Schwere Konvergenz < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:44 Sa 19.01.2008 | | Autor: | matheja |
| Aufgabe | Hi.
Rechne gerad ein bischen mit Grenzwerten und bin mir bei folgenden drei Aufgaben unsicher.Würd mich sehr darüber freuen wen mir jemand hlefen könnte:
Aufgabe:
Bestimen Sie gegfalls in abhängigkeit von den auftreten Parrametren mit Hilfe von de l´hospital die nachstehenden Grezwerte:
a) [mm] \limes_{x\rightarrow 1}(1-x)*\tan(\bruch{\pi*x}{2}) [/mm] ,
b) [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\ln(1-x)+x^2}{(1+x)^{k}-1+x^{2}} [/mm] für [mm] k\not=0
[/mm]
c) [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}x^{m}*e^{-wx}
[/mm]
m element der natürlichen zahlen ;w>0 |
Mein Lösungsansätze:
zu a: Aufgabe ist vom typ [mm] "0*\infty" [/mm] wobei ich mir nicht sicher bin
f(x):=(1-x) => f'(x)=1
[mm] g(x):=\tan(\bruch{\pi*x}{2},=> g'(x)=1+\tan^{2}(\bruch{\pi*x}{2}
[/mm]
Es muss gelten f(1)=g(1) nach Satz von de l´hospital mit f(1)=0, g(1)=0,027..
darf ich also hier überhaupt anwenden???
ich habs einfach mal angenommen,weil in der aufgabe nichts anderse steht
=> [mm] \limes_{x\rightarrow 1}\bruch{f'(x)}{g'(x)}=\bruch{f'(x)}{\bruch{1}{g'(x)}}=\bruch{1}{1+\tan^{2}(\bruch{pix}{2}}=\bruch{\pi}{2} [/mm] ???
zu b) Aufgaeb ist vom Typ"0/0"
[mm] f(x):=\ln(1-x)+x^{2} [/mm] => [mm] f'(x)=\bruch{-1}{x}(1-x)+2x
[/mm]
[mm] g(x):=(1+x)^{k}-1+x^{2} [/mm] => [mm] g'(x)=k(1+x)^{k-1}+2x
[/mm]
f(0)=g(0)=0
[mm] =>\bruch{f(x)}{g(x)}=\bruch{\bruch{-1}{x}+2x}{k(1+x)^{k-1}+2x}= [/mm] ???
weiß leider nicht wie dann weiter gehnt auch die nächsten aufgaben machen den ausdruck nur komplizierter
zu c) Aufgabe ist vom Typ [mm] "1^{\infty}
[/mm]
[mm] f(x)=x^{m} [/mm]
[mm] g(x)=e^{-wx}
[/mm]
mit [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x)=g(x)=\infty
[/mm]
es gilt also [mm] f(x)^{g(x)}=e^{g(x)*\ln(f(x))}=e^{e^{-wx}*\ln(x^{m}}=e^{\bruch{\ln(x^m}{\bruch{1}{-we^{-wx}}}}=???
[/mm]
Ich denke hoffe ich hab die a)?? richtig gelöst bei der b und c jedoch komm ich nicht weiter.Hier bin ich auf eure Hilfe angweisen.
Ein Dankeschön vorweg
matheja
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:47 Sa 19.01.2008 | | Autor: | matheja |
hab mal weiter gerechnet und komm jetzt ...
bei a;
nach dem ich [mm] tan(\pi*x/2)=sin(\pi*x)/cos(\pi*x) [/mm] einstze auf -1 als grenzwert ??
irgendwie bin ich zur zeit echt verwirrt , wär echt dankbar wen jemand mir helfen könnte
thx im vorraus
matheja
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:11 Sa 19.01.2008 | | Autor: | matheja |
zu a
[mm] \limes_{n\rightarrow\1} (1-x)tan(\bruch{\pi*x}{2})
[/mm]
kann überhaupt de l´hospital anwenden ??
Nur für solche formen ist der Satz deacht
1, 0* [mm] \infty
[/mm]
[mm] 2.\infty*\infty
[/mm]
3.0/O
4, [mm] 1^{\infty}
[/mm]
usw..
Mir ist diesen Audruck keiner dieser formenn zu erkennen
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Hallo matheja,
könntest du bitte deinen Ausgangspost etwas verschönern, so wie es dasteht, ist es nahezu unleserlich.
Man kann kaum erkennen, was Zähler und Nenner sein sollen 
Das erhöht mit Sicherheit die Antwortwahrscheinlichkeit immens 
Also flicke das mal ein bissl
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:08 Sa 19.01.2008 | | Autor: | matheja |
Allles klar, mach ich
a) [mm] \limes_{x\rightarrow1}=(1-x)tan\bruch{\pi*x}{2}
[/mm]
f(x):=(1-x)=>f´(x)=-1
[mm] g(x):=tan\bruch{\pi*x}{2}=>g´(x)=(\bruch{\pi}{2})*(1+tan^{2}\bruch{\pi*x}{2})
[/mm]
nach satz von de l´hospital komm ich dann auf folgenden [mm] Grenzwert=\bruch{-\pi}{2}
[/mm]
[mm] b)\limes_{x\rightarrow0}=\bruch{ln(1-x)^+x^{2}}{(1+x)^{k}-1+x^{2}} [/mm] für k ungleich 0
[mm] f(x):=ln(1-x)^+x^{2}=>f´(x)=\bruch{-1}{x}+2x
[/mm]
[mm] g(x):=(1+x)^{k}-1+x^{2} =>k(1+x)^{k-1}+2x
[/mm]
Typ:(0/0)
nach anwndung von de lospital komm ich dann auf divergenz
[mm] c):\limes_{x\rightarrow\infty} x^{m}*e^{-wx}
[/mm]
[mm] f(x):=x^{m}=>f´(x)=mx^{m-1}
[/mm]
[mm] g(x):=e^{-wx}=>g´(x)=-we^{-wx}
[/mm]
Der ausdruck ist vo nder Form [mm] 0*\infty
[/mm]
[mm] =>\limes_{x\rightarrow\infty}f(x)*g(x)=\bruch{f(x)}{\bruch{1}{g(x)}}
[/mm]
[mm] =>\bruch{mx^{m-1}}{\bruch{1}{-we^{-wx}}}...??? [/mm] naja und hier hackts dann..
Vilen Dank für jede Hilfe
matheja
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
bei (a) kannst du doch so direkt de l'Hôpital gar nicht anwenden.
Es ist doch $\lim\limits_{x\to 1}(1-x)\cdot{}\tan\left(\frac{\pi}{2}\cdot{}x\right)=0\cdot{}\infty$
Um de l'Hôpital anwenden zu können, benötigst du die Darstellung $\frac{f(x)}{g(x)}$ und das muss gegen einen unbestimmten Ausdruck der Form $\frac{0}{0}$ bzw. $\frac{\infty}{\infty}$ streben
Forme hier also zuerst mal um:
$(1-x)\cdot{}\tan\left(\frac{\pi}{2}\cdot{}x\right)=\frac{\tan\left(\frac{\pi}{2}\cdot{}x\right)}{\frac{1}{1-x}$
und das strebt nun für $x\to 1$ gegen $\frac{\infty}{\infty}$
Also kann man schön mit de l'Hôpital ran.
Ich hab's mal durchgerechnet, wenn ich mich nicht schwer verrechnet habe, musst du insgesamt 3mal die Regel von de l'Hôpital bemühen.
Nach der ersten und zweiten Anwendung bekommst du beim Grenzübergang jeweils die unbestimmten Ausdrücke $\frac{0}{0}$
Es sollte als GW schlussendlich $\frac{2}{\pi}$ herauskommen.
Bei der (b) hast du dich bei der Ableitung des Zählers vertan, insbesondere bei der Ableitung von $\ln(1-x)$
Rechen das nochmal nach, da sollte nach einmaliger Anwendung von de l'Hôpital als GW $-\frac{1}{k}$ herauskommen
(c) schaue ich mir gleich erst an
Oder natürlich jemand anderes
Lieben Gruß
schachuzipus
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Hallo nochmal,
bei (c) machst du's dir schwerer als nötig
Du kannst doch direkt [mm] $x^m\cdot{}e^{-wx}$ [/mm] schreiben als [mm] $\frac{x^m}{e^{wx}}$
[/mm]
Das hat schonmal die nötige Form
Nun war [mm] $m\in\IN$ [/mm] vorgegeben.
Du hast [mm] $\frac{x^m}{e^{wx}}$
[/mm]
Das strebt nun direkt gegen [mm] $\frac{\infty}{\infty}$, [/mm] also ein Fall für den altbekannten Herrn und seine Regel
Tipp: m-mal anwenden !!
Was steht dann im Zähler, was im Nenner und wogegen strebt es für [mm] $x\to\infty$?
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:08 So 20.01.2008 | | Autor: | matheja |
Vielen Dank für deine Hilfe!
Meinst du als Tipp m-mal ableiten?
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{x^{m}}{e^{wx}}=\bruch{mx^{m-1}}{w^{n}e^{wx}}
[/mm]
=> für w>0=> =1
=>w=0 =>.../0 => nicht definiert
=> GW ist 1 für w>0
meinst du das damit
matheja
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Hallo,
> Vielen Dank für deine Hilfe!
>
> Meinst du als Tipp m-mal ableiten? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
genau das meine ich, m-mal Zähler und Nenner getrennt ableiten
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{x^{m}}{e^{wx}}=\bruch{mx^{m-1}}{w^{n}e^{wx}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hier ist nur der Nenner n-mal abgeleitet, der Zähler nur einmal!
Ich meinte beides ableiten, und zwar \red{m} mal
Wenn du x^m ableitest, bekommst du mx^{m-1}
Wenn du das ableitest, bekommst du m\cdot{}(m-1)x^{m-2}
usw. usf. m-mal, ergibt m!\cdot{}x^0=m! (m Fakultät)
> => für w>0=> =1
??
w ist doch fest, wenn x gegen \infty geht, so erschlägt das e^{wx} doch alles, insbesondere spielt das (feste!) w^m keine Rolle
> =>w=0 =>.../0 => nicht definiert
????
Du hast in deinem ersten post w>0 vorausgesetzt
> => GW ist 1 für w>0
>
> meinst du das damit
Nein
Nach m-maligenr Anwendung von de l'Hôpital hast du $\frac{m!}{w^m\cdot{}e^{wx}$
und das strebt gegen ???
m ist doch ne feste Zahl und damit m! auch, e^x wird das schon irgenwann um Längen übertreffen, ebenso w^me^{wm}
GW ist also 0
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:44 So 20.01.2008 | | Autor: | matheja |
Vielen Dank für deine Hilfe langsam aber sicher fang ich an das zu blicken:)
mathe
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