Schwierige Äquivalenzumformung < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Die Frage ist vielleicht mehr formal als mathematisch:
Gegeben:
[mm] \wurzel[3]{x}=-10
[/mm]
Laut wikipedia ist das Anwenden einer bijektiven Funktion eine Äquivalenzumformung. Also wende ich die Kubikfunktion an, die bijektiv ist:
[mm] (\wurzel[3]{x})^{3}=(-10)^{3}
[/mm]
Umformen ergibt die Scheinlösung:
x=-1000
Mir ist schon klar, dass die Scheinlösung nicht zum Definitionsbereich gehört. Aber unter einer "Äquivalenzumformung" verstehe ich, dass keine Scheinlösungen hinzu kommen können. Wo ist der Denkfehler?
Oder darf ich überhaupt nicht von Scheinlösungen sprechen,
weil ja alle für alle Gleichungen [mm] D=R_{+} [/mm] gilt?
Mit verwirrten Grüßen
P.S. Ich frage mich gerade, ob die Kubikfunktion eigentlich die Umkehrfunktion ist, denn sie hat ja einen anderen Definitonsbereich ...
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Hallo!
-1000 ist keinesfalls eine Scheinlösung, das ist eine echte Lösung!
Grade Wurzeln (die normale Quadratwurzel), 4. Wurzel etc. ist nur für positive x definiert, das liegt eben daran, daß beim Spiegeln von x² an der 1. Winkelhalbierenden etwas herauskommt, das jedem x ZWEI y-Werte zuordnet, und das darf nicht sein.
Aber nun schau dir x³ an. Wenn du das spiegelst, gibts keine Probleme, wenn man mal von dem etwas schwierigen Punkt x=0 absieht.
Der Definitionsbereich von ungraden Wurzelfunktionen ist also ganz [mm] \IR.
[/mm]
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 19:17 Sa 29.12.2007 | | Autor: | angela.h.b. |
> Gut, aber laut wikipedia ist die Wurzelfunktion generell
> nur für positive Werte defniert:
>
> ![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_(Mathematik)#Wurzeln_aus_negativen_Zahlen
Hallo,
leider hast Du Deinen eigenen Link nicht richtig gelesen.
Wenn Du liest, liest Du dort:
"Die Behandlung von Wurzeln aus negativen Zahlen ist nicht einheitlich."
und
"Bezüglich der ungeraden Wurzeln aus negativen Zahlen werden folgende Positionen vertreten:",
die Problematik der ungeraden Wurzel aus einer negativen Zahl wird dort erläutert.
Man wird das so handhaben, wie es gerade sinnvoll ist.
Wenn ich die dritte Wurzel als Umkehrung der dritten Potenz betrachte, spricht nichts dagegen, die 3.Wurzel aus einer neg. Zahl zu definieren, und in dem Sinne hat [mm] x=\wurzel[3]{-1000} [/mm] eine Lösung, nämlich die Zahl, die 3mal mit sich selbst multipliziert die -1000 ergibt, also x=-10.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:43 Sa 29.12.2007 | | Autor: | Psychopath |
Hallo, vielen Dank für die Antwort. Mein Verlangen war eigentlich nicht eine Grundsatzdiskussion, ob man aus einer negativen Zahl eine Wurzel ziehen kann (obwohl man dies ja laut DIN 1302 nicht kann, weil man dann einen Haufen Wurzelgesetze in die Tonne hauen kann).
https://matheraum.de/read?t=131712
Es geht mir um die Frage, wo der Fehler liegt, unter der Prämisse, dass die DIN Norm 1302 eingehalten wird.
Aber ich frag mal in einem anderen Forum, vielleicht kapiert dort einer die Frage.
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> Es geht mir um die Frage, wo der Fehler liegt, unter der
> Prämisse, dass die DIN Norm 1302 eingehalten wird.
Wenn Du den Definitionsbereich auf [mm] \IR_{+} [/mm] einschränkst und
f: [mm] \IR_{+} \to \IR
[/mm]
[mm] f(x):=\wurzel[3]{x} [/mm]
definierst,
so hat f(x)=-10 keine Lösung, weil die Funktion f nicht surjektiv (also nicht bijektiv) ist, denn die Bildmenge ist [mm] \IR_{+}.
[/mm]
Die Funktion
g: [mm] \IR \to \IR
[/mm]
[mm] g(x):=\wurzel[3]{x}
[/mm]
hingegen ist bijektiv, so daß g(x)=-10 eine Lösung hat.
Gruß v. Angela
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