Schwerpunkte von Pyramiden < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:19 Mo 07.03.2011 | | Autor: | G-Rapper |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo Leute,
wieder einmal hat es die Mathematik geschafft mich dazu zu bringen über meine mathematischen Fähigkeiten zu verzweifeln!
Vorab ist es vllt. wichtig zu sagen, dass Ich in der Jgst. 12 bin und dass wir uns zurzeit mit dem Thema 'Vektorrechnung' beschäftigen.
kommen wir nun zum Aufgabenteil a) der Aufg. 17: Ich habe leider keinerlei Ansätze um irgendwie mal ins Rechnen zu kommen.
Ich bin froh über jeden Beitrag der mir weiterhelfen wird.
Danke im Voraus
G-Rapper
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
> kommen wir nun zum Aufgabenteil a) der Aufg. 17: Ich habe
> leider keinerlei Ansätze um irgendwie mal ins Rechnen zu
> kommen.
Hallo,
Dein Scan kann wegen vermuteter Verstöße gegen das Urheberrecht nicht freigegeben werden.
Tippen hilft.
Nimm Dir eins der Dreiecke.
Bestimme die Mitten der Dreiecksseiten.
Die Seitenhalbierenden gehen durch die Seitenmitte und den gegenüberliegenden Eckpunkt des Dreiecks.
Mit diesem Wissen solltest Du die Gleichungen der entsprechenden Geraden aufstellen können und den Schnittpunkt ermitteln.
Für die anderen Dreiecke ebenso.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 Mo 07.03.2011 | | Autor: | G-Rapper |
| Aufgabe | Gegeben ist eine dreiseitige Pyramide ABCD.
A(0|0|0) B(2|31) C(1|0|4) D(1|3|7)
a) Bestimme die Schwerpunkte S1,S2,S3,S4 der Seitenflächen der Pyramide, also die Schnittpunkte der Seitenhalbierenden der Dreiecke ABC,ABD,ACD,BCD.
b) Die Schwerpunkte S2,S3,S4 der Dreiecke ABD,ACD und BCD bilden ein Dreieck. Bestimme dessen Schwerpunkt S.
c) Prüfe, ob S auf der Geraden durch S1 und D liegt. |
Danke, dass der Anhang gesperrt wurde!
Dann tipp ich die Aufgabe eben ab (wo liegt der Unterschied zwischen abtippen und einscannen?)
Danke angela h.b. für die schnelle Antwort!
Die Mitte der Strecke [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] ist [mm] \vektor{1 \\ 1,5 \\ -0,5} [/mm] nach der Formel
0,5 * [mm] \pmat{ A1 +B1 \\ A2+B2 \\ A3+B3} [/mm]
"Bestimme die Mitten der Dreiecksseiten."
Soll ich nun auch die Mitten von AC, BC und BD berechnen?
Was ist der gegenüberliegende Eckpunkt vom Mittelpunkt AB? C oder D?
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Ich weiß nicht, ob du das im Unterricht verwenden darfst. Es gilt auf jeden Fall für den Schwerpunkt [mm]S[/mm] eines Dreiecks [mm]ABC[/mm] die Formel
[mm]\overrightarrow{OS} = \frac{1}{3} \left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} \right)[/mm]
Der Punkt [mm]O[/mm] darf ein beliebiger Punkt sein, es muß nicht der Koordinatenursprung sein. Wenn man aber den Koordinatenursprung dafür nimmt, dann liefert diese Formel sofort die Koordinaten des Schwerpunkts.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Mo 07.03.2011 | | Autor: | G-Rapper |
> Ich weiß nicht, ob du das im Unterricht verwenden darfst.
> Es gilt auf jeden Fall für den Schwerpunkt [mm]S[/mm] eines
> Dreiecks [mm]ABC[/mm] die Formel
>
> [mm]\overrightarrow{OS} = \frac{1}{3} \left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} \right)[/mm]
>
wir dürfen diese formel zunächst nicht anwenden, weil wir es erstmal ohne die verwendung dieser formel machen sollen.
Die Mitte von [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] ist [mm] \vektor{1 \\ 1,5 \\ -0,5}
[/mm]
Die Mitte von [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] ist [mm] \vektor{0,5 \\ 0 \\ 2}
[/mm]
Die Mitte von [mm] \overrightarrow{BC} [/mm] ist [mm] \vektor{1,5 \\ 1,5 \\ 1,5}
[/mm]
Die Mitte von [mm] \overrightarrow{BD} [/mm] ist [mm] \vektor{1,5 \\ 3 \\ 3}
[/mm]
> Bestimme die Mitten der Dreiecksseiten.
> Die Seitenhalbierenden gehen durch die Seitenmitte und den gegenüberliegenden Eckpunkt des Dreiecks."
Der gegenüberliegende Eckpunkt vom Mittelpunkt AB ist D(1|3|7).
Der gegenüberliegende Eckpunkt vom Mittelpunkt AC ist B(2|3|-1).
Der gegenüberliegende Eckpunkt vom Mittelpunkt BC ist A(0|0|0).
Der gegenüberliegende Eckpunkt vom Mittelpunkt BD ist C(1|0|4).
> Mit diesem Wissen solltest Du die Gleichungen der entsprechenden Geraden aufstellen können und den Schnittpunkt ermitteln.
Die Gleichungen sind dann folgende: [mm] \overrightarrow{x}= \vektor{1 \\ 3 \\ 7} [/mm] t* [mm] \vektor{1 \\ 1,5 \\ -0,5} [/mm]
...usw. Diese Gleichungen dann gleichsetzen oder?
Ist das alles soweit richtig?
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Hallo G-Rapper,
> > Ich weiß nicht, ob du das im Unterricht verwenden darfst.
> > Es gilt auf jeden Fall für den Schwerpunkt [mm]S[/mm] eines
> > Dreiecks [mm]ABC[/mm] die Formel
> >
> > [mm]\overrightarrow{OS} = \frac{1}{3} \left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} \right)[/mm]
>
> >
>
> wir dürfen diese formel zunächst nicht anwenden, weil wir
> es erstmal ohne die verwendung dieser formel machen
> sollen.
>
> Die Mitte von [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] ist [mm]\vektor{1 \\ 1,5 \\ -0,5}[/mm]
>
> Die Mitte von [mm]\overrightarrow{AC}[/mm] ist [mm]\vektor{0,5 \\ 0 \\ 2}[/mm]
>
> Die Mitte von [mm]\overrightarrow{BC}[/mm] ist [mm]\vektor{1,5 \\ 1,5 \\ 1,5}[/mm]
>
> Die Mitte von [mm]\overrightarrow{BD}[/mm] ist [mm]\vektor{1,5 \\ 3 \\ 3}[/mm]
Hier fehlen noch die Mitten von [mm]\overrightarrow{AD}[/mm] und [mm]\overrightarrow{CD}[/mm].
Die anderen Seitenmitten sind ok.
>
> > Bestimme die Mitten der Dreiecksseiten.
> > Die Seitenhalbierenden gehen durch die Seitenmitte und den
> gegenüberliegenden Eckpunkt des Dreiecks."
>
> Der gegenüberliegende Eckpunkt vom Mittelpunkt AB ist
> D(1|3|7).
Das stimmt für das Dreieck ABD.
> Der gegenüberliegende Eckpunkt vom Mittelpunkt AC ist
> B(2|3|-1).
Das stimmt für das Dreieck ABC.
> Der gegenüberliegende Eckpunkt vom Mittelpunkt BC ist
> A(0|0|0).
Das stimmt für das Dreieck ABC.
.
> Der gegenüberliegende Eckpunkt vom Mittelpunkt BD ist
> C(1|0|4).
Das stimmt für das Dreieck BCD.
>
> > Mit diesem Wissen solltest Du die Gleichungen der
> entsprechenden Geraden aufstellen können und den
> Schnittpunkt ermitteln.
>
> Die Gleichungen sind dann folgende: [mm]\overrightarrow{x}= \vektor{1 \\ 3 \\ 7}[/mm]
> t* [mm]\vektor{1 \\ 1,5 \\ -0,5}[/mm]
Je nach dem zu betrachtenden Dreieck erhältst Du andere Geraden.
Hier ist das Dreieck ABD betrachtet worden.
>
> ...usw. Diese Gleichungen dann gleichsetzen oder?
>
Gleichsetzen mit den entsprechenden Geradengleichungen
des zu betrachtenden Dreiecks
> Ist das alles soweit richtig?
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 Mo 07.03.2011 | | Autor: | G-Rapper |
ganz kurze Frage: wenn ich jetzt die Gleichung zum Dreieck ABC habe;
( [mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\4 } [/mm] + t* [mm] \vektor{1 \\ 1,5 \\-0,5 }
[/mm]
wie komme ich dann auf den Schwerpunkt S1 dieses Dreiecks.
Ich denke mit dieser Antwort wäre die Sache gegessen. Denn es läuft ja alles nach dem selben Prinzip.
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Hallo G-Rapper,
> ganz kurze Frage: wenn ich jetzt die Gleichung zum Dreieck
> ABC habe;
>
> ( [mm]\overrightarrow{x}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\4 }[/mm] + t* [mm]\vektor{1 \\ 1,5 \\-0,5 }[/mm]
>
> wie komme ich dann auf den Schwerpunkt S1 dieses Dreiecks.
Da musst Du noch die zwei anderen Geraden aufstellen.
Und diese Geraden mit der obigen schneiden
>
> Ich denke mit dieser Antwort wäre die Sache gegessen. Denn
> es läuft ja alles nach dem selben Prinzip.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:42 Mo 07.03.2011 | | Autor: | G-Rapper |
Ich möchte mich bei euch für die super Hilfe bedanken. Ihr seid einfach nur TOP! Besonderer Dank an: angela h.b., Leopold_Gast und MathePower!
Hier meine Lösungen zu der Aufgabe:
a)
S1 für das Dreieck ABC: [mm] \vektor{3 \\ 3 \\ 3}
[/mm]
S2 für das Dreieck ABD: [mm] \vektor{3 \\ 6 \\ 6}
[/mm]
S3 für das Dreieck ACD: [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 11}
[/mm]
S4 für das Dreieck BCD: [mm] \vektor{4 \\ 6 \\ 10}
[/mm]
b)
S für das Dreieck [mm] S_{2}S_{3}S_{4}: \vektor{9 \\ 15 \\ 27}
[/mm]
c)
Der Punkt S liegt nicht auf der Geraden durch [mm] S_{1} [/mm] und D.
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Und hier die Probe auf Richtigkeit:
[mm]A=(0|0|0), \, B = (2|3|-1), \, C = (1|0|4), \, D = (1|3|7)[/mm]
Ich bezeichne die Ortsvektoren der Punkte mit dem korrespondierenden lateinischen Kleinbuchstaben. Es gilt dann:
a)
[mm]\vec{s}_1 = \frac{1}{3} \left( \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} \right) = \frac{1}{3} \left( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \right) = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
[mm]\vec{s}_2 = \frac{1}{3} \left( \vec{a} + \vec{b} + \vec{d} \right) = \frac{1}{3} \left( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix} \right) = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
[mm]\vec{s}_3 = \frac{1}{3} \left( \vec{a} + \vec{c} + \vec{d} \right) = \frac{1}{3} \left( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix} \right) = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 11 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ 1 \\ \frac{11}{3} \end{pmatrix}[/mm]
[mm]\vec{s}_4 = \frac{1}{3} \left( \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} \right) = \frac{1}{3} \left( \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix} \right) = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{4}{3} \\ 2 \\ \frac{10}{3} \end{pmatrix}[/mm]
b)
[mm]\vec{s} = \frac{1}{3} \left( \vec{s}_2 + \vec{s}_3 + \vec{s}_4 \right) = \frac{1}{3} \left( \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ 1 \\ \frac{11}{3} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{4}{3} \\ 2 \\ \frac{10}{3} \end{pmatrix} \right) = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{5}{3} \\ 3 \end{pmatrix}[/mm]
Überprüfe deine Ergebnisse. Da scheint immer der Faktor [mm]\frac{1}{3}[/mm] zu fehlen.
c)
Allgemeine Lösung.
Setze in der Formel aus meinem ersten Beitrag speziell [mm]O=D[/mm]. Dann gelten:
[mm]\overrightarrow{DS_1} = \frac{1}{3} \left( \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} \right)[/mm]
[mm]\overrightarrow{DS_2} = \frac{1}{3} \left( \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DD} \right) = \frac{1}{3} \left( \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB} \right)[/mm]
[mm]\overrightarrow{DS_3} = \frac{1}{3} \left( \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DD} \right) = \frac{1}{3} \left( \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DC} \right)[/mm]
[mm]\overrightarrow{DS_4} = \frac{1}{3} \left( \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DD} \right) = \frac{1}{3} \left( \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} \right)[/mm]
[mm]\overrightarrow{DS} = \frac{1}{3} \left( \overrightarrow{DS_2} + \overrightarrow{DS_3} + \overrightarrow{DS_4} \right)[/mm]
Setzt man hier aus der zweiten, dritten und vierten Gleichung in die fünfte ein, so erhält man
[mm]\overrightarrow{DS} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3} \left( \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB} \right) + \frac{1}{3} \left( \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DC} \right) + \frac{1}{3} \left( \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} \right) \right) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \left( \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} \right) = \frac{2}{3} \, \overrightarrow{DS_1}[/mm]
Zuletzt wurde die erste Gleichung verwendet. Die Beziehung
[mm]\overrightarrow{DS} = \frac{2}{3} \, \overrightarrow{DS_1}[/mm]
zeigt zweierlei: Die Vektoren [mm]\overrightarrow{DS}[/mm] und [mm]\overrightarrow{DS_1}[/mm] sind linear abhängig, also liegen [mm]D,S,S_1[/mm] auf einer Geraden. Darüberhinaus kann man das Teilverhältnis ablesen: [mm]S[/mm] teilt die gerichtete Strecke [mm]DS_1[/mm] im Verhältnis 2:1.
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