Selbstüberschneid. von Knoten < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:11 Fr 08.02.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo,
ich bin ein Neuling in der Knotentheorie und ich stehe gerade
auf dem zur Brezel verformten Schlauch.
Vielleicht kann mir ja jemand(e) von Euch einen Tipp geben.
Gegeben : Zwei aufeinanderfolgende Primzahlen $p$ und $q$.
Dazu ist der Knoten $K$ in Abhängigkeit von $p$ und $q$ wie folgt
definiert : [mm] $t\in[0,2\pi], [/mm] K(t) = [mm] \left( \begin{array}{c} \cos(p\cdot t)\\ \sin(q\cdot t)\\ \cos(t) \end{array} \right)$
[/mm]
Gesucht : Anzahl der Selbstüberschneidungen $X$ von $K$?
Kennt sich ein Topologe unter Euch mit so was ganz gut aus? Es
würde mich reizen, eine geschlossene Formel für $X$ in Abhängigkeit
von $p$ und $q$ zu finden. Ich hoffe, dadurch einen Zusammenhang
zwischen Primzahlen und Geometrie zu finden, der bis jetzt
unentdeckt ist.
Ich habe diese Frage noch in keinem anderen Forum gestellt.
Gruß
Kai
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 00:15 Sa 09.02.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo an Alle,
wenn ich mich nicht verzählt habe, gilt folgende Tabelle :
[mm] $\begin{array}{|c|c||c|}
p & q & X\\
\hline
1 & 2 & 1\\
2 & 3 & 2\\
3 & 5 & 4\\
5 & 7 & 6\\
7 & 11 & 9\\
\end{array}$
[/mm]
Bis auf die ersten Folgenglieder ($p=1, 2$) entspricht
[mm] $X=\frac{p+q}{2}$. [/mm] Insgesamt können wir sogar sagen : [mm] $X=\lfloor\frac{p+q}{2}\rfloor$
[/mm]
Kann jemand(e) mir bei den höheren $p, q$ weiterhelfen?
Gruß
Kai
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:10 Sa 09.02.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo an Alle,
>
> wenn ich mich nicht verzählt habe, gilt folgende Tabelle
> :
>
> [mm]$\begin{array}{|c|c||c|} p & q & X\\
\hline 1 & 2 & 1\\
2 & 3 & 2\\
3 & 5 & 4\\
5 & 7 & 6\\
7 & 11 & 9\\
\end{array}$[/mm]
Hallo,
die erste Tabellenzeile ist Unfug, denn 1 ist keine Primzahl.
Gruß Abakus
>
> Bis auf die ersten Folgenglieder ([mm]p=1, 2[/mm]) entspricht
> [mm]X=\frac{p+q}{2}[/mm]. Insgesamt können wir sogar sagen :
> [mm]X=\lfloor\frac{p+q}{2}\rfloor[/mm]
>
> Kann jemand(e) mir bei den höheren [mm]p, q[/mm] weiterhelfen?
>
> Gruß
> Kai
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 So 24.02.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:51 Sa 09.02.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Kai,
das klingt spannend.
> ich bin ein Neuling in der Knotentheorie und ich stehe
> gerade
> auf dem zur Brezel verformten Schlauch.
Das hat man davon, wenn man einen Schlauch (unendlicher Hohlzylinder) aufbrezelt (verknotet)...
> Vielleicht kann mir ja jemand(e) von Euch einen Tipp
> geben.
Auch sprachtheoretisch scheinst Du Neuland betreten zu wollen: "jemande" als Femininum ist auch eine reizvolle Idee. Ich werde sofort meine Gewährsfrauen informieren.
> Gegeben : Zwei aufeinanderfolgende Primzahlen [mm]p[/mm] und [mm]q[/mm].
Hm, warum nicht. Für die Verknotung genügt aber doch (p,q)=1. Dafür muss hier niemand(e) prim sein, und schon gar nicht hintereinander in irgendeiner Schlange stehen.
> Dazu ist der Knoten [mm]K[/mm] in Abhängigkeit von [mm]p[/mm] und [mm]q[/mm] wie
> folgt
> definiert : [mm]t\in[0,2\pi], K(t) = \left( \begin{array}{c} \cos(p\cdot t)\\
\sin(q\cdot t)\\
\cos(t) \end{array} \right)[/mm]
Geht auch anders, aber ok so.
> Gesucht : Anzahl der Selbstüberschneidungen [mm]X[/mm] von [mm]K[/mm]?
Das Wort macht nur Sinn, wenn man eine Projektion des Knotens betrachtet. Dabei ist sein Verlauf in zwei Dimensionen (reell) anzugeben; nur die "Überschneidungen" brauchen eine dritte Dimension, die allerdings nur zwei Zustände braucht: oben und unten.
> Kennt sich ein Topologe unter Euch mit so was ganz gut aus?
Ich habe mich damit befasst, kenne aber so ziemlich gar nicht aus. Hoffen wir auf eine(n) besser Informierte(n).
> Es
> würde mich reizen, eine geschlossene Formel für [mm]X[/mm] in
> Abhängigkeit
> von [mm]p[/mm] und [mm]q[/mm] zu finden. Ich hoffe, dadurch einen
> Zusammenhang
> zwischen Primzahlen und Geometrie zu finden, der bis jetzt
> unentdeckt ist.
Bist Du sicher? Mir kommt das Thema schon recht bekannt vor, aber ich bin gerade auf Reisen und habe keinerlei Unterlagen dazu in Reichweite. Nicht, dass es zuhause davon Unmengen gäbe...
> Ich habe diese Frage noch in keinem anderen Forum
> gestellt.
Schade. Das würde die Reichweite der Frage ja vergrößern. Halte uns nur auf dem Laufenden, wo sonst noch darüber diskutiert wird.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:33 Sa 09.02.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo reverend
vielen Dank erstmal für Deine Antwort.
> > Gesucht : Anzahl der Selbstüberschneidungen [mm]X[/mm] von [mm]K[/mm]?
>
> Das Wort macht nur Sinn, wenn man eine Projektion des
> Knotens betrachtet. Dabei ist sein Verlauf in zwei
> Dimensionen (reell) anzugeben; nur die "Überschneidungen"
> brauchen eine dritte Dimension, die allerdings nur zwei
> Zustände braucht: oben und unten.
Oben und unten?
Bist Du sicher, dass wir unter "Überschneidung" das Gleiche
verstehen? Ich meine damit eine echte Kreuzung, d.h. ein
Punkt aus $K$, der sowohl unter [mm] $t_1$ [/mm] wie auch unter [mm] $t_2\neq t_1$ [/mm] eingenommen wird [mm] $(t_1,t_2\in[0,2\cdot\pi])$.
[/mm]
> > Ich habe diese Frage noch in keinem anderen Forum
> > gestellt.
>
> Schade. Das würde die Reichweite der Frage ja
> vergrößern.
Ja schon, aber das wird doch in diesem Forum nicht so gern gesehen.
> Halte uns nur auf dem Laufenden, wo sonst
> noch darüber diskutiert wird.
Ich habe mal eine Weile gegoogelt. Alles was ich gefunden habe
waren Links auf Bücher. Und Algorithmen für planare Graphen.
Hm, nicht exakt das, was ich suche :-(
Gruß
Kai
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:14 Sa 09.02.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> ich bin ein Neuling in der Knotentheorie und ich stehe
> gerade
> auf dem zur Brezel verformten Schlauch.
>
> Vielleicht kann mir ja jemand(e) von Euch einen Tipp
> geben.
>
> Gegeben : Zwei aufeinanderfolgende Primzahlen [mm]p[/mm] und [mm]q[/mm].
> Dazu ist der Knoten [mm]K[/mm] in Abhängigkeit von [mm]p[/mm] und [mm]q[/mm] wie
> folgt
> definiert : [mm]t\in[0,2\pi], K(t) = \left( \begin{array}{c} \cos(p\cdot t)\\
\sin(q\cdot t)\\
\cos(t) \end{array} \right)[/mm]
>
> Gesucht : Anzahl der Selbstüberschneidungen [mm]X[/mm] von [mm]K[/mm]?
>
> Kennt sich ein Topologe unter Euch mit so was ganz gut aus?
> Es
> würde mich reizen, eine geschlossene Formel für [mm]X[/mm] in
> Abhängigkeit
> von [mm]p[/mm] und [mm]q[/mm] zu finden. Ich hoffe, dadurch einen
> Zusammenhang
> zwischen Primzahlen und Geometrie zu finden, der bis jetzt
> unentdeckt ist.
>
> Ich habe diese Frage noch in keinem anderen Forum
> gestellt.
>
> Gruß
> Kai
Hallo Kai,
die Kurve schneidet sich mit sich selbst nur dann, wenn es mindestens zwei verschiedene Werte [mm]t_1[/mm] und [mm]t_2[/mm] aus dem Intervall von 0 bis [mm]2\pi[/mm] gibt, für die K(t) in allen drei Koordinaten übereinstimmt.
Die Übereinstimmung der z-Koordinate (also cos(t)) ist nur möglich, wenn [mm]t_2=2\pi-t_1[/mm] gilt.
Nun musst du schauen, ob für ein solches Paar [mm](t_1,t_2)[/mm] auch
[mm]\sin(q\cdot t_1)=\sin(q\cdot (2\pi-t_1))[/mm] und
[mm]\cos(p\cdot t_1)=\cos(p\cdot (2\pi-t_1))[/mm] gelten kann.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:18 Sa 09.02.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo Kai,
> die Kurve schneidet sich mit sich selbst nur dann, wenn es
> mindestens zwei verschiedene Werte [mm]t_1[/mm] und [mm]t_2[/mm] aus dem
> Intervall von 0 bis [mm]2\pi[/mm] gibt, für die K(t) in allen drei
> Koordinaten übereinstimmt.
> Die Übereinstimmung der z-Koordinate (also cos(t)) ist
> nur möglich, wenn [mm]t_2=2\pi-t_1[/mm] gilt.
> Nun musst du schauen, ob für ein solches Paar [mm](t_1,t_2)[/mm]
> auch
> [mm]\sin(q\cdot t_1)=\sin(q\cdot (2\pi-t_1))[/mm] und
> [mm]\cos(p\cdot t_1)=\cos(p\cdot (2\pi-t_1))[/mm] gelten kann.
>
> Gruß Abakus
PS: [mm] \cos(p\cdot t_1)=\cos(p\cdot (2\pi-t_1)) [/mm] ist unkritisch, weil es für jede naürliche Zahl p gilt.
[mm] \sin(q\cdot t_1)=\sin(q\cdot (2\pi-t_1)) [/mm] gilt im allgemeinen NICHT.
Stattdessen gilt für alle ganzen Zahlen q
[mm] \sin(q\cdot t_1)=\red{-}\sin(q\cdot (2\pi-t_1)) [/mm].
Damit ist auch die Antwort gegeben, wann
[mm] \sin(q\cdot t_1)=\sin(q\cdot (2\pi-t_1)) [/mm] eben doch gilt.
Gruß Abakus
>
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:43 Sa 09.02.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Abakus,
vielen Dank für deine Mitteilung. Ist ja verblüffend, wie
einfach die Lösung ist?
> Damit ist auch die Antwort gegeben, wann
> [mm]\sin(q\cdot t_1)=\sin(q\cdot (2\pi-t_1))[/mm] eben doch gilt.
Natürlich : Es soll gelten : [mm] $\sin(q\cdot t)=\sin(q\cdot(2\pi-t))$
[/mm]
Es ist aber [mm] $\sin(qt)=\red{-}\sin(q\cdot(2\pi-t))$
[/mm]
Daraus folgt, dass [mm] $\sin(q\cdot [/mm] t)=0$ gelöst werden muss.
Das ist [mm] $t_z=\frac{1}{q}\pi\cdot [/mm] z, [mm] z\in\mathbb [/mm] Z$.
Jetzt liegen im Intervall [mm] $[0,2\cdot\pi]$
[/mm]
[mm] $\frac{2\cdot\pi}{\frac{1}{q}\cdot\pi}$ [/mm] Nullstellen, was wegen der Symmetrie-Eigenschaft
noch durch zwei geteilt werden muss. Dabei kommt $q$ heraus.
Nun gilt [mm] $f(t)=f(2\cdot \pi-t)$ [/mm] für [mm] $\cos(t)$ [/mm] und [mm] $\cos(p\cdot [/mm] t)$
Deswegen entspricht jede Nullstelle [mm] t_z [/mm] von [mm] $\sin(q\cdot [/mm] t)$ einer
Selbstüberschneidung. Und jetzt ist die Anzahl der
Nullstellen minus 1 (weil die Stelle 0 Anfang und Ende des
Knotens ist) gleich der Anzahl der Selbstüberschneidungen.
Sollte es wirklich so einfach sein?
Gruß
Kai
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:19 Sa 09.02.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo Abakus,
>
> vielen Dank für deine Mitteilung. Ist ja verblüffend, wie
> einfach die Lösung ist?
>
> > Damit ist auch die Antwort gegeben, wann
> > [mm]\sin(q\cdot t_1)=\sin(q\cdot (2\pi-t_1))[/mm] eben doch
> gilt.
>
> Natürlich : Es soll gelten : [mm]\sin(q\cdot t)=\sin(q\cdot(2\pi-t))[/mm]
>
> Es ist aber [mm]\sin(qt)=\red{-}\sin(q\cdot(2\pi-t))[/mm]
>
> Daraus folgt, dass [mm]\sin(q\cdot t)=0[/mm] gelöst werden muss.
> Das ist [mm]t_z=\frac{1}{q}\pi\cdot z, z\in\mathbb Z[/mm].
>
> Jetzt liegen im Intervall [mm][0,2\cdot\pi][/mm]
> [mm]\frac{2\cdot\pi}{\frac{1}{q}\cdot\pi}[/mm] Nullstellen, was
> wegen der Symmetrie-Eigenschaft
> noch durch zwei geteilt werden muss. Dabei kommt [mm]q[/mm] heraus.
>
> Nun gilt [mm]f(t)=f(2\cdot \pi-t)[/mm] für [mm]\cos(t)[/mm] und [mm]\cos(p\cdot t)[/mm]
>
> Deswegen entspricht jede Nullstelle [mm]t_z[/mm] von [mm]\sin(q\cdot t)[/mm]
> einer
> Selbstüberschneidung. Und jetzt ist die Anzahl der
> Nullstellen minus 1 (weil die Stelle 0 Anfang und Ende des
> Knotens ist) gleich der Anzahl der Selbstüberschneidungen.
>
> Sollte es wirklich so einfach sein?
Sieht so aus. Vor allem hat es nicht einmal was mit Primzahlen zu tun.
Es geht nur um ganze Zahlen q.
Gruß Abakus
>
> Gruß
> Kai
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| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 18:34 Mi 13.02.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo abakus, hallo reverend
ich definiere mir den Knoten mal etwas anders, nämlich
$ [mm] t\in[0,2\pi], [/mm] K(t) = [mm] \left( \begin{array}{c} \sin(p\cdot t)\\ \sin(q\cdot t)\\ \cos(t) \end{array} \right) [/mm] $
wobei [mm] $p,q\in\mathbb [/mm] N$
Die Lösungen [mm] $L_p$ [/mm] für [mm] $\sin(p\cdot [/mm] t)=0$ sind [mm] $\frac{1}{p}\cdot\pi\cdot z_p,z_p\in\mathbb [/mm] Z$
Die Lösungen [mm] $L_q$ [/mm] für [mm] $\sin(q\cdot [/mm] t)=0$ sind [mm] $\frac{1}{q}\cdot\pi\cdot z_q,z_q\in\mathbb [/mm] Z$
Daher ist jedes $t$ Nullstelle von beiden Sinus-Komponenten,
wenn [mm] $t\in L_p \wedge t\in L_q\Leftrightarrow t=\frac{1}{ggT(p,q)}\cdot\pi\cdot z_n, z_n\in\mathbb [/mm] Z$
Jetzt gibt es im Intervall [mm] $[0,2\cdot\pi]\\ [/mm]
[mm] \frac{2\cdot\pi}{\frac{1}{ggT(p,q)}\cdot\pi}$ [/mm] viele Nullstellen,
was wegen der Symmetrie-Eigenschaft durch zwei geteilt werden muss.
Dabei kommt $ggt(p,q)$ heraus.
Es gilt : [mm] $\cos(t)=\cos(2\cdot\pi-t)$.
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\#Selbstueberschneidungen=ggT(p,q)-1$
[/mm]
(weil die Stelle $0$ Anfang und Ende von $K$ ist)
Stimmen meine Überlegungen so weit?
Es wäre ja ein Hinweis darauf, dass es eben doch
eine Beziehung zwischen Zahlentheorie und Topologie
gibt. Auf jeden Fall bleib ich dran.
Gruß
Kai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:50 Sa 16.02.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo,
ich habe den Knoten mal einen kurzen Schritt verallgemeinert :
$ [mm] t\in[0,2\pi], [/mm] K(t) = [mm] \left( \begin{array}{c} \sin(p\cdot t)\\ \sin(q\cdot t)\\ \cos(n\cdot t) \end{array} \right) [/mm] $
wobei [mm] $p,q,n\in\mathbb [/mm] N$
Für $p:=2, q:=3$ ergibt das folgende Tabelle in $n$ und
$X$ (#Selbstüberschneidungen) :
$ [mm] $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12\\
13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 & 24\\
25 & 26 & 27 & 28 & 29 & 30 & 31 & 32 & 33 & 34 & 35 & 36\\ \hline
0&3&4&7&0&7&0&7&4&3&0&7\\ \hline \end{array}$ [/mm] $
Warum ist die Anzahl der Selbstüberschneidungen periodisch zu 12?
Und warum ist sie symmetrisch zu $n=6$?
Und warum ist : [mm] $X=\begin{cases} 0, & (ggT(n,p)=1)\wedge(ggT(n,q)=1) \\ >0, & sonst \end{cases}$
[/mm]
Ich weiß : selber denken  .
Aber ich komm einfach nicht drauf.
Gruß
Kai
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:51 Mo 18.02.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo,
ich habe zwei Dinge entdeckt?
I) eine explizite Formel für n im Knoten
[mm]t\in[0,2\pi], K(t) = \left( \begin{array}{c} \sin(2\cdot t)\\ \sin(3\cdot t)\\ \cos(n\cdot t) \end{array} \right)[/mm]
Sie lautet :
[mm] $X(n)=3\cdot\lfloor 2\cdot fract\left(\frac{n-\frac{1}{2}}{2}\right) \rfloor+4\cdot\lfloor \frac{3}{2}\cdot fract\left(\frac{n-\frac{1}{2}}{3}\right) \rfloor+4\cdot\lfloor \frac{4}{3}\cdot fract\left(\frac{6-|12\cdot fract(\frac{n}{12})-6|-\frac{1}{2}}{4}\right)\rfloor$
[/mm]
Eigentlich hätte ich gerne eine Formel mit "ggT"s drin.
Aber für den Anfang soll es mal reichen.
II) eine multiple Selbstüberschneidung in [mm]t\in[0,2\pi], K(t) = \left( \begin{array}{c} \sin(3\cdot t)\\ \sin(6\cdot t)\\ \cos(2\cdot t) \end{array} \right)[/mm]
Gute Nacht
Kai
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:34 Di 19.02.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo,
ich habe eine Formel aufgestellt wie ich sie haben wollte :
Also, die Anzahl der Selbstüberschneidungen $X$ hängt
bei dem Knoten [mm] \vektor{sin(2\cdot t) \\ sin(3\cdot t) \\ cos(n\cdot t)} [/mm] für $n$ wie folgt ab :
[mm] $X(n)=3\cdot(ggT(n,2)-1)+2\cdot(ggT(n,3)-1)+2\cdot [/mm] signum(n [mm] \mod 12)\cdot(ggT(n,4)-ggT(n,2))$
[/mm]
Guten Abend,
Kai
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:47 Sa 23.02.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo,
ich habe für den Knoten in der Form
[mm] $\vektor{sin(p\cdot t) \\ sin(q\cdot t) \\ cos(n\cdot t)}$ [/mm] mit $p=2,q(prim), n [mm] \in \mathbb [/mm] N$ folgende Gültigkeit entdeckt :
[mm] $X_q(n)=q\cdot(ggT(n,2)-1)+2\cdot(ggT(n,q)-1)+(q-1)\cdot [/mm] signum(n [mm] \mod (4\cdot q))\cdot(ggT(n,4)-ggT(n,2)) [/mm] $
Ist die Verschränkung von p=2 und q in den beiden
ersten Summanden nicht bezaubernd? :o
Guten Abend
Kai
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Do 28.02.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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