Schwerpunkt eines Dreiecks < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:22 Mi 31.03.2010 | | Autor: | Fawkes |
| Aufgabe | Gegeben sind die Punkte A(0/2/3), B(6/0/6) und C(2/5/9)
Bestimmen Sie den Schwerpunkt des Dreiecks. |
Hallo,
rechne hier schon eine ganze Weile rum, komme aber nicht auf ein sinnvolles Ergebnis.
Deshalb hier mal mein Lösungsversuch:
Bestimme zuerst zwei Geraden wie folgt:
[mm] \overrightarrow{OB}+1/2\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OP_1}
[/mm]
einsetzen:
[mm] \vektor{6 \\ 0 \\ 6}+1/2\vektor{-4 \\ 5 \\ 3}=\vektor{4 \\ 2,5 \\ 7,5}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{P_1A}: \vektor{0 \\ 2 \\ 3}-\vektor{4 \\ 2,5 \\ 7,5}=\vektor{-4 \\ -0,5 \\ -4,5}
[/mm]
Daraus folgt erste Geradengleichung:
[mm] \overrightarrow{OX_1}:= \vektor{4 \\ 2,5 \\ 7,5}+\lambda\vektor{-4 \\ -0,5 \\ -4,5}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{OA}+1/2\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OP_2}
[/mm]
einsetzen:
[mm] \vektor{0 \\ 2 \\ 3}+1/2\vektor{6 \\ -2 \\ 3}=\vektor{3 \\ 1 \\ 4,5}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{P_2C}: \vektor{2 \\ 5 \\ 9}-\vektor{3 \\ 1 \\ 4,5}=\vektor{-1 \\ 4 \\ 4,5}
[/mm]
Daraus folgt zweite Geradengleichung:
[mm] \overrightarrow{OX_2}:= \vektor{3 \\ 1 \\ 4,5}+\mu\vektor{-1 \\ 4 \\ 4,5}
[/mm]
Jetzt:
[mm] \overrightarrow{OX_1}=\overrightarrow{OX_2} [/mm]
[mm] \gdw\vektor{4 \\ 2,5 \\ 7,5}+\lambda\vektor{-4 \\ -0,5 \\ -4,5}=\vektor{3 \\ 1 \\ 4,5}+\mu\vektor{-1 \\ 4 \\ 4,5}
[/mm]
[mm] \gdw\lambda\vektor{-4 \\ -0,5 \\ -4,5}-\mu\vektor{-1 \\ 4 \\ 4,5}=\vektor{3 \\ 1 \\ 4,5}-\vektor{4 \\ 2,5 \\ 7,5}
[/mm]
[mm] \gdw\lambda\vektor{-4 \\ -0,5 \\ -4,5}-\mu\vektor{-1 \\ 4 \\ 4,5}=\vektor{-1 \\ -1,5 \\ -3}
[/mm]
Rechnet man das nun mit einer Matrix weiter aus, so folgt ein Widerspruch in Form von:
[mm] \lambda=1/3
[/mm]
[mm] \wedge \mu=1/3
[/mm]
[mm] \wedge -4\lambda+\mu=-1
[/mm]
Kann auch gerne noch einmal meine Matrizen aufschreiben, dachte mir aber falls in meiner obigen Rechnung schon ein Fehler steckt lohnt sich das hinterher nicht so wirklich.
Wäre für Antworten dankbar.
Gruß Fawkes
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:06 Mi 31.03.2010 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Fawkes,
Duhast alles richtig gerechnet. Die Probe stimmt doch auch. s.u.
> Gegeben sind die Punkte A(0/2/3), B(6/0/6) und C(2/5/9)
> Bestimmen Sie den Schwerpunkt des Dreiecks.
> Hallo,
> rechne hier schon eine ganze Weile rum, komme aber nicht
> auf ein sinnvolles Ergebnis.
> Deshalb hier mal mein Lösungsversuch:
> Bestimme zuerst zwei Geraden wie folgt:
>
> [mm]\overrightarrow{OB}+1/2\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OP_1}[/mm]
> einsetzen:
> [mm]\vektor{6 \\ 0 \\ 6}+1/2\vektor{-4 \\ 5 \\ 3}=\vektor{4 \\ 2,5 \\ 7,5}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{P_1A}: \vektor{0 \\ 2 \\ 3}-\vektor{4 \\ 2,5 \\ 7,5}=\vektor{-4 \\ -0,5 \\ -4,5}[/mm]
>
> Daraus folgt erste Geradengleichung:
> [mm]\overrightarrow{OX_1}:= \vektor{4 \\ 2,5 \\ 7,5}+\lambda\vektor{-4 \\ -0,5 \\ -4,5}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{OA}+1/2\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OP_2}[/mm]
> einsetzen:
> [mm]\vektor{0 \\ 2 \\ 3}+1/2\vektor{6 \\ -2 \\ 3}=\vektor{3 \\ 1 \\ 4,5}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{P_2C}: \vektor{2 \\ 5 \\ 9}-\vektor{3 \\ 1 \\ 4,5}=\vektor{-1 \\ 4 \\ 4,5}[/mm]
>
> Daraus folgt zweite Geradengleichung:
> [mm]\overrightarrow{OX_2}:= \vektor{3 \\ 1 \\ 4,5}+\mu\vektor{-1 \\ 4 \\ 4,5}[/mm]
>
> Jetzt:
> [mm]\overrightarrow{OX_1}=\overrightarrow{OX_2}[/mm]
> [mm]\gdw\vektor{4 \\ 2,5 \\ 7,5}+\lambda\vektor{-4 \\ -0,5 \\ -4,5}=\vektor{3 \\ 1 \\ 4,5}+\mu\vektor{-1 \\ 4 \\ 4,5}[/mm]
>
> [mm]\gdw\lambda\vektor{-4 \\ -0,5 \\ -4,5}-\mu\vektor{-1 \\ 4 \\ 4,5}=\vektor{3 \\ 1 \\ 4,5}-\vektor{4 \\ 2,5 \\ 7,5}[/mm]
>
> [mm]\gdw\lambda\vektor{-4 \\ -0,5 \\ -4,5}-\mu\vektor{-1 \\ 4 \\ 4,5}=\vektor{-1 \\ -1,5 \\ -3}[/mm]
>
> Rechnet man das nun mit einer Matrix weiter aus, so folgt
> ein Widerspruch in Form von:
> [mm]\lambda=1/3[/mm]
> [mm]\wedge \mu=1/3[/mm]
> [mm]\wedge -4\lambda+\mu=-1[/mm]
Es gilt doch: - 4/3 + 1/3 = - 1
Wo siehst Du da einen Widerspruch?
>
> Kann auch gerne noch einmal meine Matrizen aufschreiben,
> dachte mir aber falls in meiner obigen Rechnung schon ein
> Fehler steckt lohnt sich das hinterher nicht so wirklich.
> Wäre für Antworten dankbar.
> Gruß Fawkes
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:24 Mi 31.03.2010 | | Autor: | Fawkes |
Danke schön!!!
:D Wie heißt es doch so schön manchmal sieht man vor lauter Bäumen den Wald nicht mehr ;)
Gruß Fawkes
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