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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:36 So 27.05.2007 | | Autor: | max0913 |
| Aufgabe | Sei [mm] B=(v_1,...,v_n) [/mm] eine Basis von V und [mm] C=(w_1,...;w_m) [/mm] eine Basis von W.
f:V [mm] \to [/mm] W sei durch [mm] f(v_i) [/mm] = [mm] a_1_iw_1+...+a_m_i w_m [/mm] definierte lineare Abbildung.
[mm] A_f_B_C [/mm] sei die darstellende m [mm] \times [/mm] n - Matrix bzgl. B und C, die aus den Koeffizienten [mm] a_i_j [/mm] besteht.
Wie sieht A für den Fall V = W = [mm] \IR^n [/mm] aus, wenn f den i-ten Basisvektor [mm] v_i [/mm] von B auf den j-ten Basisvektor [mm] w_j [/mm] von C abbildet, wobei i+j=n+1 gilt ?
( i = 1,2,...,n) ? |
Hallo Leute,
ich bin Digitale Medien Student und wir haben jetzt in Mathe2 eine Aufgabe bekommen, die mein Vorstellungsvermögen sprengt. Ich hoffe Ihr könnt mir igendwie helfen.
Max
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
[mm] PS_1 [/mm] ( wurde geändert ): Korrektur von i+j=n nach i+j=n+1
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> Sei [mm]B=(v_1,...,v_n)[/mm] eine Basis von V und [mm]C=(w_1,...;w_m)[/mm]
> eine Basis von W.
> f:V [mm]\to[/mm] W sei durch [mm]f(v_i)[/mm] = [mm]a_1_iw_1+...+a_m_i w_m[/mm]
> definierte lineare Abbildung.
> [mm]A_f_B_C[/mm] sei die darstellende m [mm]\times[/mm] n - Matrix bzgl. B
> und C, die aus den Koeffizienten [mm]a_i_j[/mm] besteht.
> Wie sieht A für den Fall V = W = [mm]\IR^n[/mm] aus, wenn f den
> i-ten Basisvektor [mm]v_i[/mm] von B auf den j-ten Basisvektor [mm]w_j[/mm]
> von C abbildet, wobei i+j=n gilt ?
> ( i = 1,2,...,n) ?
> wir haben jetzt in
> Mathe2 eine Aufgabe bekommen, die mein Vorstellungsvermögen
> sprengt.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Bei solchen Aufgaben, die das Vorstellungsvermögen sprengen, kann man sich selbst etwas helfen, indem man zunächst Fälle bearbeitet, die etwas weniger allgemein sind.
Nehmen wir n=2: Die Aufgabe wird dann zu
> Sei [mm]B=(v_1,v_2)[/mm] eine Basis von V und [mm]C=(w_1,...;w_m)[/mm]
> eine Basis von W.
> f:V [mm]\to[/mm] W sei durch [mm]f(v_i)[/mm] = [mm]a_1_iw_1+...+a_m_i w_m[/mm]
> definierte lineare Abbildung.
Da wir hier nur i=1 und i=2 zu betrachten haben, können wir das einzeln aufschreiben:
[mm] f(v_1)= a_1_1w_1+...+a_m_1w_m [/mm] und
[mm] f(v_2)= a_1_2w_1+...+a_m_2w_
[/mm]
> [mm]A_f_B_C[/mm] sei die darstellende m [mm]\times[/mm] 2 - Matrix bzgl. B
> und C, die aus den Koeffizienten [mm]a_i_j[/mm] besteht.
> Wie sieht A für den Fall V = W = [mm]\IR^2[/mm] aus,
Wenn auch W die Dimension 2 hat, besteht die Basis C von W aus zwei Vektoren [mm] (w_1,w_2),
[/mm]
Die darstellende Matrix ist quadratisch (2x2).
Die Abbildungsvorschrift
[mm] f(v_1)= a_1_1w_1+...+a_m_1w_m [/mm] und
[mm] f(v_2)= a_1_2w_1+...+a_m_2w_m
[/mm]
vereinfacht sich zu
[mm] f(v_1)= a_1_1w_1+a_2_1w_2 [/mm]
[mm] f(v_2)= a_1_2w_1+a_2_2w_2 [/mm]
> wenn f den
> i-ten Basisvektor [mm]v_i[/mm] von B auf den j-ten Basisvektor [mm]w_j[/mm]
> von C abbildet, wobei i+j=2 gilt ?
> ( i = 1,2) ?
Übersetzt:
[mm] f(v_1)=w_{2-1}=w_1
[/mm]
[mm] f(v_2)=w_{2-2}=w_0
[/mm]
Hm. Hier ergibt sich ein Problem: den nullten Basisvektor haben wir ja gar nicht...
Stand da vielleicht in der Originalaufgabe i=1,2,...,n-1?
Gibt es eine Angabe dafür, was mit [mm] v_n [/mm] passieren soll?
Damit ich weitermachen kann, denke ich mir, daß in der Aufgabe steht: [mm] "f(v_n)=w_n"
[/mm]
Für unser Beispiel bedeutet das
[mm] f(v_1)=w_{2-1}=w_1
[/mm]
[mm] f(v_2)=w_{2}.
[/mm]
Nun brauchst Du die darstellende Matrix. In die erste Spalte kommt das Bild von [mm] v_1 [/mm] bzgl. der Basis W.
Es ist [mm] f(v_1)=1*w_1+0*w_2=\vektor{1\\ 0}_W [/mm] und
[mm] f(v_2)=0*w_1+1*w_2=\vektor{0\\ 1}_W.
[/mm]
Damit hast Du die darstellende Matrix gefunden.
Nun wage Dich weiter vor zum Fall n=3:
Wenn auch W die Dimension 3 hat, besteht die Basis C von W aus drei Vektoren [mm] (w_1,w_2,w_3),
[/mm]
Die darstellende Matrix ist quadratisch (3x3).
Die Abbildungsvorschrift
[mm] f(v_1)= a_1_1w_1+...+a_m_1w_m,
[/mm]
[mm] f(v_2)= a_1_2w_1+...+a_m_2w_m [/mm] und
[mm] f(v_3)= a_1_3w_1+...+a_m_3w_m
[/mm]
vereinfacht sich zu
[mm] f(v_1)= a_1_1w_1+a_2_1w_2+a_3_1w_3,
[/mm]
[mm] f(v_2)= a_1_2w_1+a_2_2w_2+a_3_2w_3 [/mm] und
[mm] f(v_3)= a_1_3w_1+a_2_3w_2+a_3_3w_3
[/mm]
> wenn f den
> i-ten Basisvektor [mm]v_i[/mm] von B auf den j-ten Basisvektor [mm]w_j[/mm]
> von C abbildet, wobei i+j=2 gilt ?
> ( i = 1,2) ?
Übersetzt:
[mm] f(v_1)=w_{3-1}=w_2=0*w_1+1*w_2+0*w_3=\vektor{0\\ 1\\0}_W
[/mm]
[mm] f(v_2)=w_{3-2}=...=\vektor{1\\ 0\\0}_W
[/mm]
und mit meiner Annahme von oben
[mm] f(v_3)=w_3=...=\vektor{0\\ 0\\1}_W
[/mm]
Nun brauchst Du wieder die darstellende Matrix. In die erste Spalte kommt das Bild von [mm] v_1 [/mm] bzgl. der Basis W, in die zweite das von [mm] v_2 [/mm] und in die dritte das von [mm] v_3.
[/mm]
Damit hast Du die darstellende Matrix gefunden.
Nun mach das alleine mal für n=4, danach wirst Du wissen, wie der allgemeine Fall läuft.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 So 27.05.2007 | | Autor: | max0913 |
Hallo Angela,
erstmal vielen Dank für Deine schnelle Antwort.
Es stimmt, ich hab das mit dem i + j = n verpeilt. Richtig ist: i + j = n + 1
Allerdings war es in der ursprünglichen Aufgabenstellung bereits falsch und ich hab es dann falsch abgeschrieben. Während des Tutoriums, das aber leider nicht sehr hilfreich zum Verständnis der Aufgabe war, wurde der Fehler korrigiert.
Ein Hinsweis, der im Tutorium gegeben wurde ist, daß wir eine Matrix angeben sollen: f (x) = Ax, mit Ax gesucht und V = W = [mm] \IR^n
[/mm]
Ich werde jetzt erstmal ein wenig Zeit brauchen, um Deine ausführliche Antwort nachvollziehen zu können.
Gruß
Max
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