Schwingtür/Differentialgl. < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die 1m breite Schwingtür zwischen Gastraum und Küche eines Restaurants bewegt sich entscprechend der folgenden Differentialgleichung:
[mm] \phi^{''} + 2 \gamma \phi^{'} + w_{0}^{2} \phi =0 [/mm]
Dabei ist [mm] \phi [/mm] der Öffnungswinkel der Tür, [mm] w_{0} = 3 s^{-1} [/mm] und [mm] \gamma = 2 s^{-1} [/mm].
a) Die Tür wird ohne Anstoßen aus der Anfagsauslenkung [mm] \pi /2 [/mm] heraus losgelassen. Skizzieren Sie [mm] \phi (t) [/mm] für die angegebenen Parameter. Welchen Öffnungswinkel erreicht die Tür nach einer Schwingung?
b) Ein voll beladener Oberkellner (näherungsweise kreisförmiger Querschnitt mit 50cm Durchmesser) nähert sich der geschlossenen Tür. Welche Winkelgeschwindigkeit [mm] \phi^{'}_{0} [/mm] muss er der Tür durch einen kurzen Fußtritt mindestens geben, damit er sie zum Zeitpunkt maximaler Öffnung gerade passieren kann? |
Ich habe die DGL aufgelöst und bekomme als allgemeine Lösung:
[mm] \phi (t) = A_{1} e^{\lambda_{1} t} + A_{2} e^{\lambda_{2} t} [/mm] mit [mm] \lambda_{1} = - \gamma + iw [/mm] und [mm] \lambda_{2} = - \gamma - iw [/mm] mit [mm] w= \wurzel{ - \gamma^{2} + w_{0}^{2} [/mm].
Nach Einsetzen der Anfangsbedingungen [mm] \phi(t=0) = \pi /2 [/mm] und [mm] \phi^{'}(t=0) =0 [/mm] erhält man:
[mm] A_2 = \pi /2 - A_1 [/mm] und [mm] A_1 = \bruch{ (\gamma + iw) \pi }{ 4iw} [/mm] und somit folgt:
[mm] \phi (t) = e^{- \gamma t} ( \bruch{ (\gamma + iw) \pi }{ 2w} sin(wt) + \bruch{\pi}{2} e^{-iwt}) [/mm].
Meine Frage ist, wie ich mit den komplexen Teilen witermachen soll? Oder gibt es eine Möglichkeit, die irgendwie weg zu bekommen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:41 So 14.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo du schreibst die allg. Lösung lieber direkt als
[mm] e^{-\gamma*t}*(Acoswt*Bsinwt) [/mm] dein Gemisch aus sin und komplexen fkt versteh ich nicht! Auch die komplexen A sind eigenartig!
Gruss leduart
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Hallo!
Leduart meinte eher $ [mm] e^{-\gamma\cdot{}t}*(A\cos wt\red{+}B\sin [/mm] wt) $
Zu deinem Ansatz:
Wenn man den Ansatz [mm] A_1e^{\lambda_1}+A_2e^{\lambda_2} [/mm] mal aufdröselt, bekommt man:
[mm] $A_1e^{-\gamma}\cos(\omega t)+iA_1e^{-\gamma}\sin(\omega t)\red{+}A_2e^{-\gamma}\cos(\omega t)\red{-}iA_2e^{-\gamma}\sin(\omega [/mm] t)$
Der Imaginärteil hat hier keine physikalische Bedeutung, er bietet nur eine Hilfestellung.
[mm] $A_1e^{-\gamma}\cos(\omega t)A_2e^{-\gamma}\cos(\omega t)=(A_1+A_2)e^{-\gamma}\cos(\omega [/mm] t)$
Daraus ergibt sich sofort die Anfangsbedingung [mm] $(A_1+A_2)=\pi/2$
[/mm]
Wenn du den vollständigen Term ableitest, hast du reale Sinus-Teile, die sind für t=0 auch gleich 0.
Du siehst aber, der Ansatz funktioniert.
Kompliziert wird es allerdings, wenn für t=0 keine max. Auslenkung besteht, dann können [mm] A_1 [/mm] und [mm] A_2 [/mm] durchaus komplex werden, mit der Folge, daß du reale Mischterme mit SIN und COS erhälst, was zu Leduarts Ansatz $ [mm] \phi(t)=e^{-\gamma\cdot{}t}*(A\cos wt{+}B\sin wt)=C*\sin(\omega t+\psi_0) [/mm] $ führt. Es ist nämlich nur ne Phasenverschiebung!
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