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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:32 Sa 09.04.2005 | | Autor: | TGS |
Bevor ich zu meiner eigentlichen Frage kommen, will ich noch grob den Grund für sie darlegen.
Ich habe mich entschieden eine Mathepräsentation zu machen und habe als Thema ![[]](/images/popup.gif) auf dieser Karte den Flächeninhalt des Bereichs zu berechnen, indem man den Satelliten mit einer 65cm Antenne empfangen kann.
Ich habe in den vergangenen zwei Wochen seit ich das Thema habe noch nicht soviel gemacht, da eine dieser Wochen mein Rechner ausgefallen ist und ich schwer in die Schulbücherei komme, wenn Ferien sind :), aber hier mal kurz die Gedanken und Ergebnisse die ich bisher gesammelt habe:
- Ich habe die Grenze der Fläche vereinfacht, indem ich Punkte des Umkreises markiert habe und direkt miteinander verbunden habe
- Mit der Hilfe von von dem NASA-Programm World Wind habe ich die Koordinaten der Punkte ungefähr bestimmt, da ich hier aber nicht auf die Berechnung im Detail eingehe lasse ich die mal außen vor
-> auf diese Grundlage bestehen 2 meiner Lösungsansätze, um die es hier geht:
- die einzelnen Geradenabschnitte bestimmen, in ein kartesisches Koordinatensystemübertragen und mittels Integral die Flächeninhalte errechnen (als Nullpunkt werde ich entweder den am weitesten westlich gelegenen Punkt oder den relativ mittig gelegenen Punkt an der nördlichen Westküste Frankreichs nehmen)
- nach Übertragung in das kartesische Koordinatensystem werde ich versuchen 2 oder mehrere (nicht-geraden) Gleichungsfunktionen zu erstellen und den Flächeninhalt an entsprechenden Stellen mittels Integral bestimmen.
Hierbei ergibt sich das Problem der Übertragung von Erdkoordinaten in ein kartesisches Koordinatensystem, wozu ich auch bei Internetsuchen nichts gefunden habe (aber durch Zufall zumindest dieses Forum hier).
Mein Lösungsansatz dafür ist, dass man einfach einen Punkt als Ursprung des KO-Systemswählt und von dort aus die Entfernungen zu den Längen- und Breitengeraden des anderen Punktes bestimmt, wobei sich weitere Probleme ergeben, aus denen meine Frage resultiert, zu der ich gleich kommen werde.
Nach ein wenig Recherche komme ich zu folgenden Erkenntnissen:
Abstand zwischen zwei Breitengraden -> 111,136km
Abstand zwischen zwei Längengraden je nach Breitengrad unterschiedlich
-> an den Polen (also beim Breitengrad 90) laufen alle Längengrade in einem Punkt zusammen ). Sie haben dort also keine Entfernung voneinander
-> am Äquator (also beim Breitengerad 0) besteht die größte Distanz zwischen den Längengraden mit einer Entfernung von 111,324km
-> geht man davon aus, dass die Entfernung zwischen zwei Längengeraden gleichmässig zunimmt, wenn man sich von
Pol zu Äquator bewegt, könnte man die Distanz von dem
jeweiligen Breitengrad wie folgt abhängig machen:
(Differnz der beiden Längengrade)*111,324km*(90-Breitengrad)/90 (wenn ich die erläutern soll, sagt mir das).
-> Allerdings habe ich bei meiner Aufgabe das Problem, die Distanz zwischen 2 Längengeraden auf unterschiedlichen Breitengeraden zu bestimmen, wobei ich auch hier 2 Lösungsansätze habe:
1. einmal die Distanz zwischen den Längengraden ausrechnen, wenn diese einmal auf dem nördlicheren und einmal auf dem südlicheren Breitengrad liegen würden und dies durch 2 teilen (also den Mittelwert nehmen)
2. Die Distanz mit Hilfe des Satz des Pythagoras ausrechnen (ich weiß nicht wie ich adäquate gebogene Linien zeichnen könnte, das Bild soll nur als Veranschaulichung dienen).
Und nun letztendlich zu meiner Frage die aus dem zweiten Ansatz folgt:
Laut wikipedia.de kann ich auf einer Kugeloberfläche nicht den SdP benutzen, sondern nur cos a * cos b = cos c. Da wir im Unterricht nie wirklcih sphärische Trigonometrie behandelt haben, kann ich allerdings mit dieser cos Formel nicht viel anfangen und habe auch bei einer Internetsuche keine vernünftigen Erklärungen oder Herleitungen gefunden und hatte gehofft, dass ich hier zumindest ein paar gute Links zum selbigen bekommen könnte.
Schonmal danke im voraus
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
Edit:
Falls mein Mathelehrer dies hier lesen sollte, hoffe ich, dass er das nciht als Täuschungsversuch wertet sondern lediglich als Hilfmittel der Informationsbeschaffung, da ich hier nicht mit der Intention hingekommen bin, eine komplette Lösung zu bekommen, sondern lediglich Verweise auf Internetseiten oder Fachliteratur oder Eklärungen zu einem Teilaspekt eines Lösungansatzes, den ich vollkommen alleine erarbeitet habe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:17 Mo 11.04.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du deine Karte in eine "flächentreue" Karte überträgst, kannst du direkt Flächen auf der Karte als Flächen auf der Kugel bestimmen. Dazu solltest du im Netz unter dem Stichwort flächentreue Karten suchen. Die von Archimedes ist am leichtesten zu verstehen. ( warum und was du integrieren willst, nachdem du die Ebene in Dreiecke zerlegt hast versteh ich allerdings nicht!) Das Eklären der Karte wäre dann deine Hauptleistung!
2. Möglichkeit ist den Flächeninhalt über die Kugelkoordinaten zu bestimmen.D.h. du nimmst einen Inneren Punkt, mit bekannter Länge [mm] \phi [/mm] und Breite [mm] \teta [/mm] und Punkte auf dem Umfang wie in deiner 2. Zeichnung, und bestimmst die Inhalte der spärischen Dreiecke. Der Satz: Flächeninhalt eines Dreiecks auf der Einheitskugel A= Summe der Winkel [mm] -\pi [/mm] ist leicht einzusehen. Suche unter sphärischer Geometrie Flächeninhalt oder Gauss-Bonnet. Außerdem brauchst du wohl den cos satz um die Winkel zu bestimmen.
Wenn du Schwierigkeiten mit der sph.geom. hast mein guter Rat: nimm nen Balll oder Ballon und zeichne darauf, um die Sätze nachzuvollziehen. Denk dir immer die Einheitsspäre, Späte wird alle einfach mit [mm] R^{2} [/mm] vergrößert.Deine Leistung: Erarbeiten eines Teils der sph.Geom.
Wenn du an einzelnen Stellen Schwierigkeiten hast frag nach!
Viel Erfolg leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Mo 11.04.2005 | | Autor: | TGS |
> warum und was
> du integrieren willst, nachdem du die Ebene in Dreiecke
> zerlegt hast versteh ich allerdings nicht
In meinem Ansatz hatte ich vorgesehen, einen der Punkte zum Nullpunkt eines simplen x-y-Koordinaten zu machen und ausgehend von dem immer wieder die Strecken zu berechnen, in welchen dieser Punkt in Breite und Länge (in km) verschoben werden muss, um auf einem der anderen Punkte zu liegen (und somit auf die x-y Koordinaten der einzelnen Punkte zu schließen).
Wenn mir das gelingt, könnte ich immer zwischen den 2 nähsten Punkten eine gerade bilden und in diesem Bereich mittels Integral errechnen, welche Fläche sie einschließen.
Das Problem dabei ist die Ungleichheit der Distanzen der Längengrade, womit es mir schwer fällt die Distanz in Richtung der Längengrade in der Punkt verschoben werden müsste zu bestimmen.
Meine Idee war nun, mittels zweier Punkten ein rechtwinkliges Dreieck zu bilden, wie ich mit dem Bildzeigen wollte.
Da ich die Länge der Kathete habe, die die Verschiebung in Richtung der Breitengrade zeigt und gehofft habe den Zwinkel zwischen dieser Strecke und der der Hypotenuse bestimmen zu können, hatte ich gedacht, damit die Verschiebung in Längengradrichtung errechnen zu können.
Doch war mir da nicht wirklich klar, ob und wenn, wie ich diesen Winkel errechnen sollte.
Ich würde diesen Ansatz zumindest gerne noch weiterverfolgen, deswegen würde ich mich freuen, wenn mir jemand sagen könnte, ob das möglcih wäre und ich finden könnte, wie ich diesen Winkel errechnen könnte und wie ich damit die Distanz in Längengradrichtung genau errechnen könnte.
Edit:
Eine Frage zum 2ten Ansatz hätte ich noch, wie bekomme ich es da hin, dass ich den Flächeninhalt in km² bestimmt kriege, da ich ja auch hier das Problem wie bei meinem Ansatz mit den ungleichen Distanzen der Längengrade abhängig von den Breitengraden auf denen sie liegen habe und ohne die Einbeziehung von km als Einheit, ja auch keine Probleme mit der Bestimmung der Fläche in °² so hätte.
wenn mir jemand einen Link zu einer ausführlichen Herleitung mit guter Erklärung zur flächentreuen Karte und wie die Koordinaten der einzelnen Punkte darauf übertragen werden könnten, wäre ich ihm sehr dankbar, da ich bis jetzt nur sehr grobe Beschreibungen der Arbeit von Archimedes und Lambert gefunden habe, die zum Großteil aus nahezu unerläutertem Formeln bestehen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:02 Mo 11.04.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo TGS
Ich hab leider noch immer nicht verstanden, wie du ein Integral verwenden willst. Falls du Dreiecke mit bekannten Längen auf einer Flächentreuen Karte hast, kannst du einfach mit der Flächeninhaltsformel für dreiecke rechnen, und dazu müssen sie ja nicht rechtwinklig sein.Falls du keine flächentreue Karte hast ist die Fläche an jedem Ort anders verzerrt, Bei der Flächentreuen Karte des Archimedes sind die Breitenkreise ausser dem Äquator alle verlängert, jeder einzelne verschieden, die Längenkreise verkürzt und wieder abhängig von der Stelle. Das ist grade so gemacht, dass die Fläche wieder Richtig ist. Das was du willst ist so glaub ich unmöglich, weil es keine Karten gibt, wo die Längen der Breitenkreise und Längenkreise nicht ortsabhängig ist. sonst könnte man die Karte ja mit diesen Faktoren einfach verändern und hätte eine Längentreue Karte.
Aus deinem Programm hast du ja die [mm] \phi [/mm] und [mm] \teta [/mm] Koordinaten von vielen Punkten.Daraus kannst du die Bogenlänge ausrechnen. die km sind kein Problem, rechne einfach mit einer Kugel vom Radius 1 und multipliziere das ergebnis für Längen mit dem Erdradius, für Flächen mit dem Quadrat des Erdradius.
Ein guter link: http://www.math.unibas.ch/~walser/institut/vorlesungen/05ss/ETH/Skripte/ davon 01 und 02.
http://geometrie.diefenbach.at/Anfang/Inhalt-Geom.htm leichter aber hilft vielleicht nicht so
. Wenn du damit nicht zurecht kommst schick ich dir noch ein pdf dokument, was noch auf meinem computer rumliegt, ich find die Quelle nicht mehr.
Viel Erfolg
leduart
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![[]](http://www.satellitentechnik-meier.de/ASTRA_1E_VP_M1.gif){kind=small}
auf dieser Karte![[]](http://img.photobucket.com/albums/v163/TheGreatSlayer/Karte_Koordinaten_verbunden.jpg){kind=small}
![[]](http://img.photobucket.com/albums/v163/TheGreatSlayer/SdPjpg.jpg){kind=small}
mit Hilfe des Satz des Pythagoras