Schwierigkeiten bei Aufgaben < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:42 Mo 10.05.2004 | | Autor: | Rambo |
also folgende aufgaben soll ich an der tafel lösen und bitte um eure hilfe,weil ich sie nicht verstehe!
Welches ist der kleinste (größte) funktionswert, den die Funktion annimmt ?
1. f(x) = x²-6x+20
(x-3)²+11 dies ist mein Gedanke!
S(3/11)
nach oben geöffnet, gestreckt??
wann weiß ich ob sei nach oben oder unten geöffnet ist,oder gestreckt bzw. gestaucht??
und wan weiß man ob es eine Parabel bzw. Normalparabel ist??
2. Welche Zahl muss man für x einsetzen, damit der Term seinen kleinsten bzw. größten Wert abbimmt ? Berechen diesen kleinsten bzw. größten Wert.
a) x²-8x+25
b) 5+2x-x²
c) 2,5x²-6x-22
3. Beschleunigt ein Motorrad aus dem Stand (bzw. bei 30 km/h), so legt es in den ersten x Sekunden etwa 2x² (bzw. 2x²-8x+64) Meter.
P.S.- Wie soll ich da den Graphen der Funktion:
Fahrzeit (in s) ---> zurückgelegte Strecke (in m) in dasselbe Koordinatensystem zeichnen?
Vielen Dank für die Hilfe !!!!
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Hallo.
zu Aufgabe 1!
das Wertepaar S=(3/11) ist in der Tat das Minimum deiner quadratischen Funktion!
Dies kannst du über quadratische Ergänzung, wie dein Gedanke es zeigt lösen, aber auch ganz primitiv mit einer Wertetabelle nachprüfen!
Der kleinste Funktionswert ist also bei x=3 f(x)=11. das Maximum, also der grösste Funktionswert ist f(x)= +[mm]unendlich[/mm]!
Der Graph zu dieser Funktion ist somit nach "oben", also nach +unendlich geöffnet!
Wie kannst du dies nun erkennen. Dies kannst du direkt von der Funktionsglecihung ablesen:
nach oben geöffnet: Quadratkunktion ist positiv f(x)=x²
nach unten geöffnet: Quadratfunktion ist negativ: f(x)=-x²
gestaucht: der Faktor vor der Qoadratfunktion ist größer 1: f(x)= 2x²
gedehnt: der Faktor der Quadratfunktion istgrößer 0 und kleiner 1: f(x)= 1/2x²
der letzte term einer erweiterten quadratiscvhen Funktion gibt die Verschiebung der Parabel an der y-Achse vom Nullpunkt an f(x)= x²+4 (4 ist schnittpunkt der Parabel mit der y-Achse)
der Term x in einer erweiterten quadratischen Glleichung gibt die Steigung der Tangente der Parabel in dem jeweiligen Punkt an.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:40 Mo 10.05.2004 | | Autor: | phymastudi |
So, nun zu deiner zweiten Aufgabe:
untersuche jede Funktion auch binomische Formeln. das verinfacht die Aufgaben ungemein, wie du das auch schon in Aufgabe 1 gemacht hast:
Zu a) x²-8x+25=f(x)
man sieht die 2. binomische Formel: (a-b)²= a²-2ab+b²
hier: x²-8x+16:= (x-4)²
nun sieht die Gleichung wie folgt aus: (x-4)²+9=f(x)
das Minimum dieser gleichung liegt bei x=4 und y=9 S=(4/9)
wobei 4 die Nullstelle mit der x-Achse der binomialgleichung (x-4)² ist, aber unsere erweiterte Gleichung ist ja um 9 nach "oben" verschoben. durch die positive Funktion weisst du jetzt wieder, dass sie gegen + unendlich strebt!
wenn du also für x=+/- unendlich ensetzt, wird der term am grössten...
Je weiter sich die Zahlen von x=4 entfernen, sowohl positiv (5,6,7,8,....,n) als auch negativ (3,2,1,0,-1,-2,-3,...,-n) mit n Element der ´rationalen Zahlen, desto grösser wird der Wert, den f(x) annimmt!
zu b) Stelle die Aufgabe zunächst in die Normalenform um: -x²+2x+5
um das negative Vorzeichen zu eliminieren, ist einfacher, multiplizieren wir den gesamten Term mit *(-1).
es folgt: x²-2x-5
nun können wir hier über die p/q-Formel die Nullstellen der Parabel auf der x-Achse bestimmen:
X1,2= -p/2 +/- [mm]\sqrt{(p/2)²-q}[/mm]
eingesetzt folgt: X1,2= -(-2)/2 +/- [mm]\sqrt{((-2)/2)²-(-5)}[/mm]
X1,2= 1 +/- [mm]\sqrt{ 1+5}[/mm]=
X1= 1+[mm]\sqrt{6}[/mm]
X2= 1- [mm]\sqrt{6}[/mm]
dies sind deine beiden Nullstellen mit der x-Achse!
Nun musst du noch das Minimum:
mittig zwischen den beiden Nullstelle ist der x-Wert des Minimums.
Das bedeutet du berechnest den Bertag des Abstandes der beiden Nullstellen: |3,44948...+1,44948| und teilst den durch 2: du erhälst: 2,44948. Von diesem halben Abstand subtrahierst du nun einen Nullstellenwert und erhälst den x-Wert des MINIMUMS: 3,44948-2,44948=1
Also bei x=1 hat die Parabel ihr Minimu mit dem zugehörigen f(x)= -6.
Die Parabel geht wieder gegen + unendlich
zu c) versuch mal alleine, sonst helf ich dir da gern noch weiter!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:14 Mo 10.05.2004 | | Autor: | phymastudi |
deine dritte Aufgabe:
Zunächst hast du ja eine kostante Beschleunigung: a= 2 m/s²
das bedeutet, dass du die Beschleunigung "vernachlässigen" kannst und dich auf deine Hauoptkomponenten stürzen kannst: gegeben hast du den zurückgelegten Weg in Metern: 2x² und die verstrichene Zeit in proportion mit x!
Am einfachsten ist doch nun, wenn du dir eine Tabelle anlegst mit der Ziet t und dem zurückgelegten Weg s
aus der Physik gilt: die Beschleunigung a ist direkt proportional zum zurückgelegten weg pro quadratischer Zeit!
formal: a= s/t² hier ist a=2 weil: a= 2x²/(x)2=2
stelle die gleicung um und vernachlässige a!
es folgt: x (Zeit)~2x²
Tabelle1: t (in sec.) s ( in m)
1 2
2 8
3 18
4 32
usw.
Tabelle2: für Anfangsgeschwindigkeit 30 km/h und in x Sekunden legt das Fahrzeug 2x²-8x+64 Meter zurück!
Vereinfachen wir zunächst die quadratische Funktion: (/2)
es folgt: x²-4x+16. die ist wieder eine binomische (2.) Formel: (x-4)²
das heisst er beschleunigt zunächst garnicht, sondern verlangsamt seine fahrt und erst nach 4 Sekunden beschleunigt erwieder und fährt schneller. Wieso??
Unsere Tabelle sagt unter folgender Beziehung alles: x~(x-4)²
t (in sec.)[x] s ( in m)[(x-4)²]
0 16
1 9
2 4
3 1
4 0
5 1
6 4
usw.
zu beiden Tabellen klann man nun einfach eine garfik zeichnen, die beide eine Parabel ergeben. die erste nur eine halbe, da wir bei o km/h angefangen haben und somit keine Bremsung des Autos habe, sondern nur eine konstante Beschleunigung. Daher wir das auto nir langsamer und wir sehen nur die Parabel zu 2x² im Koordinaten system. Leider weiss ich nicht, wie man eine Garafik hier erstellt. Versuch es zunächst mal selbst und wenn du nicht weiterkommst müssten Stefan oder Marc dir weiterhelfen. Ich wäre auch dankbar, wenn die beiden meine Ideen überprüfen. Viel Spass bis zum nächsten Mal.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Mo 10.05.2004 | | Autor: | Rambo |
also das haben wir noch nicht gemacht mit dem subthrahieren da mit 3,99999 von 2,99999 oder so damit 1 rauskommt!es wäre nett wenn du mir die c noch erklären könntest!
VIELEN DANK FÜR DEINE MÜHE!!!SEHR NETT VON DIR!!
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Hallo,
klar.
Also: gegeben ist die Funktionsgleichung: 2,5x²-6x-22
gesucht: x für größtes f(x) und x für kleinstes f(x)!
berechne zunächst wieder die Nullstellen der Parabel mit der x-Achse!
Wie machst du das?
Erst einmal setzt du die gesamte Gleichun 0, also: 2,5x²-6x-22=0
Nun stellst du die Normalenform auf, also: 2,5x²-6x-22=0 |:2,5
x²-2,4-8,8=0
Jetzt kannst du wieder die p/q-Formel anwenden:
X1,2= -(-2,4)/2 +/- [mm][mm] \sqrt{(-2,4)/2)²+8,8}[/mm] [mm]
= 2,4/2 +/- [mm]\sqrt{(-1,2)²+8,8}[/mm]
= 1,2 +/- [mm]\sqrt{1,44+8,8}[/mm]
= 1,2 +/- [mm]\sqrt{10,24}[/mm]
= 1,2 +/- 3,2
X1= -2 und X2=4,4
Nun hast du die beidenNullstellen der Parabel mit der x-Achse P1=(-2/0) und P2=(4,4/0)
Da die Parabel ja symmetrisch ist, also man kann sie spiegeln, muss in der mitte von diesen beiden Nullstellen ja der x-Wert von dem Mnimmum der Parabel, also dem Scheitelpunkt, liegen.
Nur wie bekomm ich jetzt die Mitte auf der x-Achse zwischen den beiden Nullstellen heraus?
Eigentlich ganmz einfach: Du guckst, wie weit die beiden Punkte voneinander entfernt liegen. Also der erste Punkt liegt auf der x-Achse bei
-2 und der andere bei +4,4 wie weit liegen die Punkte also auseinander??
von der -2 bis zum Koordinatenursprung sind es 2cm. Und von Koordinatenursprung zum Punkt 4,4 also 4,4 cm. Insgesamt also 2+4,4=6,4cm. Die beiden Punkte liegen also 6,4cm voneinamder entfernt. Die hälfte von 6,4 ist nun 3,2. also gehen wir doch von dem Punkt P2=(4,4/0) 3,2 zurück. dann landen wir also beim Punkt: 4,4-3,2=1,2 für x und 0-0=0 für y also P=(1,2/0).
Nun machen wir dasselbe mit dem anderen Punkt. Wir gehen diesmal von
-2 die 3,2 weiter , also -2+3,2= 1,2 und erhalten den neuen x-Wert und 0+0=0 für y und so den Punkt P=(1,2/0). wir sehen also von beiden Nullstellen liegt auf dem halben Abstand derselbe Punkt, nämlich 1,2. Das ist der x-Wert unseres Minimums. Nun brauchen wir noch den dazugehöroigen y-Wert.
Wir setzen unseren x-Wert einfach in unsere Gleichung ein und erhalten:
2,5*(1,2)²-6*(1,2)-22=y
2,5*1,44-6*1,2-22=y
3,6-7,2-22=y
-25,6=y
Das Minimum der Parabel ist also beim Punkt P=(1,2/-25,6)
Das kleinste y ist also mit y=-25,6 bei x=1,2!
das grösste y ist wieder +unendlich, da jeder grösse x-Wert durch das x² den y-Wert exponentiell, also noch viel mehr vergrössert...
wenn x zum Beispiel 100000 ist, dann ist y bereits 2499939998!
und so weiter!
Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen.
Gruß Björn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:37 Di 11.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Rambo!
> Welches ist der kleinste (größte) funktionswert, den die
> Funktion annimmt ?
>
> 1. f(x) = x²-6x+20
> (x-3)²+11 dies ist mein Gedanke!
> S(3/11)
>
> nach oben geöffnet, gestreckt??
Das ist genau der richtige Weg.
Um bei einer quadratischen Funktion den größten bzw. kleinsten Funktionswert zu ermitteln, bringst du den Funktionsterm zunächst (mit  audratischer Ergänzung auf Scheitelpunktsform:
[mm] $f(x)=a*(x-d)^2+e$
[/mm]
Es können dann nämlich die Koordinaten des Scheitelpunktes einfach abgelesen werden: $S(d|e)$.
Ob der Scheitelpunkt der höchste bzw. tiefste Punkt des Graphen ist, entscheidet sich an der Öffnungsrichtung der Parabel, die du an dem Koeffizienten $a$ ablesen kannst:
$a>0$: Parabel noch oben geöffnet, Scheitelpunkt der tiefste Punkt des Graphen
$a<0$: Parabel noch unten geöffnet, Scheitelpunkt der höchste Punkt des Graphen
Das $a$ liefert darüberhinaus auch Informationen über die Öffnungsweite:
$|a|>1$: Parabel gestreckt, also enger geöffnet; Beispiele: [mm] $f(x)=3*(x-d)^2+e$, $f(x)=-2*(x-d)^2+e$
[/mm]
$|a|<1$: Parabel gestaucht, also weiter geöffnet; Beispiele: [mm] $f(x)=1/3*(x-d)^2+e$, $f(x)=-0{,}5*(x-d)^2+e$
[/mm]
$|a|=1$: Parabel hat dieselbe Öffnungsweite wie die Normalparabel [mm] $x^2$. [/mm] Beispiele: [mm] $f(x)=(x-d)^2+e$, $f(x)=-(x-d)^2+e$
[/mm]
> wann weiß ich ob sei nach oben oder unten geöffnet ist,oder
> gestreckt bzw. gestaucht??
Das ist ja jetzt beantwortet...
> und wan weiß man ob es eine Parabel bzw. Normalparabel
> ist??
Es gibt nur eine Normalparabel, sie hat die Funktionsgleichung [mm] $f(x)=x^2$. [/mm] Alle weiteren (quadratischen) Parabeln haben die
allgemeine Form [mm] $f(x)=ax^2+bx+c$ [/mm] bzw.
die Scheitelpunktsform [mm] $f(x)=a(x-d)^2+e$ [/mm] bzw.
Linearfaktorform [mm] $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ [/mm] bzw.
eine andere Form, die sich aber auf eine dieser drei Formen bringen läßt. Dann ist es eine Parabel.
> 2. Welche Zahl muss man für x einsetzen, damit der Term
> seinen kleinsten bzw. größten Wert abbimmt ? Berechen
> diesen kleinsten bzw. größten Wert.
>
> a) x²-8x+25
> b) 5+2x-x²
> c) 2,5x²-6x-22
Hier würde ich --wie oben auch-- die Gleichungen auf Scheitelpunktsform bringen, Scheitelpunkt ablesen und dann an Hand der Öffnungsrichtung entscheiden, ob dieser der höchste der tiefste Punkt ist.
phymastudis Weg, zunächst die Nullstellen zu ermitteln und dann zu argumentieren, dass der Scheitelpunkt ja genau in der Mitte liegt, ist zwar auch richtig, erscheint mir aber umständlicher bzw. genauso umständlich wie die Scheitelpunktsform. Jedenfalls ist der Weg über die Scheitelpunkts der in der Schule übliche Weg, deswege4n solltest du den vielleicht zuerst beherrschen.
> 3. Beschleunigt ein Motorrad aus dem Stand (bzw. bei 30
> km/h), so legt es in den ersten x Sekunden etwa 2x² (bzw.
> 2x²-8x+64) Meter.
>
>
> P.S.- Wie soll ich da den Graphen der Funktion:
> Fahrzeit (in s) ---> zurückgelegte Strecke (in m) in
> dasselbe Koordinatensystem zeichnen?
Die störst dich hier an daran, dass der zweite Graph so weit oberhalb des ersten Graphen liegt, oder?
Aber durch geeignet Wahl der Einheiten passt doch alles auf's Blatt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Viele Grüße,
Marc
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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