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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:02 Mi 04.01.2012 | | Autor: | murmel |
| Aufgabe | An einem Federpendel (Feder $k$) hängt ein Massepunkt [mm] $m_1$ [/mm] und daran ein Fadenpendel der Länge [mm] $\ell$ [/mm] und der Massepunkt [mm] $m_2$, [/mm] wie in der unten stehenden Abbildung gezeigt. (Gewicht von Feder und Faden sollen vernachlässigt werden, Schwerkraft sei vorhanden.) Die gesamte Bewegung soll sich in der xz-Ebene abspielen (Faden ist immer gespannt). [mm] \\
[/mm]
Wählen Sie die z-Achse nach oben ausgerichtet mit dem Nullpunkt am Ort der entspannten Feder. Dort soll auch der Nullpunkt des Schwerepotenzials liegen. Verwenden Sie ebenfalls den Winkel [mm] $\varphi$ [/mm] wie in der Skizze eingezeichnet.
a) Welche Koordinaten wählen Sie? Wie lauten die Ortsvektoren [mm] $\vec {r}_1$ [/mm] und [mm] $\vec{r}_2$ [/mm] zu den beiden
Massen in diesen Koordinaten?
b) Stellen Sie die Lagrange-Funktion dieses Problems auf.
c) Stellen Sie die Bewegungsgleichungen dieses Problems auf. |
Hallo, gesundes neues Jahr!
Also, in der Aufgabenstellung wurde dieses Bild verwendet
[Dateianhang nicht öffentlich]
Abb.1
Ich habe mir entsprechend der Aufgabenstellung nun diese Skizze gezeichnet:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Abb. 2, mit gegebenen Größen und unbekannten Größen
Ich habe das Problem, dass der eingezeichnete Winkel auf dem Aufgabenblatt nicht der einzige Winkel bei der gesamten Bewegung des Systems sein wird.
In der Aufgabe steht, dass die gesamte Bewegung in $xz$-Ebene stattfinden soll.
Wenn ich nun die Ortsvektoren (farbig dargestellt) als Ausgangspunkte nehmen soll, stimmt der eingezeichnete Winkel nicht mehr mit einem der Winkel zwischen entsprechendem Ortsvektor und Lot überein, wenn ich von Abbildung 1 ausgehe!
Also, meine Fragen:
Ist das egal, da ja beide Winkel dann (unbekannte) Funktionen darstellen und somit schon 'mal zwei Freiheitsgrade ergeben?
Brauche ich zum Lösen der Aufgabe zwei Winkel?
Wenn ja, dann wohl ein Winkel zwischen Ortsvektor [mm] $\vec{r}_1$ [/mm] und Lot und [mm] $\vec{\ell}$ [/mm] und Lot?
Ich habe also die Abhängigkeiten für [mm] $L\left(\dot{r}_1, r_1, \dot{\varphi}_1, {\varphi}_1, \dot{\varphi}_2, {\varphi}_2\right)$, [/mm] insgesamt also 6 Freiheitsgrade!
Ich habe jedoch nur zwei Massen gegeben!
Dürften da nicht nur zwei Bewegungsgleichungen herauskommen?
Ich weiß, dass bei ungeschickter Wahl der Koordinaten der Lagrange-Formalismus ziemlich aufgebläht wird und wenn man Pech hat, dann können demzufolge auch nicht mehr die richtigen Bewegungsgleichungen herauskommen!
Wenn meine Annahmen stimmen -gesetzt den Fall es kommen drei Bewegungsgleichungen heraus, dann würde ich also wie folgt beginnen:
Für die Ortsvektoren:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Abb. 3, Winkelbeziehungen
___________________________________________________________
Notation:
[mm] \item$\to$ $\left|\vec {r}_i \right| \equiv r_i$; [/mm] wobei $i = 1, 2$ (Massepunkt 1, Massepunkt 2)
[mm] \item$\to$ $\vec {r}_1 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} x_1 \\ -z_1 \end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] \item$\to$ $\vec {r}_2 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ -z_1 - z_2 \end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] \item$\to$ $x_1 [/mm] = [mm] r_1\,\sin\varphi_1; \quad -z_1 [/mm] = [mm] -r_1\,\cos\varphi_1$
[/mm]
[mm] \item$\to$ $x_2 [/mm] = [mm] \ell\,\sin\varphi_2; \quad -z_2 [/mm] = [mm] -\ell\,\cos\varphi_2$
[/mm]
[mm] \item$\to$ $\left|\vec {\ell} \right| \equiv \ell [/mm] = const.$!
[mm] \item$\to$ $\dot{\ell} [/mm] = 0$!
[mm] \item$\to$ $T_i$ [/mm] die kinetischen Gesamtenergien des i-ten Massepunktes
[mm] \item$\to$ $V_i$, $V_F$ [/mm] die potentiellen Gesamtergien des i-ten Massepunktes und das entsprechende Federpotential
___________________________________________________________
Ortsvektor 1 und seine Ableitung:
[mm] $\vec {r}_1 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} r_1\,\sin\varphi_1 \\ -r_1\,\cos\varphi_1 \end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] $\vec {\dot r}_1 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} \dot{r}_1\,\sin\varphi_1 + {r}_1\,\dot{\varphi}_1\,\cos\varphi_1 \\ -\dot{r}_1\,\cos\varphi_1 - \left[ - {r}_1\,\dot{\varphi}_1\,\sin\varphi_1\right] \end{pmatrix}$
[/mm]
Ortsvektor 2 und seine Ableitung:
[mm] $\vec{r}_2 [/mm] = [mm] \vec{r}_1 [/mm] + [mm] \vec \ell$
[/mm]
[mm] $\vec{r}_2 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} r_1\,\sin\varphi_1 \\ -r_1\,\cos\varphi_1 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix} \ell\,\sin\varphi_2 \\ -\ell\,\cos\varphi_2 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} r_1\,\sin\varphi_1 + \ell\,\sin\varphi_2 \\ -r_1\,\cos\varphi_1 - \ell\,\cos\varphi_2 \end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] $\vec{\dot r}_2 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} \dot{r}_1\,\sin\varphi_1 + {r}_1\,\dot{\varphi}_1\,\cos\varphi_1 + \dot{\ell}\,\sin\varphi_2 + \ell\,\dot{\varphi}_2\cos\varphi_2 \\ -\dot{r}_1\,\cos\varphi_1 - \left[-r_1\,\dot{\varphi}_1\,\sin\varphi_1 \right] - \dot{\ell}\,\cos\varphi_2 - \left[- \ell\,\dot{\varphi}_2\,\sin\varphi_2 \right] \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} \dot{r}_1\,\sin\varphi_1 + {r}_1\,\dot{\varphi}_1\,\cos\varphi_1 + \ell\,\dot{\varphi}_2\cos\varphi_2 \\ -\dot{r}_1\,\cos\varphi_1 + r_1\,\dot{\varphi}_1\,\sin\varphi_1 + \ell\,\dot{\varphi}_2\,\sin\varphi_2 \end{pmatrix}$
[/mm]
Wenn bis hier hin alles richtig sein sollte, würden nun die kinetischen und die potentiellen Energien (vgl. Notation) bestimmt.
Lagrange $L = T - V = [mm] T_1 [/mm] + [mm] T_2 [/mm] - [mm] V_F [/mm] - [mm] V_1 [/mm] - [mm] V_2$
[/mm]
Die kinetischen Energie setzen sich je aus:
[mm] \item$\to$ [/mm] translativen [mm] \emph{und}
[/mm]
[mm] \item$\to$ [/mm] rotativen Anteil
des jeweiligen Massepunktes zusammen!
Also, falls der Ansatz falsch ist, habe ich hier nur die Vektoren eingetragen und wenn nur einfache Terme ersetzt um mir evtl. sinnlose Schreibarbeit zu ersparen:
[mm] $T_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}m_1\,\left(\vec{\dot r}_1\right)^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}m_1\,\left(\vec{r}_1\right)^2\,\dot{\varphi}_1^2$
[/mm]
[mm] $T_2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}m_2\,\left(\vec{\dot r}_2\right)^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}m_1\,\left(\vec{r}_2\right)^2\,\dot{\varphi}_2^2$
[/mm]
Für die potentiellen Energien:
[mm] $V_F [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}k\left(\vec{r}_1 + \vec{r}_2\right)^2$ [/mm]
Mit Berücksichtigung der Angaben in der Notation:
[mm] $V_1 [/mm] = [mm] -m_1\,g\,r_1\,\cos\varphi_1$
[/mm]
[mm] $V_2 [/mm] = [mm] -m_2\,g\,\left( r_1\,\cos\varphi_1 + \ell\,\cos\varphi_2 \right)$
[/mm]
Über Rückkopplung (lol) würde ich mich freuen!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 4 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:07 Mi 04.01.2012 | | Autor: | murmel |
...Weiter...
$L = [mm] \bruch{1}{2}m_1\,\left( \underbrace{\left[ \dot{r}_1\,\sin\varphi_1 + {r}_1\,\dot{\varphi}_1\,\cos\varphi_1\right]^2}_{Term 1} + \underbrace{\left[ -\dot{r}_1\,\cos\varphi_1 + {r}_1\,\dot{\varphi}_1\,\sin\varphi_1 \right]^2}_{Term 2} \right) [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}m_1\,\left(\left[ r_1\,\sin\varphi_1 \right]^2 + \left[-r_1\,\cos\varphi_1 \right]^2 \right)\,\dot{\varphi}_1^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}m_2\,\left( \underbrace{\left[ \dot{r}_1\,\sin\varphi_1 + {r}_1\,\dot{\varphi}_1\,\cos\varphi_1 + \ell\,\dot{\varphi}_2\cos\varphi_2 \right]^2}_{Term 3} + \underbrace{\left[ -\dot{r}_1\,\cos\varphi_1 + r_1\,\dot{\varphi}_1\,\sin\varphi_1 + \ell\,\dot{\varphi}_2\,\sin\varphi_2 \right]^2}_{Term 4} \right) [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}m_2\,\left( \underbrace{\left[ r_1\,\sin\varphi_1 + \ell\,\sin\varphi_2 \right]^2}_{Term 5} + \underbrace{\left[ -r_1\,\cos\varphi_1 - \ell\,\cos\varphi_2 \right]^2}_{Term 6} \right)\,\dot{\varphi}_2^2 [/mm] - [mm] \left(-m_1\,g\,r_1\,\cos\varphi_1\right) [/mm] - [mm] \left(-m_2\,g\,\left( r_1\,\cos\varphi_1 + \ell\,\cos\varphi_2 \right) \right)$
[/mm]
Term 1 $= [mm] \dot{r}_1^2\,\sin^2\varphi_1 [/mm] + 2 [mm] \dot{r}_1\,\dot{\varphi}_1\,r_1\,\sin\varphi_1\,\cos\varphi_1 [/mm] + [mm] \dot{\varphi}_1^2\,r_1^2\,\cos^2\varphi_1$
[/mm]
Term 2 $= [mm] \dot{r}_1^2\,\cos^2\varphi_1 [/mm] - 2 [mm] \dot{r}_1\,\dot{\varphi}_1\,r_1\,\sin\varphi_1\,\cos\varphi_1 [/mm] + [mm] \dot{\varphi}_1^2\,r_1^2\,\sin^2\varphi_1$
[/mm]
usw.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:46 Fr 06.01.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> An einem Federpendel (Feder [mm]k[/mm]) hängt ein Massepunkt [mm]m_1[/mm]
> und daran ein Fadenpendel der Länge [mm]\ell[/mm] und der
> Massepunkt [mm]m_2[/mm], wie in der unten stehenden Abbildung
> gezeigt. (Gewicht von Feder und Faden sollen
> vernachlässigt werden, Schwerkraft sei vorhanden.) Die
> gesamte Bewegung soll sich in der xz-Ebene abspielen (Faden
> ist immer gespannt). [mm]\\[/mm]
> Wählen Sie die z-Achse nach oben ausgerichtet mit dem
> Nullpunkt am Ort der entspannten Feder. Dort soll auch der
> Nullpunkt des Schwerepotenzials liegen. Verwenden Sie
> ebenfalls den Winkel [mm]\varphi[/mm] wie in der Skizze
> eingezeichnet.
>
> a) Welche Koordinaten wählen Sie? Wie lauten die
> Ortsvektoren [mm]\vec {r}_1[/mm] und [mm]\vec{r}_2[/mm] zu den beiden
> Massen in diesen Koordinaten?
>
> b) Stellen Sie die Lagrange-Funktion dieses Problems auf.
>
> c) Stellen Sie die Bewegungsgleichungen dieses Problems
> auf.
>
> Hallo, gesundes neues Jahr!
>
> Also, in der Aufgabenstellung wurde dieses Bild verwendet
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Abb.1
>
> Ich habe mir entsprechend der Aufgabenstellung nun diese
> Skizze gezeichnet:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Abb. 2, mit gegebenen Größen und unbekannten Größen
>
>
>
> Ich habe das Problem, dass der eingezeichnete Winkel auf
> dem Aufgabenblatt nicht der einzige Winkel bei der gesamten
> Bewegung des Systems sein wird.
Hm, man könnte die Aufgabenstellung so verstehen, dass die Masse [mm] $m_1$ [/mm] nur in z-Richtung ausgelenkt wird, dein Winkel [mm] $\varphi_1$ [/mm] also immer 0 ist. Aber das mag falsch sein.
>
> In der Aufgabe steht, dass die gesamte Bewegung in [mm]xz[/mm]-Ebene
> stattfinden soll.
>
> Wenn ich nun die Ortsvektoren (farbig dargestellt) als
> Ausgangspunkte nehmen soll, stimmt der eingezeichnete
> Winkel nicht mehr mit einem der Winkel zwischen
> entsprechendem Ortsvektor und Lot überein, wenn ich von
> Abbildung 1 ausgehe!
>
> Also, meine Fragen:
>
> Ist das egal, da ja beide Winkel dann (unbekannte)
> Funktionen darstellen und somit schon 'mal zwei
> Freiheitsgrade ergeben?
>
> Brauche ich zum Lösen der Aufgabe zwei Winkel?
> Wenn ja, dann wohl ein Winkel zwischen Ortsvektor
> [mm]\vec{r}_1[/mm] und Lot und [mm]\vec{\ell}[/mm] und Lot?
>
> Ich habe also die Abhängigkeiten für [mm]L\left(\dot{r}_1, r_1, \dot{\varphi}_1, {\varphi}_1, \dot{\varphi}_2, {\varphi}_2\right)[/mm],
> insgesamt also 6 Freiheitsgrade!
Du kannst doch die Ableitungen der Koordinaten nicht zu den Freiheitsgraden zählen! Es sind also nur 3 Freiheitsgrade.
> Ich habe jedoch nur zwei Massen gegeben!
>
> Dürften da nicht nur zwei Bewegungsgleichungen
> herauskommen?
In einem zweidimensionalen Problem, wie es hier vorliegt, hast du je Masse jeweils zwei Koordinaten. Zusätzlich gibt es hier eine Zwangsbedingungung (Abstand der Massen ist konstant), also hast du $2*2-1$ Freiheitsgrade.
> [...]
>
> Wenn bis hier hin alles richtig sein sollte, würden nun
> die kinetischen und die potentiellen Energien (vgl.
> Notation) bestimmt.
>
> Lagrange [mm]L = T - V = T_1 + T_2 - V_F - V_1 - V_2[/mm]
>
> Die kinetischen Energie setzen sich je aus:
>
> [mm]\item[/mm] [mm]\to[/mm] translativen [mm]\emph{und}[/mm]
>
> [mm]\item[/mm] [mm]\to[/mm] rotativen Anteil
>
> des jeweiligen Massepunktes zusammen!
Wenn du diese Anteile denn getrennt angeben kannst, was du aber erst kannst, wenn geeignete Koordinaten hast.
> Also, falls der Ansatz falsch ist, habe ich hier nur die
> Vektoren eingetragen und wenn nur einfache Terme ersetzt um
> mir evtl. sinnlose Schreibarbeit zu ersparen:
>
> [mm]T_1 = \bruch{1}{2}m_1\,\left(\vec{\dot r}_1\right)^2 + \bruch{1}{2}m_1\,\left(\vec{r}_1\right)^2\,\dot{\varphi}_1^2[/mm]
>
> [mm]T_2 = \bruch{1}{2}m_2\,\left(\vec{\dot r}_2\right)^2 + \bruch{1}{2}m_1\,\left(\vec{r}_2\right)^2\,\dot{\varphi}_2^2[/mm]
>
Nein, du kannst nicht einfach voneinander abhängige Koordinaten einsetzen. Die kinetische Energie der Massenpunkte schreibst du in kartesischen Koordinaten hin, damit ist sie [mm] $\bruch{1}{2}m_1\vec{\dot r}_1^2$ [/mm] bzw. [mm] $\bruch{1}{2}m_1\vec{\dot r}_2^2$. [/mm]
> Für die potentiellen Energien:
>
> [mm]V_F = \bruch{1}{2}k\left(\vec{r}_1 + \vec{r}_2\right)^2[/mm]
Nein. Die potentielle Energie der Feder ist durch die Auslenkung aus der Ruhelage gegeben, und da kommt [mm] $\vec r_2$ [/mm] überhaupt nicht vor.
> Mit Berücksichtigung der Angaben in der Notation:
>
> [mm]V_1 = -m_1\,g\,r_1\,\cos\varphi_1[/mm]
>
> [mm]V_2 = -m_2\,g\,\left( r_1\,\cos\varphi_1 + \ell\,\cos\varphi_2 \right)[/mm]
OK
Viele Grüße
Rainer
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