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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:14 So 26.09.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Die rechts skizzierte Anordnung führt kleine Schwingungen aus, d. h. [mm] sin(\alpha) [/mm] = [mm] \alpha [/mm] und [mm] cos(\alpha) [/mm] =1. Die Stangen soll als massenlos angenommen werden und hat die Länge 80cm. An ihrem oberen Ende befindet sich eine punktförmige Masse von 400g. Die Federn greifen exakt in der mItte der Stange an, haben eine federkonstante von 60 N/m und dürfen auch als massenlos angenommen werden.
In der Ruhelage steht der Stab senkrecht. Wie gross ist die Schwingungsdauer?
Ich habe bei dieser Aufgabe gerade Probleme...
Hier handelt es sich um eine Drehbewegung, also definiere ich das Kräftegleichgewicht als Drehmoment N/m
Dies bereitet mir jedoch grössere Mühe.
Also ich gehe mal vom Fall eines mathematischen pendels aus, also ohne die Feder
- [mm] J*\ddot{\varphi} [/mm] = m*g*l * sin [mm] (\varphi)
[/mm]
- [mm] J*\ddot{\varphi}: [/mm] oder dies ist das Drehmoment, welches das Pendel wieder in den "Ruhezustand" zurückzwingt?
Stimmt das so?
Nun kommt ja noch ein weiteres Drehmoment durch die Feder hinzu
Drehmoment infolge der Feder = c * [mm] \varphi [/mm] * [mm] \bruch{l}{2} [/mm] * cos [mm] (\varphi)
[/mm]
c: Federkonstante
Das Drehmomentgleichgewicht ist:
- [mm] J*\ddot{\varphi} [/mm] - c * [mm] \varphi [/mm] * [mm] \bruch{l}{2} [/mm] * cos = m*g*l * sin [mm] (\varphi)
[/mm]
0 = m*g*l * sin [mm] (\varphi) [/mm] + [mm] J*\ddot{\varphi} [/mm] + c * [mm] \varphi [/mm] * [mm] \bruch{l}{2} [/mm] * cos [mm] (\varphi)
[/mm]
J = [mm] m*l^2 [/mm]
0 = m*g*l * sin [mm] (\varphi) [/mm] + [mm] m*l^2 *\ddot{\varphi} [/mm] + c * [mm] \varphi [/mm] * [mm] \bruch{l}{2} [/mm] * cos [mm] (\varphi)
[/mm]
cos [mm] (\varphi) [/mm] = 1
sin [mm] (\varphi) [/mm] = [mm] \varphi
[/mm]
0 = m*g*l * [mm] \varphi [/mm] + [mm] m*l^2 *\ddot{\varphi} [/mm] + c * [mm] \varphi [/mm] * [mm] \bruch{l}{2} [/mm]
Doch in der Lösung steht als zwischenresultat:
0 = [mm] m*l^2 *\ddot{\varphi} [/mm] + c * [mm] \varphi [/mm] *l
Ich verstehe gerade überhaupt nicht, wie man darauf kommt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:33 So 26.09.2010 | | Autor: | Kuriger |
Skizze
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo!
Sooo, nachdem sich da ja noch einiges getan hat:
Die rechts skizzierte Anordnung führt kleine Schwingungen aus, d. h. $ [mm] sin(\alpha) [/mm] $ = $ [mm] \alpha [/mm] $ und $ [mm] cos(\alpha) [/mm] $ =1. Die Stangen soll als massenlos angenommen werden und hat die Länge 80cm. An ihrem oberen Ende befindet sich eine punktförmige Masse von 400g. Die Federn greifen exakt in der mItte der Stange an, haben eine federkonstante von 60 N/m und dürfen auch als massenlos angenommen werden.
In der Ruhelage steht der Stab senkrecht. Wie gross ist die Schwingungsdauer?
Ich habe bei dieser Aufgabe gerade Probleme...
Hier handelt es sich um eine Drehbewegung, also definiere ich das Kräftegleichgewicht als Drehmoment N/m
Dies bereitet mir jedoch grössere Mühe.
Also ich gehe mal vom Fall eines mathematischen pendels aus, also ohne die Feder
$- [mm] J\cdot{}\ddot{\varphi} [/mm] = m*g*l * [mm] \sin(\varphi) [/mm] $
Nein, das ist nicht ganz korrekt: Wenn du das Pendel auslenkst und es los läßt, wird es sich in Richtung Auslenkung weiter bewegen wollen, also ist das Vorzeichen positiv. Außerdem wirkt die gewichtskraft auf den Schwerpunkt, also l/2. Insgesamt:
[mm] $\red{+} J\cdot{}\ddot{\varphi} [/mm] = [mm] m*g*\frac{l}{\red{2}} [/mm] * [mm] \sin(\varphi) [/mm] $
> Drehmoment infolge der Feder = c * $ [mm] \varphi [/mm] $ * $ [mm] \bruch{l}{2} [/mm] $ * cos $ [mm] (\varphi) [/mm] $
Ja, der Term ist schon korrekt. Für kleine Auslenkungen kannst du aber hier [mm] $\cos\varphi\approx [/mm] 1 $ direkt annähern, du hast das weiter unten gemacht. Denk aber dran, dieses moment wirkt der auslenkung entgegen!
[mm] $J\cdot{}\ddot{\varphi} [/mm] = [mm] m*g*\frac{l}{{2}} [/mm] * [mm] \sin(\varphi) \red{-}c [/mm] * [mm] \varphi [/mm] * [mm] \bruch{l}{2} [/mm] $
Jetzt noch der Sinus:
[mm] $J\cdot{}\ddot{\varphi} [/mm] = [mm] m*g*\frac{l}{{2}} [/mm] * [mm] \varphi [/mm] -c * [mm] \varphi [/mm] * [mm] \bruch{l}{2} =\left(m*g*\frac{l}{{2}} -c * \bruch{l}{2}\right)* \varphi$
[/mm]
Dein Zwischenresultat verstehe ich auch nicht. Ich kann mir höchstens vorstellen, daß die mit dem c etwas anderes meinen, diese große Klammer zum Beispiel.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:06 So 26.09.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo Event_Horizon
Danke für deine Erklärungen, insbesondere verstehe ich nun das wegen den Vorzeichen um einiges besser.
"Nur ist mir ein Punkt den du mir erwähnt hast nicht klar:
Außerdem wirkt die gewichtskraft auf den
Schwerpunkt, also l/2. "
Gemäss Aufgabenstellung handelt es sich um eine massenlose Stange mit einer Punktförmigen Masse. Deshalb liegt nach meinem verständnis der Schwerpunkt bei der Punktförmigen Masse. Ist ja wie beim mathematischen Pendel, da nimmt man ja auch l * sin [mm] \alpha. [/mm] Oder bin ich da wirklich auf dem Holzweg?
Danke, Gruss Kuriger
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:51 So 26.09.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Skizze scheint mir falsch. nach der Musterloesung [mm] J=ml^2 [/mm] ist die Stange im unteren Punkt drehbar gelagert, und nicht frei schwebend in die Federn eingespannt. waere sie das, wuerde sie im wesentlichen keine Drehung ausfuehren. Die Gravitationswirkung ist wegen des kleinen Winkels vernachlaessigt, also ist nur die Federkraft zu beruecksichtigen, die grieft bei r=l/2 an, 2 Federn also 2*c und die auslenkung ist wieder wegen des kleinen Winkels [mm] \phi*l/2
[/mm]
Du musst die Skizzen ordentlicher machen, dann werden die Aufgaben einfacher.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:16 So 26.09.2010 | | Autor: | Kuriger |
Vielleicht hilft es, wenn ich mal den ganzen Musterlösungsweg präsentiere. Wie gesagt, hier scheint mir Komponenten zu fehlen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruss Kuriger
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 Mo 27.09.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Ich habe noch eine Grundsatzfrage
[mm] J*\ddot{\varphi}= [/mm] m*g*l * sin [mm] (\varphi)
[/mm]
Das Drehmoment [mm] J*\ddot{\varphi} [/mm] steht ja immer alleine auf der einen Seite und muss mit dem Rest im Gleichgewicht sein? Doch irgendwie ist es mir unklar, was das überhaupt genau ist
Danke, Gruss Kuriger
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Hallo!
Oben mit dem Angriffspunkt der Gravitation hast du natürlich recht. Aber wenn die Gravitation bei starken Federn tatsächlich vernachlässigt werden soll, ist das natürlich was anderes.
Das [mm] J\ddot{\varphi} [/mm] ist das Drehmoment, also sowas wie eine Kraft, die auf dein Pendel wirkt. Und damit steckt da die tatsächliche, sichtbare Beschleunigung drin.
Ein einfaches Beispiel:
Die Gleichung für den freien Fall wäre
[mm] m\ddot{x}=m*g
[/mm]
m*g ist die auf den Körper wirkende Gravitationskraft, und [mm] m\ddot{x} [/mm] gibt die Beschleunigung des Körpers an. Du bekommst hieraus nun
[mm] \ddot{x}=g
[/mm]
[mm] x(t)=A+B*t+\frac{1}{2}gt^2 [/mm]
wobei A, B aus der Gleichung selbst nicht ermittelt werden können.
Wenn es jetzt z.B. noch Luftreibung gibt, so könnte es zur Gravitation noch eine in die entgegengesetzte Richtung wirkende, quadratisch von der Geschwindigkeit abhängige Kraft geben:
[mm] m\ddot{x}=m*g -c\dot{x}^2
[/mm]
Mit zunehmender Geschwindigkeit sinkt also die tatsächliche Beschleunigung. Ab einer gewissen Geschwindigkeit ist der rechte Term=0, und der Körper beschleunigt nicht weiter, sondern fliegt mit konstanter Geschwindigkeit weiter.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:45 Mo 27.09.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo Event Horizon
Also das ist eigentlich nichts anderes als die resultierende Kraft resp. das resultierende Drehmoment?
Danke, gruss Kuriger
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So kann man das sagen. Und immer dran denken, das beschreibt die tatsächlich stattfindende Bewegung, sodaß du die Vorzeichenfrage daran ganz gut klären kannst ("Dies wirkt der Bewegung entgegen, das wirkt in die gleiche Richtung...")
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