Schwerpunkt Parabel 3dim Raum < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich würde gerne die Koordinaten des Linienschwerpunkts einer Funktion (z.B. [mm] y=x^2) [/mm] im x-y-z-Koordinatensystem (also im 3dimensionalen Raum) berechnen.
Prinzipiell weiß ich wie ich da vorgehen muß - ich habe es schon im x-y-Koordinatensystem (2dimensionalen Raum) getan.
Hier die Vorgehensweise für den 2d-Raum:
xs= [mm] \bruch{1}{L} [/mm] * [mm] \integral_{0}^{L}{x dL} [/mm] L ist die Bogenlänge: [mm] L=\integral_{o}^{L}{\wurzel{1+f'(x)^2 }dx}
[/mm]
[mm] dL=\wurzel{dx^2+dy^2} [/mm]
[mm] dy^2=4x^2dx^2 [/mm] => [mm] dL=\wurzel{dx^2+4x^2dx^2}=\wurzel{1+4x^2}dx [/mm] also = [mm] \wurzel{1+f'(x)^2 }
[/mm]
----------------------------------------------------------------------------------------
Wenn ich für eine Parabel im 3d-Raum den Schwerpunkt bestimmen will:
Funktionsgleichung:
[mm] z(x,y)=x^2+y^2
[/mm]
[mm] dL=\wurzel{dx^2+dy^2+dz^2} [/mm]
Jetzt müßte ich doch eine Ableitung bilden und in dL einsetzen damit dL nur durch eine Variable ausgedrückt wird, wie im 2d-Raum:
Allerdings kann ich [mm] z=x^2+y^2 [/mm] nach x ableiten und einsetzen - nur bleibt dann noch das [mm] dy^2 [/mm] was ich irgendwie durch x ausdrücken müßte.
Was kann ich tun?
Über Hilfe würde ich mich sehr freuen.
Viele Grüße,
Jörg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:10 Mi 04.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie willst du denn deine Parabel beschreiben, wenn nicht parametrisiert durch [mm] \vec{r(t)}
[/mm]
dann ist dL=r'(t)dt
[mm] z=x^2+y^2 [/mm] ist keine Kurve, sondern eine Fläche (Rotationsparaboloid!)
gruss leduart
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Hallo leduart,
gibt es den generell keine Möglichkeit eine Parabel im 3d-Raum (X-Y-Z-Koordinatensystem) in expliziter Darstellung z(x,y)="x"+"y" zu formulieren?
Gibt es auch für Geraden oder Wurfparabeln keine explizite Formulierung im 3d-Raum?
Oder kann man Kurven, die man im (x,y)-Koordinatensystem explizit darstellen kann (z.B. [mm] y=x^{2} [/mm] oder [mm] y=\wurzel{x}) [/mm] im 3d-Raum generell nicht explizit darstellen?
Die Parameterdarstellung einer Parabel im 2d-Raum lautet:
[mm] f(t)=\vektor{x(t) \\ y(t)} [/mm] x(t)=t [mm] y(t)=t^{2} [/mm] t=a..b
Die Parameterdarstellung einer Parabel im 3d-Raum bekomme ich leider nicht hin. Könntest du mir da einen Tipp geben?
Vielen Dank für deine Hilfe im Voraus!!
Viele Grüße, flash20001
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:33 So 08.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du kannst etwa in 3d die Parabel in der x-y Ebene irgendwie geben wie oben oder verschoben einfach die dritte komponente 0. dann das ganze mit ner Drehmatrix drehen.
Aber was soll das alles? eine parabel ist ne ebene figut, die in den [mm] \IR^3 [/mm] zu legen ändert doch ihre Länge nicht, das einfachst ist, sie in der ebene in der sie liegt , und das ist am einfachsten in der xy oder xz oder yz ebene zu nehmen.
wenn du was räumliches willst nimm ne echte Raumkurve, z. bsp ne Schreubenlinie.
mit einer Gleichung kannst du keine Kurve im 3d beschreiben, das sind immer Flächen, 2 davon schneiden sich i.A. in einer Kurve, aber die länge von nicht par. Kurven auszurechnen ist sie zu parametrisieren!
auch im 2d hast du echte "Kurven" nur parametrisiert, einige kannst du als Graph von Funktionen darstellen. nur auf der Schule bezeichnet man manchmal Graphen von funktionen als Kurven.
Gruss leduart
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Hallo, natürlich hast du recht wenn du behauptest, daß eine Kurve, die z.B. in der x-y-Ebene liegt, im [mm] R^{3} [/mm] auch keine andere Länge hat. Ich wollte aber erst einmal an einer einfachen Kurve üben - sie im [mm] R^{3} [/mm] darstellen und drehen. Meine Kurve soll in der x-y-Ebene liegen, diese drehe ich dann um +90° um die x-Achse und um +45° um die z-Achse.
x-y-Ebene:
[mm] \vektor{x \\ y}=\vektor{t \\sin(t)}
[/mm]
dann,wie du gesagt hast z=0:
[mm] \vektor{x \\ y\\z}=\vektor{t \\sin(t)\\0}
[/mm]
drehen:
Drehmatrix: um x-Achse +90°gedreht:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 }
[/mm]
Drehmatrix: um z-Achse +45°gedreht:
[mm] \pmat{ \bruch{1}{2}\wurzel{2} & -\bruch{1}{2}\wurzel{2} & 0 \\ \bruch{1}{2}\wurzel{2} & \bruch{1}{2}\wurzel{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Wie kann ich die Parameterdarstellung [mm] \vektor{x \\ y\\z}=\vektor{t \\sin(t)\\0} [/mm] nun mit den Drehmatrizen multiplizieren - sie sind doch (3,3)-Matrizen, die P.-Darstellung ist eine (3,1)-Matrix?
Über eine Antwort würde ich mich freuen - ich hoffe es macht nicht zu viele Umstände.
Vielen Dank für die Hilfe.
Viele Grüße, flash20001
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:49 Di 17.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
kannst du Vektoren nicht mit ner Matrix mult? genau wie matrix+ matrix
ergebnis wieder ein Vektor. mit [mm] a)\wurzel{3}/2
[/mm]
ist dein Ergebnis
[mm] \vektor{at\\ at \\ sint}
[/mm]
das ist aber keine Parabel mehr!
Gruss leduart
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