Schwebezahl einer Rekursion < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Rekursion:
Man beginnt die Funktion f(x;i) mit einer Startzahl [mm] x_{1} [/mm] und i=1.
Das Ergebnis wird als [mm] x_{2} [/mm] wieder in die Funktion eingesetzt, aber nun mit i=2.
Das Ergebnis wird als [mm] x_{3} [/mm] wieder in die Funktion eingesetzt, aber nun mit i=3 - und so weiter.
Je nach Wahl der Startzahl [mm] x_{1} [/mm] tendiert das Ergebnis nach vielen Durchläufen entweder gegen NULL oder gegen UNENDLICH.
Gesucht ist diejenige Startzahl [mm] x_{1}, [/mm] bei der auch nach "unendlich vielen" Durchläufen das Ergebnis weder gegen NULL noch gegen UNENDLICH tendiert, die sozusagen das Ergebnis in der Schwebe hält.
Ich nenne sie daher hier die Schwebezahl r.
Meine Vermutung :
Bei f(x;i) = [mm] \bruch{x^{2}}{i+c} [/mm] gilt für c [mm] \to \infty: [/mm] c+1.999... < r < c+2
c ist eine Konstante
Es handelt sich hier um eine Vermutung, zu der ich aufgrund von Experimenten gekommen bin. Kann man diese Vermutung "beweisen" bzw. widerlegen ? |
Das Problem ergibt sich für mich dadurch, dass mein Rechner nur auf 10 Stellen genau ist. Durch "Abschneiden" von Nachkommastellen werden die Schwebezahlen daher bereits nach wenigen Stellen falsch berechnet.
Ich gebe daher hier nur die ersten Stellen von r an (obwohl Schwebezahlen - ähnlich wie Pi und e - unendlich lang und nicht periodisch sind)
Für f(x;i) = [mm] \bruch{x^{2}}{i} [/mm] ist 1.6616 < r < 1.6617
Für f(x;i) = [mm] \bruch{x^{3}}{i} [/mm] ist 1.1563 < r < 1.1564
Für f(x;i) = [mm] \bruch{x^{4}}{i} [/mm] ist 1.0704 < r < 1.0705
Für f(x;i) = [mm] \bruch{x^{5}}{i} [/mm] ist 1.0401 < r < 1.0402
Für f(x;i) = [mm] \bruch{x^{2}+x^{3}}{i} [/mm] ist 0.80101 < r < 0.80102
Diese Beispiele sollten mit einem Taschenrechner nachvollziehbar sein:
Man beginnt immer mit i=1.
Indem man zunächst mit dem kleineren und das nächste Mal mit dem größeren Startwert beginnt, kann man das Phänomen bereits nach wenigen Durchläufen beoachten.
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zu aller erst mal eine kleine Frage: Warum ist f so kompliziert?
Ist f gegeben?
Wenn nein so gibt es eine deutlich leichtere Funktion, die entweder gegen unendlich oder gegen 0 läuft oder (für ganz bestimmte [mm] $x_1$) [/mm] weder gegen das eine noch gegen das andere...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:58 Di 09.08.2011 | | Autor: | rabilein1 |
> zu aller erst mal eine kleine Frage: Warum ist f so kompliziert?
> Ist f gegeben?
Im Prinzip kannst du jede beliebige Funktion nehmen.
Allerdings gibt es bei vielen Funktionen gar keine Schwebezahl oder diese ist von vorneherein offensichtlich.
Zum Beispiel f(x)= x+1 oder f(x)= [mm] x^{2}
[/mm]
Daher hatte ich noch das i eingebaut, damit etwas mehr "Leben" ins Spiel kommt.
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> Rekursion:
> Man beginnt die Funktion f(x;i) mit einer Startzahl [mm]x_{1}[/mm]
> und i=1.
> Das Ergebnis wird als [mm]x_{2}[/mm] wieder in die Funktion
> eingesetzt, aber nun mit i=2.
> Das Ergebnis wird als [mm]x_{3}[/mm] wieder in die Funktion
> eingesetzt, aber nun mit i=3 - und so weiter.
>
> Je nach Wahl der Startzahl [mm]x_{1}[/mm] tendiert das Ergebnis nach
> vielen Durchläufen entweder gegen NULL oder gegen
> UNENDLICH.
>
> Gesucht ist diejenige Startzahl [mm]x_{1},[/mm] bei der auch nach
> "unendlich vielen" Durchläufen das Ergebnis weder gegen
> NULL noch gegen UNENDLICH tendiert, die sozusagen das
> Ergebnis in der Schwebe hält.
> Ich nenne sie daher hier die Schwebezahl r.
>
>
> Meine Vermutung :
>
> Bei f(x;i) = [mm]\bruch{x^{2}}{i+c}[/mm] gilt für c [mm]\to \infty:[/mm]
> c+1.999... < r < c+2
>
> c ist eine Konstante
>
> Es handelt sich hier um eine Vermutung, zu der ich aufgrund
> von Experimenten gekommen bin. Kann man diese Vermutung
> "beweisen" bzw. widerlegen ?
>
>
> Das Problem ergibt sich für mich dadurch, dass mein
> Rechner nur auf 10 Stellen genau ist. Durch "Abschneiden"
> von Nachkommastellen werden die Schwebezahlen daher bereits
> nach wenigen Stellen falsch berechnet.
>
> Ich gebe daher hier nur die ersten Stellen von r an (obwohl
> Schwebezahlen - ähnlich wie Pi und e - unendlich lang und
> nicht periodisch sind)
>
> Für f(x;i) = [mm]\bruch{x^{2}}{i}[/mm] ist 1.6616 < r < 1.6617
>
> Für f(x;i) = [mm]\bruch{x^{3}}{i}[/mm] ist 1.1563 < r < 1.1564
>
> Für f(x;i) = [mm]\bruch{x^{4}}{i}[/mm] ist 1.0704 < r < 1.0705
>
> Für f(x;i) = [mm]\bruch{x^{5}}{i}[/mm] ist 1.0401 < r < 1.0402
>
> Für f(x;i) = [mm]\bruch{x^{2}+x^{3}}{i}[/mm] ist 0.80101 < r <
> 0.80102
>
> Diese Beispiele sollten mit einem Taschenrechner
> nachvollziehbar sein:
> Man beginnt immer mit i=1.
> Indem man zunächst mit dem kleineren und das nächste Mal
> mit dem größeren Startwert beginnt, kann man das
> Phänomen bereits nach wenigen Durchläufen beoachten.
Hallo rabilein,
ich habe mir einmal den Fall mit [mm] $f(x;i)=\frac{x^2}{i}$ [/mm] angeschaut.
Falls es dazu eine "Schwebezahl" r gibt, so ist zum Beispiel
$\ [mm] x_6\ [/mm] =\ [mm] \frac{r^{64}}{1^{32}*2^{16}*3^8*4^4*5^2*6^1}$
[/mm]
oder allgemein
[mm] x_n [/mm] = [mm] ${\frac{r^{2^n}}{1^{2^{n-1}}*2^{2^{n-2}}*3^{2^{n-3}}*\,.....\,*n^1}}$
[/mm]
Damit dies weder gegen 0 noch gegen [mm] \infty [/mm] strebt, müssen Zähler
und Nenner im Limes etwa gleich groß sein. Durch Logarithmieren,
Gleichsetzen und Kürzen kommt man zur Gleichung
$\ ln(r)\ =\ [mm] \summe_{k=2}^{\infty}2^{-k}*ln(k)$
[/mm]
Durch Berechnung der Summe bis k=42 (nachher ändert sich
am Wert in meinem Rechner nichts mehr) erhalte ich
$\ ln(r)\ [mm] \approx\ [/mm] 0.507833922868$
und damit
$\ r\ [mm] \approx\ [/mm] 1.66168794963$
Das passt zu deiner oben angegebenen Eingrenzung
1.6616 < r < 1.6617
Auf analoge Weise sollte es möglich sein, für die übrigen
Beispiele der Form
f(x;i) = [mm]\bruch{x^{5}}{i}[/mm]
das r darzustellen. Der Fall mit f(x;i) = [mm]\bruch{x^{2}}{i+c}[/mm] führt
auf die Gleichung
$\ ln(r)\ =\ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}2^{-k}*ln(c+k)$
[/mm]
Für c=10 kommt man dabei auf
$\ r\ [mm] \approx\ [/mm] 11.9269485$
Für c=100:
$\ r\ [mm] \approx\ [/mm] 101.99038028$
Für c=1000:
$\ r\ [mm] \approx\ [/mm] 1001.99900398$
Diese Werte sprechen für deine Vermutung.
LG Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:52 Di 09.08.2011 | | Autor: | rabilein1 |
>
> [mm]\ r\ \approx\ 1.66168794963[/mm]
>
> Das passt zu deiner oben angegebenen Eingrenzung 1.6616 < r < 1.6617
Das ist toll, dass du den Wert so genau rausgekriegt hast.
Ich hatte das alles durch Probieren mit meinem klapprigen PC versucht. Und der schneidet beim Quadrieren alles weg, was über 10 Stellen hinausgeht. Insofern traute ich mich nur, ein sehr grobes Ergebnis anzugeben.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:14 Di 09.08.2011 | | Autor: | rabilein1 |
> Für c=1000: [mm]\ r\ \approx\ 1001.99900398[/mm]
>
> Dieser Wert spricht für deine Vermutung.
Ich weiß zwar nicht, wie man so einen "Beweis" führt, aber irgendwie habe ich es "im Gefühl", dass bei [mm] x_{1}=c+2 [/mm] das Ergebnis immer größer und größer wird (also gegen UNENDLICH strebt). Bei relativ kleinen Werten für c ist das offensichtlich. Das hast du ja auch schon für c=1000 gezeigt.
Aber es sollte auch für z.B. c = eine Billion so sein.
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> > Für c=1000: [mm]\ r\ \approx\ 1001.99900398[/mm]
> >
> > Dieser Wert spricht für deine Vermutung.
>
> Ich weiß zwar nicht, wie man so einen "Beweis" führt,
> aber irgendwie habe ich es "im Gefühl", dass bei
> [mm]x_{1}=c+2[/mm] das Ergebnis immer größer und größer wird
> (also gegen UNENDLICH strebt). Bei relativ kleinen Werten
> für c ist das offensichtlich. Das hast du ja auch schon
> für c=1000 gezeigt.
>
> Aber es sollte auch für z.B. c = eine Billion so sein.
Hallo rabilein,
ich habe die Summenformel $ \ ln(r)\ =\ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}2^{-k}\cdot{}ln(c+k) [/mm] $
Mathematica vorgelegt. Eigenartigerweise geht dabei jedoch
etwas schief. Es kommt nämlich 0 heraus, was aber
offensichtlich nicht stimmen kann. Ich weiß nicht, was
für einen Fehler ich mache oder ob allenfalls sogar
Mathematica da irgendwie strauchelt ...
Im algebraischen Ergebnis kommt übrigens eine
spezielle Funktion (Lerch-Phi-Funktion) vor, die ich
sonst noch nirgends angetroffen habe.
LG Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:58 Mi 10.08.2011 | | Autor: | rabilein1 |
> Diese Werte sprechen für deine Vermutung.
Warum gilt für [mm] \bruch{(x+c)^{2}}{i+c} [/mm] für sehr große c hinsichtlich der Schwebezahl r: 1.999... < r < 2
Fangen wir mit r < 2 an. Dafür setzte ich r=2. Nun müsste die rekursive Funktion für alle c gegen UNENDLICH gehen.
[mm] \bruch{(c+2)^{2}}{c+1} [/mm] = [mm] c+3+\bruch{1}{c+1}
[/mm]
Man sieht daraus:
Die in der Klammer neu einzusetzende Zahl ist um mehr als 1 größer als die alte Zahl (alt: c+2 / neu: c+3+...), während sich der Nenner "nur" um 1 erhöht. Das heißt: Die Zahlen werden immer größer, und zwar unabhängig von c.
Etwas komplizierter wird es hinsichtlich 1.999... < r
Statt 1.999... schreibe ich 2 - a, wobei a gegen NULL streben soll.
[mm] \bruch{(c+2-a)^{2}}{c+1} [/mm] = c+3+...
Wie entwickelt sich a bei extrem großen Werten für c?
Strebt es dann gegen NULL?
Das herauszufinden ist etwas für echte Mathe-Freaks.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:04 Di 09.08.2011 | | Autor: | hippias |
Könnte es sein, dass es sich bei dem Beispiel f(x,i):= [mm] \frac{x^{e}}{i} [/mm] für die Schwebezahl um ein interessantes, aber rein numerisches Phantom handelt? Denn definiert man eine Schwebezahl als einen Startwert, für den die entsprechende rekursive Zahlenfolge weder eine Nullfolge ist noch gegen [mm] \infty [/mm] konvergiert, so folgt, dass es keine Schwebezahl gibt - wenn ich mich nicht täusche:
Behauptung: Es sei [mm] r\in R_{>0} [/mm] und die Zahlenfolge x rekursiv definiert durch [mm] x_{1}:= [/mm] r und für [mm] i\in [/mm] N sei [mm] x_{i+1}:= f(x_{i},i). [/mm] Ist x beschränkt, so ist x eine Nullfolge.
Beweis. Offensichtlich gilt stets [mm] x_{n}>0. [/mm] Es gelte [mm] x_{i}< [/mm] M für alle [mm] i\in [/mm] N. Wir haben [mm] \frac{x_{i+1}}{x_{i}}= \frac{x^{e-1}_{i}}{i}, i\in [/mm] N.
Ist nun [mm] i>2M^{e-1}, [/mm] so folgt [mm] \frac{x^{e-1}_{i}}{i}< \frac{M^{e-1}}{i}< \frac{1}{2}. [/mm] Damit gilt für alle [mm] k\in [/mm] N, dass [mm] x_{i+k}< \frac{1}{2^{k}} x_{i}, [/mm] so dass x eine Nullfolge ist.
Also erscheint es mir sinnvoll eine Schwebezahl als Startwert zu definieren, bei dem die Folge beschränkt bleibt (und ruhig gegen Null konvergieren kann). Dann sind die Werte, die ihr gefunden habt nämlich die Grenzen unterhalb welcher die Folge eine Nullfolge ist, und oberhalb welcher bestimmte Divergenz vorliegt. Es wäre wohl eine interessante Frage, was geschieht, wenn man die Grenze als Startwert wählt.
An sich sind Schwebezahlen eine interessante Sache, wie die Mandelbrot-, Julia- und etc. Mengen zeigen.
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> Könnte es sein, dass es sich bei dem Beispiel f(x,i):=
> [mm]\frac{x^{e}}{i}[/mm] für die Schwebezahl um ein interessantes,
> aber rein numerisches Phantom handelt? Denn definiert man
> eine Schwebezahl als einen Startwert, für den die
> entsprechende rekursive Zahlenfolge weder eine Nullfolge
> ist noch gegen [mm]\infty[/mm] konvergiert, so folgt, dass es keine
> Schwebezahl gibt - wenn ich mich nicht täusche:
> Behauptung: Es sei [mm]r\in R_{>0}[/mm] und die Zahlenfolge x
> rekursiv definiert durch [mm]x_{1}:=[/mm] r und für [mm]i\in[/mm] N sei
> [mm]x_{i+1}:= f(x_{i},i).[/mm] Ist x beschränkt, so ist x eine
> Nullfolge.
> Beweis. Offensichtlich gilt stets [mm]x_{n}>0.[/mm] Es gelte [mm]x_{i}\ <\ M[/mm]
> für alle [mm]i\in[/mm] N. Wir haben [mm]\frac{x_{i+1}}{x_{i}}= \frac{x^{e-1}_{i}}{i}, i\in[/mm]
> N.
> Ist nun [mm]i>2M^{e-1},[/mm] so folgt [mm]\frac{x^{e-1}_{i}}{i}< \frac{M^{e-1}}{i}< \frac{1}{2}.[/mm]
> Damit gilt für alle [mm]k\in[/mm] N, dass [mm]x_{i+k}< \frac{1}{2^{k}} x_{i},[/mm]
> so dass x eine Nullfolge ist.
>
> Also erscheint es mir sinnvoll eine Schwebezahl als
> Startwert zu definieren, bei dem die Folge beschränkt
> bleibt (und ruhig gegen Null konvergieren kann). Dann sind
> die Werte, die ihr gefunden habt nämlich die Grenzen
> unterhalb welcher die Folge eine Nullfolge ist, und
> oberhalb welcher bestimmte Divergenz vorliegt. Es wäre
> wohl eine interessante Frage, was geschieht, wenn man die
> Grenze als Startwert wählt.
>
> An sich sind Schwebezahlen eine interessante Sache, wie die
> Mandelbrot-, Julia- und etc. Mengen zeigen.
Hallo hippias,
das ist ja nun wirklich interessant - da wird den Zahlen, die
man als Startzahlen für die Rekursion einsetzt, ja wirklich eine
krasse Entscheidung abgefordert: entweder Konvergenz gegen
Null oder bestimmte Divergenz gegen [mm] +\infty [/mm] , und nichts dazwischen.
Ganz anders als bei der geometrischen Zahlenfolge [mm] a_n=q^n [/mm] ,
die immerhin für $\ q=1$ zwischen den beiden Extremfällen auf
dem konstanten Wert 1 beharren kann ...
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:46 Mi 10.08.2011 | | Autor: | rabilein1 |
> > ... , so folgt, dass es keine Schwebezahl gibt
Die Schwebezahlen sind ja unendlich lang (ähnlich wie Pi).
Würde man sie dagegen einfach an irgend einer Stelle abbrechen, dann würde die Folge natürlich ENTWEDER gegen Null ODER gegen unendlich gehen.
> da wird den Zahlen, die man als Startzahlen für die Rekursion einsetzt,
> ja wirklich eine krasse Entscheidung abgefordert: entweder Konvergenz
> gegen Null oder bestimmte Divergenz gegen [mm]+\infty[/mm]
> und nichts dazwischen.
Mit dieser Aussage hast du den Nagel voll auf den Kopf getroffen.
Der Hintergrund, wie ich überhaupt auf die Sache mit den "Schwebezahlen" kam, war folgender: Es ging um eine philosophische Frage: "Warum werden die Reichen immer reicher und die Armen immer ärmer?"
Wer heute bettelarm ist, ist es deshalb, weil er schon gestern bettelarm war, und er wird auch morgen immer noch bettelarm sein.
Wer dagegen heute superreich ist, ist es deshalb, weil er schon gestern superreich war, und er wird auch morgen immer noch superreich sein.
Hier spielt also - mathematisch gesehen - die Rekursion eine Rolle. Das inkremente i in der Formel soll zeigen, dass sich die Bedingungen im Laufe der Zeit leicht ändern.
Das Interessante ist aber - und nun kommen wir auf das "Schwebende": An welcher Stelle genau entscheidet sich, ob man langfristig arm oder reich wird? = Das kann im Zweifelsfall ein ganz hauchdünner, am Anfang gar nicht zu erkennender Punkt sein.
So wie der Unterschied zwischen 1.6616879496 und 1.6616879497 (um die von Al-Chwarizmi ermittelte Zahl als Beispiel zu nehmen). Hier wäre erst die zehnte Stelle hinter dem Komma entscheidend.
Meine dahintersteckende Philosophie ist: Ob ein Mensch, eine Firma, ein Staat Pleite geht oder nicht, könnte im Extremfall von einem einzigen Cent abhängen. In der Praxis tritt so ein Extremfall nicht auf - denkt man.
Doch - so etwas gibt es:
Ein Klassenkamerad von mir ist sitzengeblieben, weil er in einer Französisch-Klausur ein Komma einen halben Millimeter zu lang gemacht hat.
Das ist kein Witz. Das ist das Leben. Und das Leben kann manchmal sooo grausam sein.
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> > > ... , so folgt, dass es keine Schwebezahl gibt
>
> Die Schwebezahlen sind ja unendlich lang (ähnlich wie Pi).
> Würde man sie dagegen einfach an irgend einer Stelle
> abbrechen, dann würde die Folge natürlich ENTWEDER gegen
> Null ODER gegen unendlich gehen.
Hallo rabilein,
hippias sagt aber Folgendes: selbst wenn man diese Zahlen,
die du "Schwebezahlen" nennen möchtest (und für die hippias
wohl eine andere Bezeichnung vorschlagen würde) in ihrer
vollen irrationalen Realität ernst nimmt (und also keineswegs
irgendwo abbricht !), bleibt auch für eine solche Zahl als
Startzahl die entstehende Zahlenfolge NICHT "in der Schwebe",
sondern: ENTWEDER geht sie gegen Null ODER gegen unendlich.
LG Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:58 Do 11.08.2011 | | Autor: | rabilein1 |
> sondern: ENTWEDER geht sie gegen Null ODER gegen unendlich.
Meine These war ja gerade:
Wenn die Zahl gegen NULL tendiert, dann muss man sie erhöhen.
Wenn sie gegen UNENDLICH tendiert, dann muss man sie verringern.
Demzufolge kann man immer noch eine weitere Stelle hinzufügen.
Das Problem könnte allerdings sein, dass man - im Gegensatz zu Pi - selbst mithilfe von Supercomputern nur relativ wenige Stellen ausrechnen kann.
Meine These ist ja nur reine Theorie.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:12 Do 11.08.2011 | | Autor: | rabilein1 |
Noch mal ein Vergleich meiner "Schwebezahl" mit der Zahl [mm] \pi [/mm] (Pi).
Was wäre denn, wenn man die Fläche eines Kreises ausrechnen will und die Zahl [mm] \pi [/mm] einfach irgendwo abbrechen würde?
Okay - das tut man wohl auch in der Praxis.
Es führt aber doch wohl dazu, dass man gar nicht die Fläche des Kreises ausgerechnet hat, sondern stattdessen die Fläche eines regelmäßigen 2048-Ecks.
Der Unterschied ist mit dem bloßen Auge natürlich nicht zu erkennen. Genauso wird man nach 2048 Durchläufen auch nicht mit dem bloßen Auge erkennen, ob eine Folge nach weiteren 1000 Durchläufen plötzlich anfängt, immer kleiner zu werden und dann gegen NULL zu tendieren, oder ob sie plötzlich Fahrt aufnimmt und gegen UNENDLICH strebt.
Man muss also so tun, als ob sich die Folge erst nach dem "unendlichsten" Durchlauf entscheidet, wohin sie tendiert (so wie ein Kreis eben rund ist und kein 2048-Eck)
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> Meine These war ja gerade:
> Wenn die Zahl gegen NULL tendiert, dann muss man sie
> erhöhen.
> Wenn sie gegen UNENDLICH tendiert, dann muss man sie
> verringern.
>
> Demzufolge kann man immer noch eine weitere Stelle
> hinzufügen.
>
> Das Problem könnte allerdings sein, dass man - im
> Gegensatz zu Pi - selbst mithilfe von Supercomputern nur
> relativ wenige Stellen ausrechnen kann.
>
> Meine These ist ja nur reine Theorie.
Hallo rabilein,
betrachten wir ein konkretes Beispiel:
Für die Rekursion mit der Funktion $ [mm] f(x;i)=\frac{x^2}{i} [/mm] $
kann man ja die Zahl r (ich nenne sie jetzt einmal
"Scheidezahl" statt "Schwebezahl") durch eine Formel
beschreiben:
$ \ ln(r)\ =\ [mm] \summe_{k=2}^{\infty}2^{-k}\ [/mm] ln(k) $
und also
$ \ r\ =\ [mm] \mbox{\large {e^{\ \summe_{k=2}^{\infty}2^{-k}\,ln(k)}}} [/mm] $
Dies ist eine exakte Darstellung der irrationalen Zahl r.
Wollte man sie ausschreiben, so hätte man unendlich viele
Dezimalstellen. Dieser Dezimalentwicklung kann man also
gar keine zusätzliche Stelle hinzufügen.
Hippias' Überlegung zeigt nun einfach, dass auch diese Zahl
r selbst, als Startzahl genommen, entweder zu einer Folge
führt, die gegen Null oder gegen unendlich geht. Welcher der
beiden Fälle nun wirklich vorliegt, kann man natürlich nicht
numerisch mit noch so langen abbrechenden Zahlenwerten
entscheiden, sondern dazu wäre eine algebraische Überlegung
nötig, die ich leider nur im Moment nicht gerade anbieten kann.
Ich habe nur die Vermutung, dass die Folge dann noch gegen
unendlich strebt.
Nebenbei: "reine Theorie" ist in einem solchen Fall stärker
als jede "praktische" Nachprüfung - falls die Theorie nur
richtig ist.
LG Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:05 Do 11.08.2011 | | Autor: | rabilein1 |
> Ich habe nur die Vermutung, dass die Folge dann noch gegen unendlich strebt.
Wenn es nur die Alternativen NULL und UNENDLICH gibt, dann bin ich zwar auch für [mm] \infty.
[/mm]
Doch was heißt in diesem Fall [mm] \infty [/mm] ?
Gibt es eventuell sogar zwei unterschiedliche Arten von [mm] \infty [/mm] ?
Das eine ist das [mm] \infty [/mm] , das man erzielt, wenn man z.B. 1.7 in die Funktion einsetzt. Dann ist nach wenigen Schritten ersichtlich, dass die Folge niemals auf NULL zurückfallen kann.
Das andere [mm] \infty [/mm] bedeutet lediglich, dass die Folge immer größer wird. Man kann sogar sagen, dass sie nach 1.000.000 Durchläufen die Zahl 1.000.000 erreicht hat.
Ergo hat sie nach [mm] \infty [/mm] Durchläufen die "Zahl" [mm] \infty [/mm] erreicht.
Wenn man sooooo argumentiert, dann kommt man natürlich auf [mm] \infty. [/mm] Trotzdem ist das in meinen Augen ein anderes [mm] \infty [/mm] als im ersten Fall.
Und so sind wir bei meiner Überschirft: "Was bedeutet 'unendlich'?"
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> > Ich habe nur die Vermutung, dass die Folge dann noch gegen
> unendlich strebt.
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> Wenn es nur die Alternativen NULL und UNENDLICH gibt, dann
> bin ich zwar auch für [mm]\infty.[/mm]
>
> Doch was heißt in diesem Fall [mm]\infty[/mm] ?
>
> Gibt es eventuell sogar zwei unterschiedliche Arten von
> [mm]\infty[/mm] ?
>
> Das eine ist das [mm]\infty[/mm] , das man erzielt, wenn man z.B.
> 1.7 in die Funktion einsetzt. Dann ist nach wenigen
> Schritten ersichtlich, dass die Folge niemals auf NULL
> zurückfallen kann.
>
> Das andere [mm]\infty[/mm] bedeutet lediglich, dass die Folge immer
> größer wird. Man kann sogar sagen, dass sie nach
> 1.000.000 Durchläufen die Zahl 1.000.000 erreicht hat.
> Ergo hat sie nach [mm]\infty[/mm] Durchläufen die "Zahl" [mm]\infty[/mm]
> erreicht.
>
> Wenn man sooooo argumentiert, dann kommt man natürlich auf
> [mm]\infty.[/mm] Trotzdem ist das in meinen Augen ein anderes
> [mm]\infty[/mm] als im ersten Fall.
>
> Und so sind wir bei meiner Überschirft: "Was bedeutet
> 'unendlich'?"
In der Mengenlehre gibt es sogar eine unendliche Hierarchie
von Unendlichkeiten. Darum geht es aber hier nicht. Es geht
nur um die Konzepte "Nullfolge" und "bestimmt divergente
Folge" für reelle Zahlenfolgen, also Funktionen [mm] f:\IN\to\IR [/mm] .
Um eine gegen Null konvergierende Folge bzw. eine "gegen
[mm] \infty [/mm] strebende" Folge zu charakterisieren, vermeidet man den
Unendlichkeitsbegriff in den entsprechenden Definitionen
sogar vollständig.
Das sieht dann zum Beispiel so aus:
Sei eine Zahlenfolge [mm] f:\IN\to\IR [/mm] gegeben.
Falls zu jeder (noch so großen) Zahl K eine Zahl N mit
der Eigenschaft
$\ n>N\ \ [mm] \Rightarrow\ [/mm] \ f(n)>K$
existiert, so sagt man, die Folge f divergiere gegen [mm] \infty [/mm] und
schreibt dafür symbolisch
[mm] $\limes_{n\to\infty}f(n)\ [/mm] =\ [mm] \infty$
[/mm]
Die Definition einer "gegen [mm] \infty [/mm] strebenden Folge" benützt also
den Unendlichkeitsbegriff gar nicht explizit. Dieser steckt
jedoch hinter dem unscheinbaren "zu jeder (noch so großen) Zahl K".
In diesem Sinne gibt es also hier keineswegs "unterschiedliche
Unendlichkeiten".
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:17 Do 11.08.2011 | | Autor: | rabilein1 |
> ich nenne sie jetzt einmal "Scheidezahl" statt "Schwebezahl"
Vor längerer Zeit hatte ich sie hier mal "Grenzwert" genannt, weil die Zahl eine Grenze darstellt zwischen dem Absturz auf NULL und dem Streben gegen UNENDLICH.
Und da hätte man mich hier im Matheraum fast gelyncht, weil der Begriff "Grenzwert" schon anderweitig belegt ist.
Anscheinend scheint es für dieses Phänomen aber noch gar keinen offiziellen Begriff zu geben; sonst hätte sich hier doch schon längst Jemand diesbezüglich lautstark zu Wort gemeldet.
Um so erstaunter fand ich es dann, so man sofort eine relativ kurze Formel präsentieren konnte, wie dieser Grenzwert, ähhh die SchwebeScheidezahl haargenau ermittelt werden kann.
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> > ich nenne sie jetzt einmal "Scheidezahl" statt
> "Schwebezahl"
>
> Vor längerer Zeit hatte ich sie hier mal "Grenzwert"
> genannt, weil die Zahl eine Grenze darstellt zwischen dem
> Absturz auf NULL und dem Streben gegen UNENDLICH.
>
> Und da hätte man mich hier im Matheraum fast gelyncht,
> weil der Begriff "Grenzwert" schon anderweitig belegt ist.
>
> Anscheinend scheint es für dieses Phänomen aber noch gar
> keinen offiziellen Begriff zu geben; sonst hätte sich hier
> doch schon längst Jemand diesbezüglich lautstark zu Wort
> gemeldet.
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> Um so erstaunter fand ich es dann, so man sofort eine
> relativ kurze Formel präsentieren konnte, wie dieser
> Grenzwert, ähhh die SchwebeScheidezahl haargenau ermittelt
> werden kann.
1.) deine Begriffsbildung einer "Schwebezahl" finde ich durchaus
hübsch - nur trifft sie im vorliegenden Fall offenbar nicht genau
das, was du mit dem Wort gemeint hast.
Eine Google-Suche zeigt aber, dass der Ausdruck jedenfalls noch
nicht anderweitig beansprucht wird.
2.) Mein Ausdruck "Scheidezahl" ist eben so frei erfunden und scheint
ebenso unverbraucht zu sein.
3.) "Grenzwert" hat allerdings bestimmte Bedeutungen - einerseits in
der Mathematik (insbesondere Analysis) und andererseits etwa in
der Gesetzgebung (Grenzwerte für bestimmte Schadstoffe etc.).
4.) In der Mathematik gibt es weitere Begriffe wie "untere Schranke",
"obere Schranke", "Infimum", "Supremum", um gewisse Zahlenwerte
mit ähnlichen Rollen zu beschreiben.
LG Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:18 Fr 12.08.2011 | | Autor: | rabilein1 |
> 3.) "Grenzwert" hat allerdings bestimmte Bedeutungen -
> ... etwa in der Gesetzgebung (Grenzwerte für bestimmte Schadstoffe etc.).
Genau daran muss ich seinerzeit gedacht haben, als ich von 'Grenzwert' sprach (anstelle von Schwebezahl oder Scheidezahl)
Angenommen, man führt sich einen Schadstoff zu - der sei vergleichbar mit der Funktion f(x;i).
Von einer bestimmten Menge an (der Schwebezahl / Scheidezahl) wäre dieser Stoff tödlich. Weil dann ein Prozess abläuft, der nicht mehr umkehrbar ist. Ein bisschen weniger als diese Menge, und der Mensch kann gerettet werden, erhohlt sich, und wird langfristig wieder gesund. Aber nur ein Fitzelchen mehr als als diese Menge, und man ist tot - und zwar für immer.
Genau so etwas sollte diese Funktion im Prinzip darstellen. Klingt jetzt vielleicht etwas dramatisch. Aber dein Beispiel mit dem Schadstoff trifft es daher schon ganz gut.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Do 11.08.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:20 Mi 17.08.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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