Selbstinverse Abbildung < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei V ein Vektorraum über [mm]\IR[/mm] und [mm]f:V\rightarrow V[/mm] eine lineare Abbildung mit [mm]f\,nach\,f=id[/mm]. Sei [mm]V_+=\{x\in V\left|f(x)=x\}[/mm] und [mm]V_-=\{x\in V\left|f(x)=-x\}[/mm]. Beweisen Sie: [mm]V_+[/mm] und [mm]V_-[/mm]
sind Untervektorräume von V, und [mm]V=V_+\oplus V_-[/mm]. |
Hallo!
Ich hatte mir überlegt, dass f die Bildung des Negativen ist, da in [mm]V_-[/mm] auftaucht: [mm]f(x)=-x[/mm] und diese Funktion auch selbstinvers ist. Dann enthielte [mm]V_+[/mm] nur den Nullvektor, [mm]V_-[/mm] ganz [mm]V[/mm] und der Rest der Aufgabe wäre nur Nachrechnen von Kriterien. Das fühlt sich aber irgendwie zu einfach an...Könnte mir vielleicht jemand sagen ob ich auf dem richtigen Weg bin?
Vielen Dank und liebe Grüße!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:03 Sa 27.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Sei V ein Vektorraum über [mm]\IR[/mm] und [mm]f:V\rightarrow V[/mm] eine
> lineare Abbildung mit [mm]f\,nach\,f=id[/mm]. Sei [mm]V_+=\{x\in V\left|f(x)=x\}[/mm]
> und [mm]V_-=\{x\in V\left|f(x)=-x\}[/mm]. Beweisen Sie: [mm]V_+[/mm] und [mm]V_-[/mm]
> sind Untervektorräume von V, und [mm]V=V_+\oplus V_-[/mm].
>
> Hallo!
>
> Ich hatte mir überlegt, dass f die Bildung des Negativen ist,
Das ist sicher nicht richtig. f(x) = -x ist sicher eine mögliche Abbildung, aber nicht die einzige. Für V = [mm] \IR^2 [/mm] wäre doch auch z.B.
[mm] f\vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] \vektor{-3x-2y \\ 4x+3y} [/mm] möglich.
> und der Rest der Aufgabe wäre nur Nachrechnen
> von Kriterien.
Das stimmt wiederum, allerdings beginnt der Rest jetzt, ganz am Anfang.
Gruß Sax.
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Hallo!
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> Das ist sicher nicht richtig. f(x) = -x ist sicher eine
> mögliche Abbildung, aber nicht die einzige. Für V = [mm]\IR^2[/mm]
> wäre doch auch z.B.
> [mm]f\vektor{x \\ y}[/mm] = [mm]\vektor{-3x-2y \\ 4x+3y}[/mm] möglich.
War irgendwie zu erwarten, daß es so einfach nicht sein kann...
Dann habe ich leider gar keine Idee zu der Aufgabe, denn für z.B. [mm]f\vektor{x \\ y}[/mm] = [mm]\vektor{-3x-2y \\ 4x+3y}[/mm] angewendet auf v=(1,2) wäre f(v)=(-7,10) weder in [mm]V_+[/mm], noch in [mm]V_-[/mm] und das mit der Summe hat nicht mehr hin?
Kannst du mir vll. weiterhelfen?
liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:21 Sa 27.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
> v=(1,2) wäre f(v)=(-7,10) weder in $ V_+ $, noch in $ V_- $ und das mit der Summe hat nicht mehr hin?
Warum nicht ?
Es wird doch gar nicht verlangt, dass v in $ V_+ $ oder in $ V_- $ liegt, sondern nur, dass sich v eindeutig als Summe v = $ v_+ + v_- $ mit $ v_+ [mm] \in [/mm] V_+ $ und $ v_- [mm] \in [/mm] V_- $ darstellen lässt. Das ist doch für [mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm] = [mm] \vektor{-3 \\ 6} [/mm] + [mm] \vektor{4 \\ -4} [/mm] erfüllt.
Gruß Sax.
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Hallo!
>
> Warum nicht ?
> Es wird doch gar nicht verlangt, dass v in [mm]V_+[/mm] oder in [mm]V_-[/mm]
> liegt, sondern nur, dass sich v eindeutig als Summe v = [mm]v_+ + v_-[/mm]
> mit [mm]v_+ \in V_+[/mm] und [mm]v_- \in V_-[/mm] darstellen lässt. Das ist
> doch für [mm]\vektor{1 \\ 2}[/mm] = [mm]\vektor{-3 \\ 6}[/mm] + [mm]\vektor{4 \\ -4}[/mm]
> erfüllt.
Ach so, das hatte ich komplett falsch verstanden! Also anschaulich ist es klar, und die Untervektorraumkriterien sind dann auch nachweisbar, aber um zu zeigen, daß V die Summe der beiden Untervektorräume ist, muß ich ja noch beweisen, daß sich ein beliebiger Vektor aus V eben so darstellen läßt. Warum ergibt sich das daraus, daß f selbstinvers ist?
Also angenommen [mm]v\in V[/mm] sei darstellbar als [mm]v=x+x',x\in V_+,x'\in V_-[/mm], dann wäre [mm]f(v)=f(x+x')=f(x)+f(x')=x+(-x')[/mm], da f linear ist und eben [mm]x\in V_+,x'\in V_-[/mm]. Dann wäre [mm]f(f(x))=f(x+(-x'))=f(x)+f(-x')=x+x'=id(v)[/mm]. Das reicht aber wohl nicht als Beweis, da ich ja schon angenommen habe, daß v=x+x' ist, oder?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:58 Sa 27.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
> aber um zu zeigen, daß V die
> Summe der beiden Untervektorräume ist, muß ich ja noch
> beweisen, daß sich ein beliebiger Vektor aus V eben so
> darstellen läßt.
.. und dass diese Darstellung eindeutig ist !
> Warum ergibt sich das daraus, daß f selbstinvers ist?
Das wollte ich dir ja eigentlich nicht sofort verraten.
Aber ein Tipp : $ v_+ $ ist eine Linearkombination von v und f(v)
Gruß Sax.
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> Hi,
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> > aber um zu zeigen, daß V die
> > Summe der beiden Untervektorräume ist, muß ich ja noch
> > beweisen, daß sich ein beliebiger Vektor aus V eben so
> > darstellen läßt.
>
> .. und dass diese Darstellung eindeutig ist !
>
> > Warum ergibt sich das daraus, daß f selbstinvers ist?
>
> Das wollte ich dir ja eigentlich nicht sofort verraten.
> Aber ein Tipp : [mm]v_+[/mm] ist eine Linearkombination von v und
> f(v)
Also ich kann [mm]v_+[/mm] schreiben als [mm]v_+=\lambda_1 v+\lambda_2 f(v)=\lambda_1 v+\lambda_2(v)[/mm] mit [mm]\lambda_1=0,\lambda_2=1[/mm] oder umgekehrt ist das wieder v. Und für [mm]v_-[/mm] analog mit [mm]v_-=\lambda_1 v+\lambda_2 f(v)=\lambda_1 v+\lambda_2(-v)[/mm] mit [mm]\lambda_1=1,\lambda_2=0[/mm]? Wie bringt mich das weiter?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:29 Sa 27.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
du hast die Bedingungen $ f(v_+) = v_+ $ und $ f(v_-) = -v_- $ nicht berücksichtigt.
Gruß Sax.
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> Hi,
>
> du hast die Bedingungen [mm]f(v_+) = v_+[/mm] und [mm]f(v_-) = -v_-[/mm]
> nicht berücksichtigt.
Tut mir leid, aber das verstehe ich jetzt gar nicht....
Für [mm]v_+[/mm] müssen doch v und f(v) aus [mm]V_+[/mm] sein, und analog für [mm]v_-[/mm] aus [mm]V_-[/mm]. Dann ist die Bedingung doch erfüllt, da [mm]f(v_+)=f(\lamda_1 v+\lambda_2 f(v))=f(\lambda_1 v)+f(\lambda_2 f(v))=\lambda_1 f(v)+\lambda_2 f(f(v))=\lambda_1 v + \lambda_2 v[/mm] und [mm]f(v_-)=f(\lamda_1 v+\lambda_2 f(v))=f(\lambda_1 v)+f(\lambda_2 f(v))=\lambda_1 f(v)+\lambda_2 f(f(v))=\lambda_1 -v + \lambda_2 v[/mm]. Ich fürchte mir ist der ganze Ansatz nicht wirklich klar, könntest du es mir vll. erklären? Vielen Dank für die Geduld!
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:07 Sa 27.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Für $ v_+ $ müssen doch v und f(v) aus $ V_+ $ sein
Nein ! Umgekehrt !
Lies dir die Aufgabenstellung noch mal durch.
f ist irgendeine selbstinverse lineare Abbildung von V. Wir hatten oben ein Beispiel für eine solche Abbildung.
Von diesem f ausgehend werden jetzt zwei Mengen $ V_+ $ und $ V_- $ definiert, nämlich liegen in $ V_+ $ all diejenigen Vektoren aus V, die auf sich selbst abgebildet werden und in $ V_- $ all diejenigen Vektoren aus V, die auf ihr Entgegengesetztes abgebildet werden. Wahrscheinlich liegen die meisten Vektoren aus V weder in $ V_+ $ noch in $ V_- $, weil auf sie keine der beiden Bedingungen zutrifft, das hängt ganz davon ab, welche Abbildung f wir gerade betrachten.
Du sollst jetzt vier Dinge zeigen, nämlich
1. und 2. dass die so definierten $ V_+ $ und $ V_- $ Untervektorräume von V sind,
3. dass es für jeden Vektor v [mm] \in [/mm] V zwei Vektoren $ v_+ $ und $ v_- $ gibt, in die sich v gemäß v = $ v_+ + v_- $ zerlegen lässt, so dass $ v_+ [mm] \in [/mm] V_+ $ und $ v_- [mm] \in [/mm] V_- $ ist sowie
4. dass die beiden Vektoren aus 3. eindeutig bestimmt sind.
In unserem Beispiel war v = $ [mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm] $ und f(v) = [mm] \vektor{-7 \\ 10}. [/mm] Du siehst, dass v weder zu $ V_+ $ noch zu $ V_- $ gehört. Es gibt aber die Vektoren $ v_+ = [mm] \vektor{-3 \\ 6} [/mm] $ und $ v_- = [mm] \vektor{4 \\ -4} [/mm] $, die alle Bedingungen aus 3. erfüllen :
$ [mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{-3 \\ 6} [/mm] $ + $ [mm] \vektor{4 \\ -4} [/mm] $ ,
f($ [mm] \vektor{-3 \\ 6} [/mm] $) = $ [mm] \vektor{-3 \\ 6} [/mm] $ und f($ [mm] \vektor{4 \\ -4} [/mm] $) = $ [mm] \vektor{-4 \\ 4} [/mm] $.
Ich hoffe, dass du jetzt etwas klarer siehst, um was es hier geht.
Gruß Sax.
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> Hi,
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> > Für [mm]v_+[/mm] müssen doch v und f(v) aus [mm]V_+[/mm] sein
>
> Nein ! Umgekehrt !
Also nochmal: Sei [mm]v_+=v_-+f(v_-),v_-\in V_-[/mm], dann ist [mm]f(v_+)=f(v_-+f(v_-))=f(v_-)+f(f(v_-))=-v_-+v_-=f(v_-)+v_-=v_+[/mm]. Dann ist [mm]v_+\in V_+[/mm]. Sei [mm]v_-=v_+ +f(v_+),v_+,\in V_+[/mm], dann ist [mm]f(v_-)=f(v_+ +f(v_+))=f(v_+)+f(f(v_+))=v_+ +v_+[/mm]? Dann wäre doch [mm]v_-\notin V_-[/mm]?
> Lies dir die Aufgabenstellung noch mal durch.
>
> f ist irgendeine selbstinverse lineare Abbildung von V. Wir
> hatten oben ein Beispiel für eine solche Abbildung.
>
> Von diesem f ausgehend werden jetzt zwei Mengen [mm]V_+[/mm] und [mm]V_-[/mm]
> definiert, nämlich liegen in [mm]V_+[/mm] all diejenigen Vektoren
> aus V, die auf sich selbst abgebildet werden und in [mm]V_-[/mm] all
> diejenigen Vektoren aus V, die auf ihr Entgegengesetztes
> abgebildet werden. Wahrscheinlich liegen die meisten
> Vektoren aus V weder in [mm]V_+[/mm] noch in [mm]V_- [/mm], weil auf sie
> keine der beiden Bedingungen zutrifft, das hängt ganz
> davon ab, welche Abbildung f wir gerade betrachten.
Soweit alles klar!
> Du sollst jetzt vier Dinge zeigen, nämlich
> 1. und 2. dass die so definierten [mm]V_+[/mm] und [mm]V_-[/mm]
> Untervektorräume von V sind,
> 3. dass es für jeden Vektor v [mm]\in[/mm] V zwei Vektoren [mm]v_+[/mm]
> und [mm]v_-[/mm] gibt, in die sich v gemäß v = [mm]v_+ + v_-[/mm] zerlegen
> lässt, so dass [mm]v_+ \in V_+[/mm] und [mm]v_- \in V_-[/mm] ist sowie
> 4. dass die beiden Vektoren aus 3. eindeutig bestimmt
> sind.
Ist anschaulich auch klar!
> In unserem Beispiel war v = [mm]\vektor{1 \\ 2}[/mm] und f(v) =
> [mm]\vektor{-7 \\ 10}.[/mm] Du siehst, dass v weder zu [mm]V_+[/mm] noch zu
> [mm]V_-[/mm] gehört. Es gibt aber die Vektoren [mm]v_+ = \vektor{-3 \\ 6}[/mm]
> und [mm]v_- = \vektor{4 \\ -4} [/mm], die alle Bedingungen aus 3.
> erfüllen :
> [mm]\vektor{1 \\ 2}[/mm] = [mm]\vektor{-3 \\ 6}[/mm] + [mm]\vektor{4 \\ -4}[/mm] ,
> f([mm] \vektor{-3 \\ 6} [/mm]) = [mm]\vektor{-3 \\ 6}[/mm] und f([mm] \vektor{4 \\ -4} [/mm])
> = [mm]\vektor{-4 \\ 4} [/mm].
>
> Ich hoffe, dass du jetzt etwas klarer siehst, um was es
> hier geht.
Ich habe schon verstanden was ich zeigen soll, aber ich stehe offensichtlich total auf dem Schlauch was den Ansatz angeht. Selbst wenn ich [mm]v_-[/mm] so darstellen kann, dann hab ich leider nich immer nicht kapiert wo der Zusammenhang ist, zu: Sei [mm]v\in V[/mm] beliebig, dann gilt [mm]v=v_++v_-[/mm].
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:29 Sa 27.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi
> Also nochmal: Sei $ [mm] v_+=v_-+f(v_-),v_-\in [/mm] V_- $,
> dann ist $ f(v_+)=f(v_-+f(v_-))=f(v_-)+f(f(v_-))=-v_-+v_- $ * $ =f(v_-)+v_-=v_+ $.
> Dann ist $ [mm] v_+\in [/mm] V_+ $.
> Sei $ v_-=v_+ [mm] +f(v_+),v_+,\in [/mm] V_+ $, dann ist $ f(v_-)=f(v_+ +f(v_+))=f(v_+)+f(f(v_+))=v_+ +v_+ $ ? **
> Dann wäre doch $ [mm] v_-\notin [/mm] V_- $? ***
Dazu vier Bemerkungen :
(*) an dieser Stelle könntest du auch mit " = 0 " fortsetzen, du hast bewiesen, dass der Vektor $ v_-+f(v_-) $ auf den Nullvektor abgebildet wird (übrigens ist er sogar selbst der Nullvektor) und das dieser Vektor $ v_-+f(v_-) $ in $ V_+ $ liegt.
(**) Hier hast du bewiesen, dass der Vektor $ v_+ +f(v_+) $ auf $ 2*v_+ $ abgebildet wird,
(***) der Vektor $ v_+ +f(v_+) $ liegt tatsächlich nur dann in $ V_- $, wenn er der Nullvektor ist.
Jetzt kommt die wichtigste :
(****) Was war zuerst da, das Ei oder die Henne ?
Du definierst einen Vektor "Sei $ v_+ = $ " usw. mit Hilfe eines Vektors $ v_- $, ohne diesen vorher definiert zu haben (war der schon da ?). Anschließend machst du dasselbe umgekehrt :
Du definierst einen Vektor "Sei $ v_- = $ " usw. mit Hilfe eines Vektors $ v_+ $, ohne diesen vorher definiert zu haben (war der schon da ?).
Das geht natürlich nicht !
Du kannst $ v_+ $ und $ v_- $ nur mit Hilfe von v und f(v) definieren, nur diese sind schon da.
Noch eine Bemerkung hierzu :
> Sei $ [mm] v\in [/mm] V $ beliebig, dann gilt $ v=v_++v_- $.
Das gilt nicht, sondern die Reihenfolge ist :
Erstens : Definition von $ v_+ $ und $ v_- $
Zweitens : Nachweis, dass dann $ v_++v_- = v $ erfüllt ist.
Gruß Sax.
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> Hi
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> > Also nochmal: Sei [mm]v_+=v_-+f(v_-),v_-\in V_- [/mm],
> > dann ist [mm]f(v_+)=f(v_-+f(v_-))=f(v_-)+f(f(v_-))=-v_-+v_-[/mm] *
> [mm]=f(v_-)+v_-=v_+ [/mm].
> > Dann ist [mm]v_+\in V_+ [/mm].
> > Sei [mm]v_-=v_+ +f(v_+),v_+,\in V_+ [/mm], dann ist [mm]f(v_-)=f(v_+ +f(v_+))=f(v_+)+f(f(v_+))=v_+ +v_+[/mm]
> ? **
> > Dann wäre doch [mm]v_-\notin V_- [/mm]? ***
>
> Dazu vier Bemerkungen :
> (*) an dieser Stelle könntest du auch mit " = 0 "
> fortsetzen, du hast bewiesen, dass der Vektor [mm]v_-+f(v_-)[/mm]
> auf den Nullvektor abgebildet wird (übrigens ist er sogar
> selbst der Nullvektor) und das dieser Vektor [mm]v_-+f(v_-)[/mm] in
> [mm]V_+[/mm] liegt.
> (**) Hier hast du bewiesen, dass der Vektor [mm]v_+ +f(v_+)[/mm]
> auf [mm]2*v_+[/mm] abgebildet wird,
> (***) der Vektor [mm]v_+ +f(v_+)[/mm] liegt tatsächlich nur dann
> in [mm]V_- [/mm], wenn er der Nullvektor ist.
Vielen Dank! Jetzt ist der Groschen gefallen!
> Jetzt kommt die wichtigste :
> (****) Was war zuerst da, das Ei oder die Henne ?
> Du definierst einen Vektor "Sei [mm]v_+ =[/mm] " usw. mit Hilfe
> eines Vektors [mm]v_- [/mm], ohne diesen vorher definiert zu haben
> (war der schon da ?). Anschließend machst du dasselbe
> umgekehrt :
> Du definierst einen Vektor "Sei [mm]v_- =[/mm] " usw. mit Hilfe
> eines Vektors [mm]v_+ [/mm], ohne diesen vorher definiert zu haben
> (war der schon da ?).
> Das geht natürlich nicht !
> Du kannst [mm]v_+[/mm] und [mm]v_-[/mm] nur mit Hilfe von v und f(v)
> definieren, nur diese sind schon da.
Ist es hier ausreichend für v die Bedingung f(v)=-v zu fordern (bzw. f(v)=v)? Daß es so ein v gibt, würde ja aus der Untervektorraumeigenschaft folgen, und ich könnte [mm]v_+[/mm] und [mm]v_-[/mm] definieren.
> Erstens : Definition von [mm]v_+[/mm] und [mm]v_-[/mm]
> Zweitens : Nachweis, dass dann [mm]v_++v_- = v[/mm] erfüllt ist.
Wäre es dann richtig zu sagen: Angenommen [mm]v=v_+ +v_-[/mm], dann ist [mm]f(v)=f(v_+ +v_-)=2v_+[/mm] und [mm]f(f(v))=f(2v_+)=2v_+=-v_- +v_- +v_+ +v_+=f(v_-)+v_- +v_+ +f(v_+)= v_+ +v_-=v[/mm]. An v ist ja nur die Bedingung gestellt, daß f(f(v))=v ist, oder?
Danke für die Mühe!
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:04 So 28.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Ist es hier ausreichend für v die Bedingung f(v)=-v zu fordern (bzw. f(v)=v)?
Wie kommst du denn jetzt auf diesen Unsinn ?
Denke doch bitte einmal nach, bevor du so etwas schreibst.
Von v ist überhaupt nichts zu fordern, außer in V zu liegen. v kann irgend ein ganz beliebiger Vektor sein.
Gilt denn etwa eine der beiden Gleichungen für das v aus unserem Beispiel ?
Du kannst doch jede Gleichung die du hier aufschreibst an diesem Beispiel zumindest auf Plausibilität prüfen.
> Daß es so ein v gibt, würde ja aus der Untervektorraumeigenschaft folgen, und ich könnte $ v_+ $ und $ v_- $ definieren.
Wie kann das folgen, wenn unser Beispiel das Gegenteil beweist ?
> Wäre es dann richtig zu sagen: Angenommen $ v=v_+ +v_- $, dann ist $ f(v)=f(v_+ +v_-)=2v_+ $
Warum sollte sollte das folgen ? Ist denn etwa (siehe unser Beispiel) [mm] f(\vektor{1 \\ 2}) [/mm] = $ [mm] \vektor{-7 \\ 10} [/mm] $ = $ 2* [mm] \vektor{-3 \\ 6} [/mm] $ ? Nein. Na also.
Der erste Satz " Angenommen $ v=v_+ +v_- $ " ist aber gut brauchbar.
Wir nehmen mal für uns, so lange wir noch in der Denkphase sind, an, dass es so eine Darstellung geben würde und sehen uns die Konsequenzen an, die eine solche Annahme hätte (alles Konkunktiv).
Aus $ v=v_+ +v_- $ würde dann folgen, dass $ f(v) = f(v_+ +v_-) = f(v_+) + f(v_-) = v_+ - v_- $ wäre.
Damit haben wir zwei Gleichungen, die wir nach $ v_+ $ und $ v_- $ auflösen können und also wissen wir, wie wir $ v_+ $ und $ v_- $ zu definieren haben.
Gruß Sax.
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Es tut mir leid, ich habs jetzt noch hin und her gedreht - ich verstehe es einfach nicht. Danke für die Ausdauer, aber es hat wohl keinen Sinn.
Liebe Grüße
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