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| Aufgabe | | Es sei A selbstadjungiert, d.h. $A=A^+$. Untersuchen sie ob [mm] e^{cA} [/mm] , [mm] c\in\IC [/mm] selbstadjungiert ist. Dabei ist [mm] e^B=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{B^n}{n!}. [/mm] |
Hallo,
ich weiß bereits, dass [mm] $(cA)^+=\overline{c} [/mm] A^+$ gilt, also das komplexkonjugierte von c und es gilt: $(A+B)^+=A^++B^+$ sowie $(AB)^+=B^+A^+$. Kann ich die Aufgabe dann wie folgt lösen:
[mm] e^{cA}^+=\left(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(cA)^n}{n!}\right)^+ [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^{\infty} \frac{((cA)^n)^+}{n!}= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{((cA)^+)^n}{n!} [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^{\infty} \frac{((\overline{c}A^+)^n}{n!}= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{((\overline{c}A)^n}{n!}
[/mm]
und das ist [mm] =e^{cA} [/mm] dann und nur dann wenn [mm] $c\in \IR$.
[/mm]
Danke!
Gruß Patrick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:16 So 16.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Patrick!
> Es sei A selbstadjungiert, d.h. [mm]A=A^+[/mm]. Untersuchen sie ob
> [mm]e^{cA}[/mm] , [mm]c\in\IC[/mm] selbstadjungiert ist. Dabei ist
> [mm]e^B=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{B^n}{n!}.[/mm]
> Hallo,
>
> ich weiß bereits, dass [mm](cA)^+=\overline{c} A^+[/mm] gilt, also
> das komplexkonjugierte von c und es gilt: [mm](A+B)^+=A^++B^+[/mm]
> sowie [mm](AB)^+=B^+A^+[/mm]. Kann ich die Aufgabe dann wie folgt
> lösen:
>
>
> [mm]e^{cA}^+=\left(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(cA)^n}{n!}\right)^+[/mm]
> = [mm]\sum_{n=0}^{\infty} \frac{((cA)^n)^+}{n!}= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{((cA)^+)^n}{n!}[/mm]
> = [mm]\sum_{n=0}^{\infty} \frac{((\overline{c}A^+)^n}{n!}= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{((\overline{c}A)^n}{n!}[/mm]
>
> und das ist [mm]=e^{cA}[/mm] dann und nur dann wenn [mm]c\in \IR[/mm].
Das ist richtig.
Nur solltest du ganz links
[mm] (e^{cA})^+ [/mm]
schreiben, damit es nicht mit [mm] $e^{c(A^+)}$ [/mm] verwechselt werden kann.
Viele Grüße
Rainer
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