Seitenhalbierende Dreieck < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:02 Mo 21.01.2008 | | Autor: | RuffY |
| Aufgabe | | Es ist zu zeigen, dass sich die drei Seitenhalbierenden im Dreieck im Verhältnis 2:1 im gemeinsamen Punkt (Schwerpunkt) schneiden. |
Hallo vorhilfe.de-User,
ich habe oben stehende Aufgabe gestellt bekommen und komme ab einem Punkt nicht weiter. Ich habe erstmal diverse Strecken beschrieben:
[mm] \vec{a} [/mm] (Seite) [mm] \vec{b} [/mm] (Seite) [mm] \vec{c} [/mm] (Seite)
[mm] \vec{d}(Seitehalbierende)=\vec{a}+\bruch{1}{2}\vec{c}
[/mm]
[mm] \vec{e}(Seitenhalbierende)=-\bruch{1}{2}\vec{b}+\vec{a}
[/mm]
[mm] \vec{f}(Seitenhalbierende)=\bruch{1}{2}\vec{a}+\vec{c}
[/mm]
Jetzt bin ich mir nicht sicher beim nächsten Schritt, ich habe jetzt z.B. mal [mm] \vec{a}=\lambda\vec{d}+\mu\vec{e} [/mm] beschrieben und dann oben genanntes eingesetzt, aber es sind noch so viele Unbekannte drinn... deshalb hoffe ich, dass mir einer von euch weiterhelfen kann!
MfG
Sebastian
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Hallo RuffY,
> Es ist zu zeigen, dass sich die drei Seitenhalbierenden im
> Dreieck im Verhältnis 2:1 im gemeinsamen Punkt
> (Schwerpunkt) schneiden.
> Hallo vorhilfe.de-User,
>
> ich habe oben stehende Aufgabe gestellt bekommen und komme
> ab einem Punkt nicht weiter. Ich habe erstmal diverse
> Strecken beschrieben:
>
> [mm]\vec{a}[/mm] (Seite) [mm]\vec{b}[/mm] (Seite) [mm]\vec{c}[/mm] (Seite)
Es ist ganz wichtig zu wissen, in welche Richtung die Seitenvektoren zeigen!
Es muss jedenfalls gelten: [mm] \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}
[/mm]
Kontrolliere anhand einer Zeichnung, ob die nächsten Gleichung die richtigen Vorzeichen enthalten:
> [mm]\vec{d}(Seitehalbierende)=\vec{a}+\bruch{1}{2}\vec{c}[/mm]
> [mm]\vec{e}(Seitenhalbierende)=-\bruch{1}{2}\vec{b}+\vec{a}[/mm]
> [mm]\vec{f}(Seitenhalbierende)=\bruch{1}{2}\vec{a}+\vec{c}[/mm]
>
> Jetzt bin ich mir nicht sicher beim nächsten Schritt, ich
> habe jetzt z.B. mal [mm]\vec{a}=\lambda\vec{d}+\mu\vec{e}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> beschrieben und dann oben genanntes eingesetzt, aber es
> sind noch so viele Unbekannte drinn... deshalb hoffe ich,
> dass mir einer von euch weiterhelfen kann!
Du musst dann die Trägergeraden der Seitenhalbierenden betrachten und deren Schnittpunkt bestimmen.
Ich glaube aber, du hast es leichter, wenn du statt der Seitenvektoren alles durch die Ortsvektoren der Eckpunkte ausdrückst.
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:11 Mo 21.01.2008 | | Autor: | RuffY |
Hallo,
danke für deine Antwort! Aber was meinst du mit Trägergeraden? Den Begriff hab ich leider noch nicht gehört... und in der Lösung die ich nun bekommen habe steht: Bilde geeignete Vektorsummen über den Schwerpunkt.
Ich habe die Seitenvekoren a und b vom Punkt A aus beschrieben und den Vektor c als Strecke BC, sollte ich auch besser die Strecken als Vektoren beschreiben?
Gruß
Sebastian
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Hallo RuffY,
> Hallo,
>
> danke für deine Antwort! Aber was meinst du mit
> Trägergeraden? Den Begriff hab ich leider noch nicht
> gehört... und in der Lösung die ich nun bekommen habe
> steht: Bilde geeignete Vektorsummen über den Schwerpunkt.
> Ich habe die Seitenvekoren a und b vom Punkt A aus
> beschrieben und den Vektor c als Strecke BC, sollte ich
> auch besser die Strecken als Vektoren beschreiben?
> Gruß
>
Unter Trägergerade verstehe ich diejenige Gerade, auf der der betrachtete Vektor (=Seitenhalbierende im Dreieck) liegt, sie "trägt" also diesen Vektor.
Man kann auch sagen, es ist diejenige Gerade, die parallel zu dem Vektor verläuft. Aber da der Vektor an einem bestimmten Punkt ansetzt, muss die Gerade auch durch diesen Punkt gehen.
Beispiel: die Seitenhalbierende zu Dreiecksseite a geht durch A und [mm] M_a, [/mm] der Seitenmitte; nennen wir ihren Vektor [mm] \vec{d}.
[/mm]
dann ist die Gerade [mm] \vec{x}=\vec{a}+\lambda \vec{d} [/mm] die Trägergerade zu dieser Seitenhalbierenden.
Achtung: [mm] \vec{a} [/mm] ist der Ortsvektor zum Punkt A !!
Jetzt klar(er)?
Gruß informix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:36 Mo 21.01.2008 | | Autor: | weduwe |
mit deinen bezeichnungen hast du bei geeigneter wahl:
[mm] \vec{b}=\vec{a}-\vec{c}
[/mm]
mit S schwerpunkt und [mm] M_c [/mm] mittelpunkt der seite c hast du
im geschlossenen vektorzug [mm] ASM_c:
[/mm]
[mm] \lambda(\vec{c}-\frac{\vec{a}}{2})+\mu(\vec{b}+\frac{\vec{c}}{2})-\frac{\vec{c}}{2}=\vec{o}
[/mm]
nun setzt du für [mm] \vec{b} [/mm] ein und faßt zusammen
[mm] \vec{a}\cdot (-\frac{\lambda}{2}+\mu)+\vec{c}\cdot (\lambda-\frac{\mu}{2}-\frac{1}{2})=\vec{o}
[/mm]
und [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{c} [/mm] sind linear unabhängig!
womit du (fast) alles bewiesen hast.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:03 Mo 21.01.2008 | | Autor: | RuffY |
Hallo weduwe,
ich habe die erste Gleichung versucht anhand einer Skizze nachzuvollziehen, ist es richtig, dass du zwei Seitenhalbierende beschrieben hast, welche 1/2c entsprechen (wenn man deine Gleichung umstellt)? Ein Vektorzug ASM würde bei mir [mm] \vec{a}+\bruch{1}{2}\vec{c} [/mm] bedeuten, wie steht dieser zug im Zusammenhang mit der ersten Gleichung?
MfG und nochmal vielen Dank für deine Bemühungen!
Sebastian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:34 Mo 21.01.2008 | | Autor: | weduwe |
darum schrieb ich bei geeigneter wahl!!!
[mm] \overrightarrow{AM}_a=\vec{c}-\frac{\vec{a}}{2}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{CM}_c =\vec{b}+\frac{\vec{c}}{2}
[/mm]
sind dann die beiden seitenhalbierenden
und ein bilderl dazu
[Dateianhang nicht öffentlich]
edit: natürlich kannst du die vektoren anders orientieren, dann ändern sich halt die vorzeichen entsprechend
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:20 Di 22.01.2008 | | Autor: | RuffY |
Die Zeichnung hilft doch ungemein! Also ich habe die Beschreibungen verstanden, aber warum beschreibst du die Strecke [mm] \bruch{c}{2} [/mm] im Zusammenhang des geschl. Vektorzug?!
Greez
Basti
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:12 Di 22.01.2008 | | Autor: | weduwe |
> Die Zeichnung hilft doch ungemein! Also ich habe die
> Beschreibungen verstanden, aber warum beschreibst du die
> Strecke [mm]\bruch{c}{2}[/mm] im Zusammenhang des geschl.
> Vektorzug?!
>
> Greez
>
> Basti
das verstehe ich nicht.
was meinst du damit?
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Hallo RuffY,
> Die Zeichnung hilft doch ungemein! Also ich habe die
> Beschreibungen verstanden, aber warum beschreibst du die
> Strecke [mm]\bruch{c}{2}[/mm] im Zusammenhang des geschl.
> Vektorzug?!
>
Bei einem geschlossenen Vektorzug addiert man geeignete Vektoren so, dass die Summe schließlich [mm] \vec{0} [/mm] ergibt, eben wieder am Fußpunkt des ersten Vektors landet.
Dann versucht man durch geschicktes Ersetzen zu erreichen, dass die benutzten Vektoren ![[]](/images/popup.gif) linear unabhängig sind.
Denn aus dieser Eigenschaft kann man dann die Variablen [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] berechnen, die weduwe benutzt hat.
Gruß informix
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