Schwingkreis Resonanzfrequenz < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:39 Mo 09.01.2012 | | Autor: | steftn |
Hallo,
------------------------------------
Zunächst einmal eine Grundsatzfrage:
Wie geht man eigentlich vor, wenn man die Resonanzfrequenz berechnen will?
Angenommen man hat ein komplexes Netzwerk aus mehreren Parallel- und Reihenschaltungen von Spulen, Widerständen und Induktivitäten.
Wie berechnet man da die Resonanzfrequenz(en)?
Nimmt man sich da immer eine Reihenschaltung oder Parallelschaltung aus mindestens einer Spule und einem Kondensator vor?
Bestimmt man davon dann den komplexen Widerstand als Funktion von omega, L, C und ggf. R?
Dann bestimmt man doch von dieser Funktion den Imaginärteil, setzt diesen auf 0 und stellt das ganze auf omega um?
Dieses omega soll dann praktisch omega(0), also die Resonanzkreisfrequenz sein?
Stimmt mein Gedankengang so?
---------------------------------
So, und jetzt Fragen zur obigen Aufgabe:
also zu a)
Ich komm da irgendwie gar nicht auf den komplexen Leitwert so wie in der Lösung angegeben, bei mir kommt sowas raus:
Ich hab praktisch zuerst die Reihenschaltung R und C berechnet:
Reihenschaltung aus R und C ergibt:
Reihenschaltung(RC) = R-(i/(w*C))
somit ergibt Zgesamt:
Zgesamt = 1/(1/(iwL)+1/(R-i/(wC)))
Somit ergibt sich für den komplexen Leitwert:
Ygesamt = 1/Zgesamt = (1/(1/(iwL)+1/(R-i/(wC))))^-1
= [mm] (CLw^2-iCRw-1)/(Lw(CRw-i))
[/mm]
Davon müsste man nun den Imaginärteil bestimmen.
Den Imaginärteil muss man dann gleich Null setzten und dann auf w (=omega) umstellen, richtig?
Anschließend muss man dann noch den omega-Wert ^(-1) nehmen, um die richtige Resonanzkreisfrequenz zu erhalten, richtig? (der Imaginärteil stammt ja vom Leitwert, somit muss man diesen noch ^(-1) nehmen, damit es passt?)
mhm, aber wie komm ich jetzt überhaupt zum Imagniärteil, durch Umformen krieg ich das irgendwie nicht hin...
Beziehungsweise, wie kommt man überhaupt auf die in der Lösung angegebene Gleichung?
Oder soll man an der Sache ganz anderst rangehen, z.b. dass man zuerst die Reihenschaltung aus R und C in eine Parallelschaltung umwandelt?
mhm, vielleicht kann mir ja jemand ein paar Tipps geben, wär super nett...
Das dumme ist ja, man hat jetzt gerade mal 3 Bauelemente die noch relativ "einfach" verschachtelt sind, wenn das jetzt 4,5 oder noch mehr Bauteile wären, dann würde ja die Gleichung für die Resonanzfrequenz immer größer und komplizierter werden!?
|
|
| |
|
> Hier gehts zur Aufgabenstellung:
>
> ![[]](/images/popup.gif) Bitte hier klicken
>
>
> Hallo,
>
> ------------------------------------
> Zunächst einmal eine Grundsatzfrage:
>
> Wie geht man eigentlich vor, wenn man die Resonanzfrequenz
> berechnen will?
> Angenommen man hat ein komplexes Netzwerk aus mehreren
> Parallel- und Reihenschaltungen von Spulen, Widerständen
> und Induktivitäten.
> Wie berechnet man da die Resonanzfrequenz(en)?
> Nimmt man sich da immer eine Reihenschaltung oder
> Parallelschaltung aus mindestens einer Spule und einem
> Kondensator vor?
> Bestimmt man davon dann den komplexen Widerstand als
> Funktion von omega, L, C und ggf. R?
> Dann bestimmt man doch von dieser Funktion den
> Imaginärteil, setzt diesen auf 0 und stellt das ganze auf
> omega um?
> Dieses omega soll dann praktisch omega(0), also die
> Resonanzkreisfrequenz sein?
> Stimmt mein Gedankengang so?
hallo,
naja bis auf den teil mit der reihen- und parallelschaltung. wenn man eine gesamtimpedanz sucht, wird man irgendwie ja immer irgendetwas zusammenfassen müssen
> ---------------------------------
>
> So, und jetzt Fragen zur obigen Aufgabe:
>
> also zu a)
> Ich komm da irgendwie gar nicht auf den komplexen Leitwert
> so wie in der Lösung angegeben, bei mir kommt sowas raus:
>
>
> Ich hab praktisch zuerst die Reihenschaltung R und C
> berechnet:
>
> Reihenschaltung aus R und C ergibt:
>
> Reihenschaltung(RC) = R-(i/(w*C))
>
> somit ergibt Zgesamt:
>
> Zgesamt = 1/(1/(iwL)+1/(R-i/(wC)))
>
> Somit ergibt sich für den komplexen Leitwert:
>
> Ygesamt = 1/Zgesamt = (1/(1/(iwL)+1/(R-i/(wC))))^-1
> = [mm](CLw^2-iCRw-1)/(Lw(CRw-i))[/mm]
stichwort: konjugiert komplex erweitern.. da das niemand lesen kann prüf ich das an dieser stelle auch gar nicht nach..
>
> Davon müsste man nun den Imaginärteil bestimmen.
> Den Imaginärteil muss man dann gleich Null setzten und
> dann auf w (=omega) umstellen, richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Anschließend muss man dann noch den omega-Wert ^(-1)
> nehmen, um die richtige Resonanzkreisfrequenz zu erhalten,
> richtig? (der Imaginärteil stammt ja vom Leitwert, somit
> muss man diesen noch ^(-1) nehmen, damit es passt?)
hä? [mm] \omega [/mm] ist und bleibt [mm] \omega
[/mm]
>
> mhm, aber wie komm ich jetzt überhaupt zum Imagniärteil,
> durch Umformen krieg ich das irgendwie nicht hin...
s.o.
>
> Beziehungsweise, wie kommt man überhaupt auf die in der
> Lösung angegebene Gleichung?
>
>
>
> Oder soll man an der Sache ganz anderst rangehen, z.b. dass
> man zuerst die Reihenschaltung aus R und C in eine
> Parallelschaltung umwandelt?
das wäre einfacher
>
> mhm, vielleicht kann mir ja jemand ein paar Tipps geben,
> wär super nett...
ps: schau dir mal den imaginärteil einer komplexen zahl [mm] \underline{z}=x+jy [/mm] und den imaginärteil des kehrwertes an. was fällt auf, wenn man beide null setzt?
>
> Das dumme ist ja, man hat jetzt gerade mal 3 Bauelemente
> die noch relativ "einfach" verschachtelt sind, wenn das
> jetzt 4,5 oder noch mehr Bauteile wären, dann würde ja
> die Gleichung für die Resonanzfrequenz immer größer und
> komplizierter werden!?
gewöhn dich besser früh dran. so ein einfaches netzwerk wirst du so schnell nicht mehr zu sehen bekommen
gruß tee
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Mo 09.01.2012 | | Autor: | steftn |
Danke schonmal für deine Antwort
> ps: schau dir mal den imaginärteil einer komplexen zahl
> und den imaginärteil des kehrwertes an.
> was fällt auf, wenn man beide null setzt?
mhm, was genau willst du damit sagen?
Der Imaginärteil von [mm]\underline{z}=x+jy[/mm] ist y.
Der Kehrwert von y ist 1/y, somit erhält man einmal:
y=0 --> y=0
1/y = 0 --> n.d.
gruß
|
|
|
| |
|
> Danke schonmal für deine Antwort
>
> > ps: schau dir mal den imaginärteil einer komplexen zahl
> > und den imaginärteil des kehrwertes an.
> > was fällt auf, wenn man beide null setzt?
>
> mhm, was genau willst du damit sagen?
>
> Der Imaginärteil von [mm]\underline{z}=x+jy[/mm] ist y.
>
> Der Kehrwert von y ist 1/y, somit erhält man einmal:
>
> y=0 --> y=0
> 1/y = 0 --> n.d.
>
> gruß
ich schrieb "imaginärteil des kehrwertes", nicht andersherum
gruß tee
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:59 Di 10.01.2012 | | Autor: | steftn |
>
> ich schrieb "imaginärteil des kehrwertes", nicht
> andersherum
>
Sorry,
Also der Kehrwert von:
$ [mm] \underline{z}=x+jy [/mm] $ ist:
[mm] \bruch{1}{x+jy} [/mm]
Damit man auf den Imaginärteil kommt, muss man die ganze Sache konjugiert Komplex erweitern, sprich Zähler und Nenner mit (x-iy) multiplizieren.
[mm] \bruch{(x-iy)}{(x^2 - xjy + jyx + y^2)} [/mm] = [mm] \bruch{(x-jy)}{(x^2 + y^2)} [/mm]
Somit beträgt dann der Imaginärteil des Kehrwertes:
[mm] \bruch{-y}{x^2 + y^2} [/mm]
------------------------
Nochmal zur meiner Aufgabenstellung:
Also ich rechne ja sehr ungern in Leitwerten, weiß nicht warum, aber irgendwie ist mir das nicht so gehäuer...
Aber ich denke wenn man diese Aufgabe jetzt komplett als Parallelschaltung in Leitwerten rechnet, kommt man schneller und sicherer auf die Lösung:
Also ich hab jetzt mal die Reihenschaltung aus R und C in eine Parallelschaltung umgewandelt:
Z(Reihe:RC) = [mm] \wurzel{(R^2)+(\bruch{-1}{(w*C)})^2 }
[/mm]
somit:
[mm] Z^2 [/mm] = [mm] \bruch{C^2 * R^2 * w^2 +1}{C^2 * w^2}
[/mm]
So, jetzt kann man die Reihenelemente R und C zu Parallelelementen G und B(C) umwandeln:
G = [mm] \bruch{R}{Z^2} [/mm] = [mm] \bruch{R}{\bruch{C^2 * R^2 * w^2 +1}{C^2 * w^2}} [/mm]
somit: G = [mm] \bruch{C^2*R*w^2}{C^2*R^2*w^2+1} [/mm]
ok, weiter mit B(C):
B(C)= [mm] \bruch{X(C)}{Z^2} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{-1}{w*C} }{\bruch{C^2 * R^2 * w^2 +1}{C^2 * w^2}} [/mm]
somit:
B(C) = [mm] \bruch{-C*w}{C^2*R^2*w^2+1}
[/mm]
Ok, also laut Lösung in der Aufgabenstellung soll ja das herauskommen:
Y(komplex) = [mm] \bruch{1}{jwL} [/mm] + [mm] \bruch{jwC+w^2*C^2*R}{1+(w*C*R)^2} [/mm]
... somit sind wir ja dem Ergebnis schon ziemlich nahe...
So, aber ich hab noch ein Problem mit der Parallelschaltung was ich noch nie so richtig kapiert habe wenn man mit komplexen Leitwerten rechnet:
Wie sieht jetzt die Formel zur Leitwertberechnung der Parallelschaltung aus?
Formel aus meiner Formelsammlung:
Y(komplex) = G - [mm] j(\bruch{1}{w*L}-w*C)
[/mm]
Aber mit dieser Formel bin ich irgendwie noch nie zurecht gekommen...
Wenn die denn stimmt, dann müsste ja gelten:
Y(komplex) = G - jB(L) + jB(C)
Aber wenn ich diese Formel auf meine Aufgabe anwende, dann würde ganz was anderes herauskommen, nämlich:
Y(komplex) = [mm] \bruch{C^2*R*w^2}{C^2*R^2*w^2+1} [/mm] - [mm] j(\bruch{1}{w*L}) [/mm] + [mm] j*(\bruch{-C*w}{C^2*R^2*w^2+1})
[/mm]
Das kann doch irgendwie nicht stimmen, oder?
Weiß jemand, wie man das "j" jetzt wieder richtig einbringt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:26 Di 10.01.2012 | | Autor: | GvC |
Die Formel aus Deiner Formelsammlung gilt für die Parallelschaltung von R, L und C, also für den Fall, dass alle 3 Elemente parallel liegen. Deine Schaltung ist aber eine andere: Da liegt die Reihenschaltung von R und C parallel zu L.
Erinnere Dich an das erste Semester, in dem Du gelernt hast, dass der Gesamtleitwert einer Parallelschaltung gleich der Summe der Einzelleitwerte ist, im vorliegenden Fall also
[mm]\underline{Y}=\frac{1}{jX_L}+\frac{1}{R-jX_C}=-j\frac{1}{X_L}+\frac{R+jX_C}{R^2+X_C^2}=\frac{R}{R^2+X_C^2}+j\left( \frac{X_C}{R^2+X_C^2}-\frac{1}{X_L}\right)[/mm]
Jetzt magst Du für [mm]X_L=\omega L[/mm] und [mm] X_C=\frac{1}{\omega C} [/mm] einsetzen, aber das ist ja nur noch stures Mittelstufenrechnen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 Di 10.01.2012 | | Autor: | steftn |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Die Formel aus Deiner Formelsammlung gilt für die
> Parallelschaltung von R, L und C, also für den Fall, dass
> alle 3 Elemente parallel liegen. Deine Schaltung ist aber
> eine andere: Da liegt die Reihenschaltung von R und C
> parallel zu L.
klar, aber ich hab doch jetzt die Reihenschaltung in eine Parallelschaltung umgerechnet, mit:
B(C) = $ \bruch{-C\cdot{}w}{C^2\cdot{}R^2\cdot{}w^2+1} $
G = $ \bruch{C^2\cdot{}R\cdot{}w^2}{C^2\cdot{}R^2\cdot{}w^2+1} $
B(L) = \bruch{1}{w*L}
somit müsste da rauskommen:
Y(komplex) = G + (-jB(L)) + jB(C)
Y(komplex) = $ \bruch{C^2\cdot{}R\cdot{}w^2}{C^2\cdot{}R^2\cdot{}w^2+1}} $ - $ j(\bruch{1}{w\cdot{}L}) $ + $ j\cdot{}(\bruch{-C\cdot{}w}{C^2\cdot{}R^2\cdot{}w^2+1}) $
= \bruch{C^2*R*w^2-j*C*w}{C^2*R^2*w^2+1}+\bruch{1}{j*w*L}
Aber irgendwas stimmt ja jetzt mit den Vorzeichen nicht?
|
|
|
| |
|
> > Die Formel aus Deiner Formelsammlung gilt für die
> > Parallelschaltung von R, L und C, also für den Fall, dass
> > alle 3 Elemente parallel liegen. Deine Schaltung ist aber
> > eine andere: Da liegt die Reihenschaltung von R und C
> > parallel zu L.
>
> klar, aber ich hab doch jetzt die Reihenschaltung in eine
> Parallelschaltung umgerechnet, mit:
>
>
> B(C) = [mm]\bruch{-C\cdot{}w}{C^2\cdot{}R^2\cdot{}w^2+1}[/mm]
>
> G =
> [mm]\bruch{C^2\cdot{}R\cdot{}w^2}{C^2\cdot{}R^2\cdot{}w^2+1}[/mm]
>
> B(L) = [mm]\bruch{1}{w*L}[/mm]
>
> somit müsste da rauskommen:
>
> Y(komplex) = G + (-jB(L)) + jB(C)
>
> Y(komplex) =
> [mm]\bruch{C^2\cdot{}R\cdot{}w^2}{C^2\cdot{}R^2\cdot{}w^2+1}}[/mm]
> - [mm]j(\bruch{1}{w\cdot{}L})[/mm] +
> [mm]j\cdot{}(\bruch{-C\cdot{}w}{C^2\cdot{}R^2\cdot{}w^2+1})[/mm]
>
> = [mm]\bruch{C^2*R*w^2-j*C*w}{C^2*R^2*w^2+1}+\bruch{1}{j*w*L}[/mm]
>
> Aber irgendwas stimmt ja jetzt mit den Vorzeichen nicht?
hallo,
ich halte nix davon, sowas elementares aus einer formelsammlung zu kopieren, die man nicht wirklich nachvollziehen kann
die reihenschaltung aus kondensator und widerstand liefert doch
[mm] \underline{Z}_{RC}=R+\frac{1}{j\omega C}
[/mm]
das auf einen nenner bringen:
[mm] \underline{Z}_{RC}=\frac{1+j\omega CR}{j\omega C}
[/mm]
nun ist die admittanz davon:
[mm] \underline{Y}_{RC}=\frac{1}{\underline{Z}_{RC}}=\frac{j\omega C}{1+j\omega CR}
[/mm]
das kann man nun schonmal erweitern mit $ [mm] (1-j\omega [/mm] CR) $ und erhält
[mm] \underline{Y}_{RC}=\frac{j\omega C+(\omega C)^2R}{1+(\omega CR)^2} [/mm]
nun gilt noch [mm] \underline{Y}_{gesamt}=\underline{Y}_{L}+\underline{Y}_{RC}=\frac{1}{j\omega L}+\frac{j\omega C+(\omega C)^2R}{1+(\omega CR)^2} [/mm]
und sowas sollte man in 1-2 minütchen so runterkritzeln und sich auf die sache einlassen.. für jedes zeug in ne formelsammlung schauen geht in der klausur eher nach hinten los
gruß tee
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:08 Di 10.01.2012 | | Autor: | steftn |
Ok, ich habs jetzt gecheckt.
Vielen Dank dass ihr euch dafür Zeit genommen habt!
Noch eine kleine Anmerkung:
In der Aufgabenlösung ist wohl ein kleiner Fehler bei d) drin.
Bei der Güte wurden bei der Berechnung von B0 der Wert "2pi" vergessen. Wollt ich nur mal erwähnen, nicht das es jemand nachrechnet und sich wundert dass er das falsche Ergebnis erhält.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:09 Mi 11.01.2012 | | Autor: | steftn |
| Aufgabe | Hier gehts zur Aufgabenstellung:
Klick mich |
Hallo,
Bezüglich der aktuellen Aufgabenstellung:
Vielleicht mag mir jemand helfen, aber irgendwas stimmt da bei meiner Berechnung nicht:
Also zur Aufgabe a)
Berechnung des komplexen Leitwertes:
Y(komplex) = [mm] \bruch{1}{R+j*w*L} [/mm] + [mm] j*w*C_{1} [/mm] + [mm] j*w*C_{2}
[/mm]
= [mm] \bruch{R - j*L*w}{R^2+L^2+w^2} [/mm] + j*w*(C1+C2)
Der Imaginärteil davon beträgt:
Imaginärteil = (C1+C2)*w - [mm] \bruch{L*w}{R^2+L^2*w^2}
[/mm]
So, das ganze muss man dann auf Null setzen und nach w auflösen, damit man die Resonanzkreisfrequenz erhält:
(C1+C2)*w - [mm] \bruch{L*w}{R^2+L^2*w^2} [/mm] = 0
[mm] \gdw [/mm] (C1*C2)*w = [mm] \bruch{L*w}{R^2+L^2*w^2}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] (C1*C2)*w * [mm] (R^2+L^2*w^2) [/mm] = L*w
[mm] \gdw (C1+C2)*w*R^2 [/mm] + [mm] w^3*L^2 [/mm] = L*w
[mm] \gdw (C1+C2)*R^2 [/mm] + [mm] w^2*L^2 [/mm] = L
[mm] \gdw w^2*L^2 [/mm] = [mm] L-R^2*(C1+C2)
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] w = [mm] \wurzel{\bruch{L-R^2*(C1+C2)}{L^2}}
[/mm]
mhm, wenn ich aber jetzt die ganzen Werte einsetze (inkl. Kondensator C2 aus Lösung b), dann komme ich nicht auf die Resonanzfrequenz von [mm] 10^5 [/mm] * s^(-1).
Wär super wenn mir jemand helfen könnte, ich finde einfach meinen Fehler nicht :-(
|
|
|
| |
|
> Hier gehts zur Aufgabenstellung:
>
> Klick mich
>
> Hallo,
>
> Bezüglich der aktuellen Aufgabenstellung:
> Vielleicht mag mir jemand helfen, aber irgendwas stimmt da
> bei meiner Berechnung nicht:
>
> Also zur Aufgabe a)
>
> Berechnung des komplexen Leitwertes:
>
> Y(komplex) = [mm]\bruch{1}{R+j*w*L}[/mm] + [mm]j*w*C_{1}[/mm] + [mm]j*w*C_{2}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{R - j*L*w}{R^2+L^2+w^2}[/mm] + j*w*(C1+C2)
>
> Der Imaginärteil davon beträgt:
>
> Imaginärteil = (C1+C2)*w - [mm]\bruch{L*w}{R^2+L^2*w^2}[/mm]
>
> So, das ganze muss man dann auf Null setzen und nach w
> auflösen, damit man die Resonanzkreisfrequenz erhält:
>
> (C1+C2)*w - [mm]\bruch{L*w}{R^2+L^2*w^2}[/mm] = 0
>
> [mm]\gdw[/mm] (C1*C2)*w = [mm]\bruch{L*w}{R^2+L^2*w^2}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] (C1*C2)*w * [mm](R^2+L^2*w^2)[/mm] = L*w
>
> [mm]\gdw (C1+C2)*w*R^2[/mm] + [mm]w^3*L^2[/mm] = L*w
hier passiert beim ausmultiplizieren der klammer, die vorher im nenner stand ein grosses unglück. des weiteren könntest du das omega in beiden zählern ruhig vorher kürzer um schreibarbeit zu sparen (ne äquivalenz ist es btw dann eigentlich auch nicht mehr, wenn man dann durch [mm] \omega [/mm] = 0 teilt  )
>
> [mm]\gdw (C1+C2)*R^2[/mm] + [mm]w^2*L^2[/mm] = L
>
> [mm]\gdw w^2*L^2[/mm] = [mm]L-R^2*(C1+C2)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] w = [mm]\wurzel{\bruch{L-R^2*(C1+C2)}{L^2}}[/mm]
>
> mhm, wenn ich aber jetzt die ganzen Werte einsetze (inkl.
> Kondensator C2 aus Lösung b), dann komme ich nicht auf die
> Resonanzfrequenz von [mm]10^5[/mm] * s^(-1).
genau, die einheitenprobe die sich bei sowas immer anbietet schlägt ja schon fehl.. sei der hintere term im nenner null hättest du [mm] \omega=\sqrt{1/L} [/mm] und das kann ja nicht sein
>
> Wär super wenn mir jemand helfen könnte, ich finde
> einfach meinen Fehler nicht :-(
gruß tee
|
|
|
|
![[]](http://666kb.com/i/c08urlha7psdu9juf.gif){kind=small}
Bitte hier klicken![[]](http://666kb.com/i/c0a1eqxbp5fy4hkmv.gif){kind=small}
Klick mich
![[]](http://666kb.com/i/c0aqf3apjjvyux8dz.gif){kind=small}
Klick mich