Schwerpunkt eines 4-tel Kreise < Bauingenieurwesen < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Hallo ich will die Schwerpunkskoordinaten eines 4-tel Kreises berechnen. |
Wie mache ich das ? Wie stelle ich das Flächenelement auf?
Danke im Vorraus
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich weiß die Schwerpunktkoordinaten berechnen sich so :
ys= [mm] \bruch{\integral_{}^{}{y dA}}{\integral_{a}^{b}{ dA}}
[/mm]
xs= [mm] \bruch{\integral_{}^{}{x dA}}{\integral_{a}^{b}{ dA}}
[/mm]
aber ich kann das nicht rechnen... wie gehe ich an die Sache ran bei Wiki steht nur etwas von Oberflächenberechnung hilft mir nicht.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:20 Do 01.04.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Intelinside!
Ich glaube, Du kannst es Dir ziemlich vereinfachen, wenn Du den Mittelpunkt des Kreises in den Ursprung legst, und den Viertelkreis in den 1. Quadranten drehst.
Dann gilt:
[mm] $$x^2+y^2 [/mm] \ = \ [mm] r^2$$
[/mm]
[mm] $$\Rightarrow [/mm] \ y \ = \ [mm] \wurzel{r^2-x^2}$$
[/mm]
Laut Formelsammlung sollte dann herauskommen:
[mm] $$x_s [/mm] \ = \ [mm] y_s [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4*r}{3*\pi}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar danke für deine schnelle Antwort. Also ich probiers mal:
[mm] \integral_{}^{}{dA} [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{4}*r^{2}
[/mm]
und daraus ergibt sich:
[mm] \bruch{\integral_{}^{}{y}* \bruch{\pi}{4}*r^{2}}{\bruch{\pi}{4}*r^{2}}
[/mm]
mit y = [mm] \wurzel[2]{r^{2}-x^{2}}
[/mm]
gibt:
[mm] \bruch{\integral_{}^{}{\wurzel[2]{r^{2}-x^{2}}
}* \bruch{\pi}{4}*r^{2}}{\bruch{\pi}{4}*r^{2}}
[/mm]
ist das jetzt so ungefähr richtig ich glaube nicht, weil es die Grenzen fehlen (ich würde sagen 0 und r) und mit dem Flächenelement stimmt etwas nicht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:35 Do 01.04.2010 | | Autor: | chrisno |
Hallo,
der übliche "Trick" besteht darin, das Flächenelement so hinzuschreiben, das dann daraus ein dx oder dy entsteht.
"Zur praktischen Bestimmung der x-Koordinate des Schwerpunktes im 2-dimensionalen Fall substituiert man dA mit ydx, was einem infinitesimalen Flächenstreifen entspricht. Ferner entspricht hierbei y der die Fläche begrenzenden Funktion y(x)." (aus http://de.wikipedia.org/wiki/Schwerpunkt.)
Das ist nun, was Du als nächstes tun solltest: Mal Dir mal so ein Flächenelement dA hin.
An einer Stelle (Zum Beispiel bei x=r/3) der x-Achse richtest Du ein schmales Rechteck auf, das gegen den Kreisbogen stößt. Die Flähe dieses Rechtecks ist dA. Die eine Seite hat die Länge dx. Die andere Seite hat die Länge die dem Funktionswert an der Stelle x entspricht, nämlich .....
Integrieren heißt Aufsammeln dieser Flächenelemente. Dabei wird jedes noch mit einem zusätzlichen Faktor x versehen. Um alle der Flächenenlemente einzusammeln, musst Du natürlich bei x=0 beginnen und bei x=r aufhören.
Damit kannst Du nun ein wenig ausfüllen: [mm] $x_s [/mm] = [mm] \bruch{1}{A} \int_0^r [/mm] x [mm] \ldots [/mm] dx$
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Also muss ich eine Funktion finden die die Läge des Kreisbogens beschreibt in Abhänigkeit von x.
Also y(dx) aufstellen und dann alles in
[mm] \bruch{1}{A}\integral_{}^{}{y(dx) dx} [/mm] einsetzten.
Ich habe mir gedacht ich nehme die Formel zur Berechnung der Segmenthöhe :
[mm] h=r-\wurzel{r^{2}-({\bruch{s}{2}})^{2}}
[/mm]
stimmt das soweit?
[Dateianhang nicht öffentlich]
und ich setzte das so ein:
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:54 Fr 02.04.2010 | | Autor: | chrisno |
Dein dA ist falsch eingezeichnet. Es mus ein längliches Rechteck sein, das bis auf die x-Achse untergeht. Dann verstehe ich Dein $f(x)$ nicht. Du hast doch den Zusammenhang [mm] $x^2 [/mm] + [mm] f^2(x) [/mm] = [mm] r^2$ [/mm] Daraus ergibt sich $f(x)$.
Dieses $f(x)$ gibt Dir die Höhe des Rechtecks an. Die Breite ist dx.
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