Schwerpunktformel, Herleitung. < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:54 Do 15.01.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi Leute!
Kennt ihr eine Herleitung der Schwerpunktformel?
Also von Flächen, die von einer Funktion und der x-Achse begrenzt werden.
Habe durch etwas Probieren schon herausgefunden, wie man Schwerpunkte komplexerer Figuren berechnen kann (in Rechtecke/Dreiecke/... aufteilen und dann die Flächeninhalte einbeziehen). Zumindest haben die (einfachen) Beispiele geklappt und das Internet stimmt auch halbwegs zu.
Also, wenn man sich die Figur in das Koordinatensystem legt sollte sich z.B. die x-Koordinate so berechnen lassen:
[mm] x_s=\bruch{A_1}{A}*x_{s1}+\bruch{A_2}{A}*x_{s2}+...=\summe_{i=1}^{n}\bruch{A_i}{A}*x_{si}
[/mm]
Oder ist das falsch?
Wenn nicht: Kann man das irgenwie beweisen, dass das so ist? Es stimmt mit der Anschauung überein, wenn eine Fläche größer ist, dann nimmt auch ihr Schwerpunkt (ihre Schwerpunktkoordinaten) einen größeren Einfluss auf den Gesamtschwerpunkt. Aber das heißt ja nichts.
Auf alle Fälle habe ich dann versucht irgendwie diese Integralformel herzuleiten. Also: [mm] x_s=\bruch{\integral_{a}^{b}{x*f(x) dx}}{\integral_{a}^{b}{f(x) dx}}.
[/mm]
Das x im Zählerintegranden soll wohl der Ort oder so sein, aber habe dazu keine gute Erklärung gefunden.
Ich bin so ran gegangen: [mm] (\Delta x=\bruch{b-a}{n}, [/mm] a und b sind die Grenzen, n die Anzahl der Rechtecke)
[mm] x_s=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{n}\bruch{A_i}{A}*x_{si}, [/mm] wobei [mm] A=\integral_{a}^{b}{f(x) dx}, [/mm] womit ich auch schon den Nenner hätte. Ich unterteile die Fläche unter dem Grafen damit wieder in viele Rechtecke.
Mit [mm] A_i=f(x_i)*\Delta [/mm] x und [mm] x_{si}=a+\bruch{2i-1}{2}*\Delta [/mm] x komme ich dann auf:
[mm] x_s=\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{n}f(x_i)*\Delta x*(a+\bruch{2i-1}{2}*\Delta x)}{\integral_{a}^{b}{f(x) dx}}.
[/mm]
Zwar gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{n}f(x_i)*\Delta x=\integral_{a}^{b}{f(x) dx}, [/mm] aber ich weiß nicht, wieso das [mm] a+\bruch{2i-1}{2}*\Delta [/mm] x dann zu x werden sollte.
Vielleicht übersehe ich auch nur irgendwas einfaches...
Wäre für Hilfe dankbar.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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Hallo Teufel,
> Hi Leute!
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> Kennt ihr eine Herleitung der Schwerpunktformel?
> Also von Flächen, die von einer Funktion und der x-Achse
> begrenzt werden.
>
> Habe durch etwas Probieren schon herausgefunden, wie man
> Schwerpunkte komplexerer Figuren berechnen kann (in
> Rechtecke/Dreiecke/... aufteilen und dann die
> Flächeninhalte einbeziehen). Zumindest haben die
> (einfachen) Beispiele geklappt und das Internet stimmt auch
> halbwegs zu.
>
> Also, wenn man sich die Figur in das Koordinatensystem legt
> sollte sich z.B. die x-Koordinate so berechnen lassen:
>
> [mm]x_s=\bruch{A_1}{A}*x_{s1}+\bruch{A_2}{A}*x_{s2}+...=\summe_{i=1}^{n}\bruch{A_i}{A}*x_{si}[/mm]
>
> Oder ist das falsch?
> Wenn nicht: Kann man das irgenwie beweisen, dass das so
> ist? Es stimmt mit der Anschauung überein, wenn eine Fläche
> größer ist, dann nimmt auch ihr Schwerpunkt (ihre
> Schwerpunktkoordinaten) einen größeren Einfluss auf den
> Gesamtschwerpunkt. Aber das heißt ja nichts.
Grundlage für diese Formel ist der Momentensatz, wonach bezüglich
jeder Raumachse das vom Körpergewicht im Schwerpunkt erzeugte Moment
gleich der Summen der Momente aller Teilgewichte sein muss.
Demnach muss gelten:
[mm]x_{S} \ G=\summe_{}^{} x} \ \Delta G[/mm]
[mm]y_{S} \ G=\summe_{}^{} y \ \Delta G[/mm]
[mm]z_{S} \ G=\summe_{}^{} z \ \Delta G[/mm]
Wegen G=mg ergibt sich:
[mm]x_{S} \ m=\summe_{}^{} x \ \Delta m[/mm]
[mm]y_{S} \ m=\summe_{}^{} y \ \Delta m[/mm]
[mm]z_{S} \ m=\summe_{}^{} z \ \Delta m[/mm]
Jetzt brauchst Du nur noch [mm]m=\rho*V=\rho*h*A[/mm] zu setzen
und den Grenzübergang zu machen.
Dann ergeben sich die entsprechenden Formeln.
>
> Auf alle Fälle habe ich dann versucht irgendwie diese
> Integralformel herzuleiten. Also:
> [mm]x_s=\bruch{\integral_{a}^{b}{x*f(x) dx}}{\integral_{a}^{b}{f(x) dx}}.[/mm]
>
> Das x im Zählerintegranden soll wohl der Ort oder so sein,
> aber habe dazu keine gute Erklärung gefunden.
>
> Ich bin so ran gegangen: [mm](\Delta x=\bruch{b-a}{n},[/mm] a und b
> sind die Grenzen, n die Anzahl der Rechtecke)
>
> [mm]x_s=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{n}\bruch{A_i}{A}*x_{si},[/mm]
> wobei [mm]A=\integral_{a}^{b}{f(x) dx},[/mm] womit ich auch schon
> den Nenner hätte. Ich unterteile die Fläche unter dem
> Grafen damit wieder in viele Rechtecke.
> Mit [mm]A_i=f(x_i)*\Delta[/mm] x und
> [mm]x_{si}=a+\bruch{2i-1}{2}*\Delta[/mm] x komme ich dann auf:
>
> [mm]x_s=\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{n}f(x_i)*\Delta x*(a+\bruch{2i-1}{2}*\Delta x)}{\integral_{a}^{b}{f(x) dx}}.[/mm]
>
> Zwar gilt
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{n}f(x_i)*\Delta x=\integral_{a}^{b}{f(x) dx},[/mm]
> aber ich weiß nicht, wieso das [mm]a+\bruch{2i-1}{2}*\Delta[/mm] x
> dann zu x werden sollte.
>
> Vielleicht übersehe ich auch nur irgendwas einfaches...
>
> Wäre für Hilfe dankbar.
>
> Teufel
>
>
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:10 Sa 17.01.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Danke für die Antwort erstmal.
Scheint ja sehr physiklastig zu sein, kann damit leider nichts anfangen, da ich in der Oberstufe kein Physik mehr hatte, was ich im Nachhinein auch bereut habe.
Mir fehlen da sicher zu viele Grundlagen um das richtig verstehen zu können, daher lasse ich das fürs Erste erstmal sein.
Teufel
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