Schwerpunkt vom Dreieck < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:33 Mi 05.04.2006 | | Autor: | Xavier |
| Aufgabe | Seitenhalbierende im Dreieck
Bekanntlich schneiden sich die Seitenhalbierenden eines Dreiecks in einem Punkt S.
a) Berechnen Sie den Punkt S für das abgebildet Dreieck.
b) Weisen Sie nach, das alle Seitenhalbierende des Dreiecks durch diesen Punkt verlaufen. |
Hallo zusammen,
Angenommen Punkt A B C sind angegeben, dann kann man ja den Schwerpunkt eines Dreickes über [mm] \vec{s}= [/mm] 1/3( [mm] \vec{a} [/mm] + [mm] \vec{b} [/mm] + [mm] \vec{c}) [/mm] berechnen. Meine Frage ist: die Richtungsvektoren [mm] \vec{a} \vec{b} \vec{c} [/mm] die man in der Formel einsetzt sind es die Richtungsvektoren von den Punkten [mm] \overrightarrow{AB} \overrightarrow{BC} \overrightarrow{CA} [/mm] oder vom von der Mitte der [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] bis zum C punkt ?
Wenn es das zweiteres ist, dann müsste ich doch die Gerade AB bestimmten und für r 0,5 einsetzen damit ich die mittelpunkt der Gerade bekomme, dann den Mittenpunkt und C punkt einen Richtungsvektor bilden, das dann mit den 2 Seiten genauso, und dann erst in der Formel einsetzen..!??
Frage nummer 2) Wenn ich den Schnittpunkt ja berechnet habe, dann ist es ja nachgewissen, das alle seitenhalbierende sich schneiden, oder ist bei der Aufgabe b) was anderes gemeint ?
Danke vielmals
Mfg
Sabbar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:39 Mi 05.04.2006 | | Autor: | goeba |
> Seitenhalbierende im Dreieck
> Bekanntlich schneiden sich die Seitenhalbierenden eines
> Dreiecks in einem Punkt S.
>
> a) Berechnen Sie den Punkt S für das abgebildet Dreieck.
> b) Weisen Sie nach, das alle Seitenhalbierende des
> Dreiecks durch diesen Punkt verlaufen.
> Hallo zusammen,
>
> Angenommen Punkt A B C sind angegeben, dann kann man ja
> den Schwerpunkt eines Dreickes über [mm]\vec{s}=[/mm] 1/3( [mm]\vec{a}[/mm]
> + [mm]\vec{b}[/mm] + [mm]\vec{c})[/mm] berechnen.
Das ist richtig, aber das ist im Grunde auch das, was man später beweisen soll (zumindest kann man das so machen).
Meine Frage ist: die
> Richtungsvektoren [mm]\vec{a} \vec{b} \vec{c}[/mm] die man in der
> Formel einsetzt sind es die Richtungsvektoren von den
> Punkten [mm]\overrightarrow{AB} \overrightarrow{BC} \overrightarrow{CA}[/mm]
> oder vom von der Mitte der [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] bis zum C
> punkt ?
Du nimmst einfach die Ortsvektoren der Punkte A, B und C.
Alternative: Du stellst zwei Geradengleichungen auf für zwei Seitenhalbierende und berechnest den Schnittpunkt.
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> Wenn es das zweiteres ist, dann müsste ich doch die Gerade
> AB bestimmten und für r 0,5 einsetzen damit ich die
> mittelpunkt der Gerade bekomme, dann den Mittenpunkt und C
> punkt einen Richtungsvektor bilden, das dann mit den 2
> Seiten genauso, und dann erst in der Formel einsetzen..!??
Wenn Du das so machst, brauchst Du die Formel nicht.
Also: Zwei Geradengleichungen aufstellen. Jeweils eine Ecke ist Stützpunkt, der Verbindungsvektor von der Ecke zum gegenüberliegenden Seitenmittelpunkt ist Richtungsvektor. Dann schneiden und prüfen, ob der Schnittpunkt auf der dritten Seitenhalbierenden auch draufliegt.
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> Frage nummer 2) Wenn ich den Schnittpunkt ja berechnet
> habe, dann ist es ja nachgewissen, das alle
> seitenhalbierende sich schneiden, oder ist bei der Aufgabe
> b) was anderes gemeint ?
>
Wenn Du den Schnittpunkt berechnest, indem Du zwei Seitenhalbierende schneidest, dann musst Du diesen Schnittpunkt noch in die dritte Seitenhalbierende einsetzen und schauen, ob er drauf liegt (ob sich also eine wahre AUssage ergibt). So ist das wohl gemeint.
Interessanter wäre es, allgemein zu beweisen, dass sich die Seitenhalbierenden in einem Punkt schneiden. Das ist aber wohl nicht gemeint, da ja der bestimmte Artikel (des Dreiecks) verwendet wird.
Viele Grüße,
Andreas
> Danke vielmals
> Mfg
> Sabbar
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