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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:53 Sa 17.12.2011 | | Autor: | caretina |
| Aufgabe | | Berechnen Sie den Schwepunkt des Dreiecks |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://www.onlinemathe.de/forum/Schwerpunkt-einer-Ebene]
Hallo, ich wollte von einer dreieckigen Ebene den Schwerpunkt berechnen, komme allerdings nicht weiter und könnte hilfe gebrauchen.
Die Punkte sind P1(8|−2|−5) als Ortsvektor und P2(4|8|−2) und P3(−2|−2|6).
Die Winkel habe ich schon berechnet, zwischen P1→P2 und P1→P3 =63,95° ,P2→P1 und P2→P3 =70,8° und P3→P1 und P3→P2 =45.25°.
Jetzt wollte ich den Schwerpunkt berechnen. Den Schwerpunkt eines Dreiecks berechnet man ja über die Seitenhalbierenden. Da wollte ich dann erstmal die punkte für die jeweiligen Seitenhalbierende berechnen. dazu habe ich dann die Richtungsvektoren erechnet und halbiert:
P1→P2= -Op1 + Op2 =−(8)+(4)=(−4)
(−2) (8) (10)
(−5) (−2) (3)
Den Vektor, der rauskommt, habe ich sozusagen durch zwei geteilt, also jeweils die Häfte genommen also (−2)
(5)
(1.5)
bei P1→P3 habe ich dabei (−5)
(0)
(1.5) raus.
Die Punkte für die Seitenhalbierenden sind dann P1→P2=(6)
(3)
(−3.5)
und P1→P3=(3)
(−2)
(0.5)
Jetzt habe ich daraus diese Geradenform gebildet,
G1=(−2)+ λ(-2)
(−2) (5)
(6) (1.5)
G2=(4)+ λ(-5)
(8) (0)
(−2) (5.5)
Jetzt habe ich die Funktion zu den beiden Seitenhalbierenden, die durch das Dreieck verlaufen vom jeweiligen Punkt zur Seitenhalbierenden.
EIgentich gibt es ja dann drei geraden, aber ich dachte zwei reichen aus zum gleichsetzen, was ich ja nun eigentlich tun müsste. aber ich versteh das Ergebnis was da rauskommt nicht so recht und jetzt brauche ich nämlich Hilfe. Muss ich doch noch die 3. Gerade rausfinden und muss ich die dann alle gleichsetzen? Und wie komme ich auf den Schwerpunkt und ist mein ganzer Rechenweg falsch oder geht es noch einfacher?
Danke schonmal für eure Hilfe.
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> Berechnen Sie den Schwerpunkt des Dreiecks
> Hallo, ich wollte von einer dreieckigen Ebene den
> Schwerpunkt berechnen, komme allerdings nicht weiter und
> könnte hilfe gebrauchen.
>
> Die Punkte sind P1(8|−2|−5) als Ortsvektor und
> P2(4|8|−2) und P3(−2|−2|6).
>
> Die Winkel habe ich schon berechnet, zwischen P1→P2 und
> P1→P3 =63,95° ,P2→P1 und P2→P3 =70,8° und P3→P1
> und P3→P2 =45.25°.
>
> Jetzt wollte ich den Schwerpunkt berechnen. Den Schwerpunkt
> eines Dreiecks berechnet man ja über die
> Seitenhalbierenden. Da wollte ich dann erstmal die punkte
> für die jeweiligen Seitenhalbierende berechnen. dazu habe
> ich dann die Richtungsvektoren erechnet und halbiert:
>
> P1→P2= -Op1 + Op2 =−(8)+(4)=(−4)
> (−2) (8) (10)
> (−5) (−2) (3)
>
> Den Vektor, der rauskommt, habe ich sozusagen durch zwei
> geteilt, also jeweils die Häfte genommen also (−2)
>
> (5)
>
> (1.5)
>
> bei P1→P3 habe ich dabei (−5)
> (0)
> (1.5) raus.
>
> Die Punkte für die Seitenhalbierenden sind dann
> P1→P2=(6)
>
> (3)
>
> (−3.5)
>
> und P1→P3=(3)
> (−2)
> (0.5)
>
> Jetzt habe ich daraus diese Geradenform gebildet,
>
> G1=(−2)+ λ(-2)
> (−2) (5)
> (6) (1.5)
>
> G2=(4)+ λ(-5)
> (8) (0)
> (−2) (5.5)
>
> Jetzt habe ich die Funktion zu den beiden
> Seitenhalbierenden, die durch das Dreieck verlaufen vom
> jeweiligen Punkt zur Seitenhalbierenden.
> EIgentich gibt es ja dann drei geraden, aber ich dachte
> zwei reichen aus zum gleichsetzen, was ich ja nun
> eigentlich tun müsste. aber ich versteh das Ergebnis was
> da rauskommt nicht so recht und jetzt brauche ich nämlich
> Hilfe. Muss ich doch noch die 3. Gerade rausfinden und muss
> ich die dann alle gleichsetzen? Und wie komme ich auf den
> Schwerpunkt und ist mein ganzer Rechenweg falsch oder geht
> es noch einfacher?
>
>
> Danke schonmal für eure Hilfe.
>
Hallo caretina,
du hast viele Schritte richtig gemacht, aber es ist etwas
schwierig, alles nachzuvollziehen, weil du dich z.B. noch
nicht damit auskennst, wie man hier Vektoren übersicht-
lich darstellen kann. Z.B. kann man die Gleichung durch
den Punkt [mm] P_3 [/mm] und den Mittelpunkt von [mm] P_1P_2 [/mm] so
schreiben:
$\ [mm] g_1:\ [/mm] \ [mm] \pmat{x\\y\\z}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{-2\\-2\\6}+t*\pmat{8\\5\\-9.5}$ [/mm]
Die Richtungsvektoren hast du offenbar nicht richtig
ermittelt.
Falls du die beiden Geradengleichungen richtig aufgestellt
hast, kannst du den Schwerpunkt als deren Schnittpunkt
berechnen. Winkel brauchst du übrigens gar nicht zu
berechnen.
Die Aufgabe kann allerdings auch deutlich einfacher
gelöst werden. Schau dir zum Beispiel mal in diesem
![[]](/images/popup.gif) Artikel die letzten Abschnitte an ("Die Koordinaten
des Schwerpunktes").
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 Sa 17.12.2011 | | Autor: | caretina |
ja, ich hatte ein paar probleme mit der vektorenabbildung, hat nicht so funktioniert, wie ich es mir dachte...sorry :(...
stimmt die beiden gradengleichungen sind glaub ich falsch...da hatte ich vorher ein falschen punkt, die werde ich gleich nochmal richtig errechnen.
aber ich habe nochmal eine frage zum gleichsetzen, ich würde dann ja beide geradengleichungen gleichsetzen, dh es würde wohl so aussehen
[mm] \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} [/mm] + t* [mm] \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} [/mm] + t [mm] \begin{pmatrix} a\\ b \\ c \end{pmatrix}....
[/mm]
aber wie komme ich von da aus jetzt auf den schwerpunkt? das t aus der 1. geradengleichung und das t aus der 2. sind ja zwei unterschiedliche variablen oder? wie bekomme ich denn da jetzt den exakten punkt für den schwerpunkt raus? :(
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Hallo caretina,
> ja, ich hatte ein paar probleme mit der vektorenabbildung,
> hat nicht so funktioniert, wie ich es mir dachte...sorry
> :(...
> stimmt die beiden gradengleichungen sind glaub ich
> falsch...da hatte ich vorher ein falschen punkt, die werde
> ich gleich nochmal richtig errechnen.
>
> aber ich habe nochmal eine frage zum gleichsetzen, ich
> würde dann ja beide geradengleichungen gleichsetzen, dh es
> würde wohl so aussehen
>
> [mm]\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}[/mm] + t*
> [mm]\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}[/mm]
> + t [mm]\begin{pmatrix} a\\ b \\ c \end{pmatrix}....[/mm]
>
> aber wie komme ich von da aus jetzt auf den schwerpunkt?
> das t aus der 1. geradengleichung und das t aus der 2. sind
> ja zwei unterschiedliche variablen oder? wie bekomme ich
> denn da jetzt den exakten punkt für den schwerpunkt raus?
> :(
Nun, der Ortsvektor sowie der Richtungsvektor als auch t sind bei
beiden Geraden verschieden.
Um dies kenntlich zu machen, dass diese verschieden sind,
kannst Du diese mit Indizes versehen:
[mm]\begin{pmatrix} x_{\blue{1}} \\ y_{\blue{1}} \\ z_{\blue{1}} \end{pmatrix} + t_{\blue{1}}*
\begin{pmatrix} a_{\blue{1}} \\ b_{\blue{1}} \\ c_{\blue{1}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{\blue{2}} \\ y_{\blue{2}} \\ z_{\blue{2}} \end{pmatrix}
+ t_{\blue{2}} \begin{pmatrix} a_{\blue{2}}\\ b_{\blue{2}} \\ c_{\blue{2}} \end{pmatrix}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 Sa 17.12.2011 | | Autor: | caretina |
ja stimmt, aber jetzt rechnet man ja [mm] \begin{pmatrix} x1 \\ y1 \\ z1\end{pmatrix} [/mm] und [mm] \begin{pmatrix} x2 \\ y2 \\ z2 \end{pmatrix} [/mm] zusammen und hat dann ja noch t1 und t2 als unbekannte und wie errechne icht das denn jetzt, dass ich diese beiden unbekannten herausbekomme oder muss man das gar nicht? wie erhalte ich dadurch denn den schwerpunkt? lasse ich es mit meinem taschenrechner ausrechnen, dann kommt da kein wirkliches ergebnis raus.
Jetzt habe ich aber gelesen, dass man den Schwerpunkt angeblich errechnen kann, indem man einfach alle drei Ortsvektoren der drei Punkte addiert und diesen Vektor dann durch drei teilt also etwa so:
[mm] \begin{pmatrix} 8 \\ -2 \\ -5 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ -2 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 10 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm] und davon jeweils 1/3 also [mm] \begin{pmatrix} 10/3 \\ 4/3 \\ -1/3 \end{pmatrix}
[/mm]
das erscheint mir aber sehr einfach und merkwürdig...oder könnte das stimmen??
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> Jetzt habe ich aber gelesen, dass man den Schwerpunkt
> angeblich errechnen kann, indem man einfach alle drei
> Ortsvektoren der drei Punkte addiert und diesen Vektor dann
> durch drei teilt also etwa so:
>
> [mm]\begin{pmatrix} 8 \\ -2 \\ -5 \end{pmatrix}\ +\ \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ -2 \end{pmatrix}\ +\ \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}\ =\ \begin{pmatrix} 10 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm]
> und davon jeweils 1/3 also [mm]\begin{pmatrix} 10/3 \\ 4/3 \\ -1/3 \end{pmatrix}[/mm]
>
> das erscheint mir aber sehr einfach und merkwürdig...
> oder könnte das stimmen??
Ja, es stimmt.
In dem Artikel, den ich angegeben habe, kannst du
auch nachlesen, warum dies so einfach ist.
Es lohnt sich bestimmt, wenn du dieses schöne Ergebnis
nicht einfach "konsumierst", sondern dich bemühst, es
wirklich zu verstehen.
LG Al-Chw.
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