Seitenverhältnisse eines Recht < Sonstiges < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zwei Rechtecke verschiedener Größe haben das gleiche Seitenverhältnis.Sie liegen so übereinander, dass auf dem Inneren jeder Seite des größeren Rechtecks ein Eckpunkt des kleineren Rechtecks liegt.Für welche Seitenverhältnisse ist dies möglich? |
Hallo!
Wäre nett wenn ihr mir bei der Aufgabe helfen könntet.Habe irgendwie keinerlei Idee wie man sowas berechnen kann.
Liebe Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:47 Sa 06.03.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Meinst du sowas?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dann gilt:
[mm] \bruch{a}{b}=\bruch{a'}{b'} [/mm] nach Aufgabenstellung:
Jetzt versuche mal, mit dem Satz des Pythagoras ein wenig herumzuspielen, es gilt ja z.B.: [mm] x^{2}+y^{2}=a'
[/mm]
Und [mm] (a-y)^{2}+(b-x)^{2}=b'
[/mm]
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo!
Das Problem bei mir ist das ich nicht weiß, wie man das mit den Rechtecken macht.Es soll auf dem Inneren jeder Seite des größeren Rechtecks ein Eckpunkt des kleineren Recktecks
liegen aber das gleiche Seitenverhältnis haben.
Liebe Grüße
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Hallo!
Möglich ist nur das Seitenverhältnis a/b = 1, also a = b, also geht das Ganze nur bei Quadraten.
Meine Rechnung (etwas kompliziert vielleicht, aber führt zum Ziel!):
Wir nehmen uns ein Rechteck, und nennen die Seiten a und b.
Außerdem markieren wir auf der Seite AB eine Strecke der Länge x,
und auf der Strecke AD markieren wir eine Länge y.
A sei der Koordinatenursprung.
Unter der Voraussetzung, dass die Seiten des Rechtecks, das wir in das große Rechteck hineinlegen, ja senkrecht aufeinanderstehen müssen, erhalten wir folgende Punkte:
[Dateianhang nicht öffentlich]
(Die Punkte erhält man durch Bilden linearer Funktionen).
Nun müssen die Seitenlängen im inneren Rechteck ja im selben Verhältnis stehen wie die des äußeren Rechtecks.
Das sind folgende zwei Bedingungen (siehe Bild für die Bezeichnungen):
(I) $EF = [mm] \frac{b}{a}*FG$
[/mm]
und
(II) $EF = [mm] \frac{b}{a}*EH$.
[/mm]
Ausgeschrieben:
(I) [mm] $\sqrt{x^{2}+y^{2}} [/mm] = [mm] \frac{b}{a}*\sqrt{(a-y)^2+\left(\frac{y}{x}*(a-y)\right)^2}$,
[/mm]
woraus nach Umformen folgt:
[mm] $\frac{a}{b}*x [/mm] = a-y$. (*)
Das können wir in G einsetzen und erhalten ein einfacheres: [mm] G(\frac{a}{b}*y|a).
[/mm]
(II) [mm] $\sqrt{x^{2}+y^{2}} [/mm] = [mm] \frac{b}{a}*\sqrt{(b-x)^2+\left(\frac{x}{y}*(b-x)\right)^2}$
[/mm]
woraus nach Umformen folgt:
[mm] $\frac{a}{b}*y [/mm] = b-x$. (**)
Das können wir in H einsetzen und erhalten ein einfacheres: [mm] H(b|\frac{a}{b}*x|a).
[/mm]
Um jetzt a = b zu folgern, mache Folgendes:
Betrachte mögliche Lösungen (x,y) vom Gleichungssystem (*) und (**) in Abhängigkeit von a und b
Grüße,
Stefan
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo!
Vielen Dank für die Antwort und den tollen Lösungsweg.Anfangs ist es ein wenig schwer ihn nachzuvollziehen aber mittlerweile habe ich ihn verstanden.
Nochmals vielen Dank!
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:14 Sa 06.03.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Marius,
warum müssen die beiden grünen Strecken die gleiche Länge a haben?
Danke!
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:18 Sa 06.03.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Tobias
> Hallo Marius,
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> warum müssen die beiden grünen Strecken die gleiche
> Länge a haben?
hast recht, sie müssen nicht, danke für den Hinweis
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> Danke!
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> Viele Grüße
> Tobias
Marius
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