [/mm] ist aufgrund von (i) und (ii)
[mm] (f \ast g ) (x) = \integral_{ \mathbb R } f( x-y ) g (y) dy [/mm]
wohldefiniert.
Zeigen Sie:
(iii) Auch [mm] f \ast g [/mm] liegt in [mm] S ( \mathbb R ) [/mm].
(iv) Es gilt
[mm] \mathcal F \left[ f \ast g \right] = \wurzel{ 2 \pi } \mathcal F \left[ f \right] \cdot \mathcal F \left[ g \right] [/mm] |
Hallo zusammen,
Aufgabenteil i) und iv) habe ich fertig. Jedoch habe ich Probleme bei den Aufgaben ii) und iii), in denen ich zeigen soll dass es sich hierbei um Schwartz-Funktionen handelt.
Zu Aufgabenteil ii) habe ich einen Ansatz: Ich möchte zeigen, dass das Produkt [mm]f*g[/mm] beschränkt ist. Glattheit ist gegeben, weil f und g [mm] \in S(\IR) [/mm] liegen, also ist auch das Produkt glatt.
zz: Das Produkt [mm]f*g[/mm] liegt in [mm] S(\IR)
[/mm]
Beweis:
Induktionsanfang: l=1
$ [mm] \left(\bruch{\partial}{ \partial x}\right)^l [/mm] (f(x)g(x)) = [mm] \bruch{ \partial}{ \partial x}^1 [/mm] ( f(x)g(x) ) = f'(x) g(x) + g'(x) f(x) = [mm] x^k \cdot [/mm] ( f'(x) g(x) + g'(x) f(x) ) = [mm] x^k \cdot \bruch{ \partial}{ \partial x} [/mm] f(x) [mm] \cdot [/mm] g(x) + [mm] x^k \bruch{ \partial}{ \partial x} [/mm] g(x) [mm] \cdot [/mm] f(x) $
Da nun [mm]f(x)[/mm] und [mm]g(x)[/mm] Schwartz-Funktionen sind, sind diese beschränkt. [mm]\bruch{ \partial}{ \partial x} g(x)[/mm] und [mm]\bruch{ \partial}{ \partial x} f(x)[/mm] sind nach Definition beschränkt. Also ist der gesammte Term beschränkt.
Soweit richtig?
Nun habe ich Probleme mit dem Induktionssschrit. Ich würde so anfangen:
Sei l>1
$ [mm] x^k( [/mm] ( [mm] \bruch{ \partial}{ \partial x } )^l [/mm] ( f(x) g(x) ) ) = [mm] x^k [/mm] ( [mm] \bruch{ \partial}{ \partial x } \cdot [/mm] ( [mm] \bruch{ \partial}{ \partial x } )^{l - 1} [/mm] (f(x)g(x)) ) = [mm] x^k [/mm] ( ( [mm] \bruch{ \partial}{ \partial x } )^{l-1} \cdot \bruch{ \partial}{ \partial x } [/mm] (f(x)g(x) ) ) = [mm] x^k [/mm] ( ( [mm] \bruch{ \partial}{ \partial x } )^{l-1} [/mm] f'(x) g(x) + g'(x) f(x) ) $
Jedoch komme ich hier nicht weiter. Daher würde ich mich an dieser Stelle über Hilfe freuen. Kann ich an dieser Stelle schon etwas über die Beschränktheit sagen? Gibt es einen Satz über Ableitungen von Schwartz-Funktionen; sind diese auch Schwartz-Funktionen?
Zu Aufgabenteil iii) habe ich leider gar keine Idee.
Vielen Dank!
Gruß Lyrn
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Mo 30.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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