Semidirektes Produkt, Isomorph < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:10 Fr 16.10.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Es ist bekannt: Es seien [mm] G_1,..,G_n [/mm] Gruppen und [mm] H_1,..,H_n [/mm] Gruppen mit der Eigenschaft [mm] H_i\cong G_i(fuer [/mm] 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n), so ist [mm] G_1 \times [/mm] .. [mm] \times G_n \cong H_1 \times ..\times H_n.
[/mm]
Gilt das auch so für das (äußere) semidirekte Produkt von 2 solcher Gruppen?
Sind G,H, U,V Gruppen mit der Eigenschaft G [mm] \cong [/mm] U, H [mm] \cong [/mm] V so gilt
G [mm] \rtimes [/mm] H [mm] \cong [/mm] U [mm] \rtimes [/mm] V |
Hallo,
Ich denke es folgt nicht aus dem Beweis für das äußere direkte Produkt, denn die Verknüpfung ist ja anders definiert.
Es seien [mm] i_1 [/mm] : G [mm] \rightarrow [/mm] U, [mm] i_2: [/mm] H [mm] \rightarrow [/mm] V Isomorphismen
und [mm] \phi:G \rtimes [/mm] H [mm] \rightarrow [/mm] U [mm] \rtimes [/mm] V mit [mm] \phi(g,h)=(i_1(g),i_2(h)).
[/mm]
[mm] \phi [/mm] ist eine Bijektion analog gezeigt wie in Fall des äußeren direkten Produkts.
Noch zz.: [mm] \phi [/mm] ist ein Homomorphismus, wo ich Probleme habe.
[mm] \phi((g_1, h_1)*(g_2, h_2))=\phi(g_1 \Theta_{h_1} (g_2), h_1*h_2)=(i_1(g_1 \Theta_{h_1} (g_2)), i_2(h_1* h_2))
[/mm]
[mm] \phi((g_1,h_1))*\phi((g_2,h_2))=(i_1(g_1),i_2(h_1))*(i_1(g_2),i_2(h_2))=(i_1 (g_1)*\Theta_{i_2(h_1)} (i_1(g_2)),i_2(h_1)*i_2(h_2)) =(i_1 (g_1)*\Theta_{i_2(h_1)} (i_1(g_2)),i_2(h_1*h_2))
[/mm]
Muss man [mm] \phi [/mm] anders definieren?
LG,
sissi
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Hallo,
Das semidirekte Produkt hängt ja von einer speziellen Gruppenwirkung von $H$ auf $G$ ab. Deine Rechnung ist insofern sinnlos, als die Wirkung von $V$ auf $U$ überhaupt nicht vorkommt. Gruppenwirkung überhaupt nicht vorkommt. Von daher benötigt man Isomorphismen, die mit dieser Gruppenwirkung verträglich sind. Ansonsten ist die Behauptung falsch; es gibt ja im Allgemeinen viele verschiedene semidirekte Produkt zweier Gruppen, das heißt die Behauptung stimmt nicht einmal, falls $G=U$ und $H=V$ und die Identitäten als Isomorphismen, da sie nicht zwangsläufig die Gruppenwirkungen ineinander überführen. Wenn du magst, kannst du ja selbst versuchen, die richtige Verträglichkeitsbedingung hinzuschreiben.
Aus diesem Grund würde ich auch notationell [mm] $G\rtimes_\Theta [/mm] H$ schreiben, um die Abhängigkeit von der Gruppenwirkung zu verdeutlichen.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 Fr 16.10.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Es geht konkret um das Beispiel:
Für n [mm] \ge [/mm] 3 ist [mm] S_n [/mm] semidirektes Produkt von [mm] A_n [/mm] und <(12)>. (Was klar ist, da [mm] A_n [/mm] Normalteiler der [mm] S_n, [/mm] <(12)> Untergruppe von [mm] S_n, A_n \cap [/mm] <(12)>= id, [mm] S_n= A_n [/mm] * <(12)> ist)
Da [mm] \{\epsilon, (12)\} \cong \IZ_2 [/mm] schreibt man auch [mm] S_n [/mm] = [mm] A_n \rtimes \mathbb{Z}_2,
[/mm]
Wo dann eben meine Frage aufgetaucht ist.
Hier gehts aber um das innere semidirekte Produkt.
> Aus diesem Grund würde ich auch notationell
> [mm]G\rtimes_\Theta H[/mm] schreiben, um die Abhängigkeit von der
> Gruppenwirkung zu verdeutlichen.
>
Der Homomorphismus steht bei uns beim äußeren produkt dabei aber beim inneren komischerweiße nicht?:
Sei [mm] \Theta: [/mm] H [mm] \rightarrow [/mm] Aut(N), h [mm] \mapsto \Theta_{h} [/mm] ein Homomorphismus. Man versieht N [mm] \times [/mm] H mit der Verknüpfung [mm] (n_1, h_1) (n_2 h_2) [/mm] := [mm] (n_1 \Theta_{h_1} (n_2), h_1 h_2), [/mm] sowird dadurch eine Gruppe definiert (klar) [mm] N\rtimes_{\Theta} [/mm] H, diese wird als (äußeres) semidirektes Produkt von N und H bezeichnet.
Es sei G eine Gruppe, N Normalteiler von G, H [mm] \le [/mm] G . Man sagt, G sei das (innere) semidirekte produkt von N und H, wenn G=NH und [mm] N\cap [/mm] H= [mm] \{e\}. [/mm] Man schreibt dafür G=N [mm] \rtimes [/mm] H.
> Das semidirekte Produkt hängt ja von einer speziellen
> Gruppenwirkung von [mm]H[/mm] auf [mm]G[/mm] ab. Deine Rechnung ist insofern
> sinnlos, als die Wirkung von [mm]V[/mm] auf [mm]U[/mm] überhaupt nicht
> vorkommt. Gruppenwirkung überhaupt nicht vorkommt. Von
> daher benötigt man Isomorphismen, die mit dieser
> Gruppenwirkung verträglich sind. Ansonsten ist die
> Behauptung falsch; es gibt ja im Allgemeinen viele
> verschiedene semidirekte Produkt zweier Gruppen, das heißt
> die Behauptung stimmt nicht einmal, falls [mm]G=U[/mm] und [mm]H=V[/mm] und
> die Identitäten als Isomorphismen, da sie nicht
> zwangsläufig die Gruppenwirkungen ineinander überführen.
> Wenn du magst, kannst du ja selbst versuchen, die richtige
> Verträglichkeitsbedingung hinzuschreiben.
Mein Versuch den Satz zu fomulieren( da der Beweis noch immer nicht hinhaut ist es denke ich nicht richtig)
Sind G,H, U, V Gruppen mit der Eigenschaft G [mm] \cong [/mm] U, H [mm] \cong [/mm] V, es seien $ [mm] i_1 [/mm] $ : G $ [mm] \rightarrow [/mm] $ U, $ [mm] i_2: [/mm] $ H $ [mm] \rightarrow [/mm] $ V die dazugehörigen Isomorphismen.
Die Gruppe G [mm] \rtimes_{\Theta} [/mm] H sei äußeres semidirektes Produkt von G und H mit [mm] \Theta: [/mm] G [mm] \rightarrow [/mm] Aut(H) ein Homomorphismus.
Und U [mm] \rtimes_{i_2 \circ \Theta \circ i_1^{-1}} [/mm] V sei äußeres semidirektes produkt von U und V mit [mm] i_2 \circ \Theta \circ i_1^{-1}: [/mm] U [mm] \rightarrow [/mm] Aut(V).
So gilt G $ [mm] \rtimes_{\Theta} [/mm] $ H $ [mm] \cong [/mm] $ U $ [mm] \rtimes_{i_2 \circ \Theta \circ i_1^{-1}} [/mm] $ V
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:17 Fr 16.10.2015 | | Autor: | hippias |
> Hallo,
> Es geht konkret um das Beispiel:
> Für n [mm]\ge[/mm] 3 ist [mm]S_n[/mm] semidirektes Produkt von [mm]A_n[/mm] und
> <(12)>. (Was klar ist, da [mm]A_n[/mm] Normalteiler der [mm]S_n,[/mm] <(12)>
> Untergruppe von [mm]S_n, A_n \cap[/mm] <(12)>= id, [mm]S_n= A_n[/mm] * <(12)>
> ist)
> Da [mm]\{\epsilon, (12)\} \cong \IZ_2[/mm] schreibt man auch [mm]S_n[/mm] =
> [mm]A_n \rtimes \mathbb{Z}_2,[/mm]
> Wo dann eben meine Frage
> aufgetaucht ist.
> Hier gehts aber um das innere semidirekte Produkt.
>
> > Aus diesem Grund würde ich auch notationell
> > [mm]G\rtimes_\Theta H[/mm] schreiben, um die Abhängigkeit von der
> > Gruppenwirkung zu verdeutlichen.
> >
> Der Homomorphismus steht bei uns beim äußeren produkt
> dabei aber beim inneren komischerweiße nicht?:
Es ist hier immer die Konjugation.
>
> Sei [mm]\Theta:[/mm] H [mm]\rightarrow[/mm] Aut(N), h [mm]\mapsto \Theta_{h}[/mm] ein
> Homomorphismus. Man versieht N [mm]\times[/mm] H mit der
> Verknüpfung [mm](n_1, h_1) (n_2 h_2)[/mm] := [mm](n_1 \Theta_{h_1} (n_2), h_1 h_2),[/mm]
> sowird dadurch eine Gruppe definiert (klar)
> [mm]N\rtimes_{\Theta}[/mm] H, diese wird als (äußeres)
> semidirektes Produkt von N und H bezeichnet.
>
> Es sei G eine Gruppe, N Normalteiler von G, H [mm]\le[/mm] G . Man
> sagt, G sei das (innere) semidirekte produkt von N und H,
> wenn G=NH und [mm]N\cap[/mm] H= [mm]\{e\}.[/mm] Man schreibt dafür G=N
> [mm]\rtimes[/mm] H.
>
>
> > Das semidirekte Produkt hängt ja von einer speziellen
> > Gruppenwirkung von [mm]H[/mm] auf [mm]G[/mm] ab. Deine Rechnung ist insofern
> > sinnlos, als die Wirkung von [mm]V[/mm] auf [mm]U[/mm] überhaupt nicht
> > vorkommt. Gruppenwirkung überhaupt nicht vorkommt. Von
> > daher benötigt man Isomorphismen, die mit dieser
> > Gruppenwirkung verträglich sind. Ansonsten ist die
> > Behauptung falsch; es gibt ja im Allgemeinen viele
> > verschiedene semidirekte Produkt zweier Gruppen, das heißt
> > die Behauptung stimmt nicht einmal, falls [mm]G=U[/mm] und [mm]H=V[/mm] und
> > die Identitäten als Isomorphismen, da sie nicht
> > zwangsläufig die Gruppenwirkungen ineinander überführen.
> > Wenn du magst, kannst du ja selbst versuchen, die richtige
> > Verträglichkeitsbedingung hinzuschreiben.
>
> Mein Versuch den Satz zu fomulieren( da der Beweis noch
> immer nicht hinhaut ist es denke ich nicht richtig)
Gut, dann versuche ein Gegenbeispiel zu konstruieren. Du hast ja selber das Beispiel [mm] $S_{3}\cong A_{3}\rtimes \IZ_{2}$ [/mm] aufgebracht. Wenn es Dir gelingt die [mm] $\IZ_{2}$ [/mm] auch "anders" auf [mm] $A_{3}$ [/mm] operieren zu lassen, dann koenntest Du ein Gegenbeispiel finden. So viele Moeglichkeiten der Operation gibt es nicht.
> Sind G,H, U, V Gruppen mit der Eigenschaft G [mm]\cong[/mm] U, H
> [mm]\cong[/mm] V, es seien [mm]i_1[/mm] : G [mm]\rightarrow[/mm] U, [mm]i_2:[/mm] H [mm]\rightarrow[/mm]
> V die dazugehörigen Isomorphismen.
> Die Gruppe G [mm]\rtimes_{\Theta}[/mm] H sei äußeres semidirektes
> Produkt von G und H mit [mm]\Theta:[/mm] G [mm]\rightarrow[/mm] Aut(H) ein
> Homomorphismus.
> Und U [mm]\rtimes_{i_2 \circ \Theta \circ i_1^{-1}}[/mm] V sei
> äußeres semidirektes produkt von U und V mit [mm]i_2 \circ \Theta \circ i_1^{-1}:[/mm]
> U [mm]\rightarrow[/mm] Aut(V).
> So gilt G [mm]\rtimes_{\Theta}[/mm] H [mm]\cong[/mm] U [mm]\rtimes_{i_2 \circ \Theta \circ i_1^{-1}}[/mm]
> V
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 Fr 16.10.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo,
> Gut, dann versuche ein Gegenbeispiel zu konstruieren. Du hast ja selber das Beispiel $ [mm] S_{3}\cong A_{3}\rtimes \IZ_{2} [/mm] $ aufgebracht. Wenn es Dir gelingt die $ [mm] \IZ_{2} [/mm] $ auch "anders" auf $ [mm] A_{3} [/mm] $ operieren zu lassen, dann koenntest Du ein Gegenbeispiel finden. So viele Moeglichkeiten der Operation gibt es nicht.
[mm] A_3=<(123)>
[/mm]
[mm] Aut(A_3)=\{id, \phi\}\cong \mathbb{Z}_2 [/mm] wobei [mm] \phi((123))=(321), \phi((321))=(123)
[/mm]
Da [mm] S_3= A_3 \rtimes [/mm] <(12)> ist nach Skriptum die Abbildung [mm] \Theta: [/mm] <(12)> [mm] \rightarrow Aut(A_3), [/mm] h [mm] \rightarrow \Theta_h [/mm] ein Homomorphismus mit [mm] \Theta_h:A_3 \rightarrow A_3 [/mm] durch [mm] \Theta_h [/mm] (n)= h n [mm] h^{-1} [/mm] gegeben mit h [mm] \in [/mm] <(12)>, n [mm] \in A_3
[/mm]
Ich weiß nicht was ich nun genau machen soll?
Die eigentliche Frage ist ja:
Es steht im Skript ein "=" bei dem inneren semidirekten Produkt keine Isomorphie:
"Es ist [mm] S_n= A_n \rtimes [/mm] <(12)>. Da $ [mm] \{\epsilon, (12)\} \cong \IZ_2 [/mm] $ schreibt man auch $ [mm] S_n [/mm] $ =$ [mm] A_n \rtimes \mathbb{Z}_2, [/mm] $ "
Gibt es also einen Satz der besagt: Ist L das innere semidirekte Produkt von H,G und H [mm] \cong [/mm] U, G [mm] \cong [/mm] V.
So folgt L ist auch das innere semidirekte Produkt von U und V?
LG,
sissi
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> Die eigentliche Frage ist ja:
> Es steht im Skript ein "=" bei dem inneren semidirekten
> Produkt keine Isomorphie:
> "Es ist [mm]S_n= A_n \rtimes[/mm] <(12)>. Da [mm]\{\epsilon, (12)\} \cong \IZ_2[/mm]
> schreibt man auch [mm]S_n[/mm] =[mm] A_n \rtimes \mathbb{Z}_2,[/mm] "
In diesem Fall geht man ja von den offensichtlichen Einbettungen der [mm] $A_n$, [/mm] sowie [mm] $\langle (12)\rangle$ [/mm] nach [mm] $S_n$ [/mm] aus und meint, dass [mm] $S_n$ [/mm] das innere direkte Produkt dieser beiden ist. Daraus folgt insbesondere, dass [mm] $S_n\cong A_n\rtimes_\varphi\langle(12)\rangle$, [/mm] wobei [mm] $\langle(12)\rangle$ [/mm] vermittels [mm] $\varphi$ [/mm] durch Konjugation auf [mm] $A_n$ [/mm] wirkt (das geht, da [mm] $A_n$ [/mm] ein Normalteiler ist).
Hat man aber drei abstrakte, das heißt ohne weitere Beziehungen, Gruppen $G$, $H$ und $K$, so ist die Aussage [mm] $G\cong H\rtimes [/mm] K$ sinnlos. Es fehlt entweder die Information darüber, wie $H$ und $K$ nach $G$ eingebettet sind, sodass $G$ das semidirekte Produkt der Einbettungen ist, oder die Information, wie $K$ auf $H$ wirkt.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:09 Mo 19.10.2015 | | Autor: | sissile |
Danke, ist mir nun klar geworden.
Liebe Grüße,
sissi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:19 Sa 17.10.2015 | | Autor: | hippias |
Mein Vorschlag zielte darauf ab aus den Gruppen [mm] $A_{3}$ [/mm] und [mm] $\IZ_{2}$ [/mm] zwei nicht isomorphe semidirekte Produkte zu konstruieren. Dazu benoetigt man Operationen von [mm] $\IZ_{2}$ [/mm] auf [mm] $A_{3}$.
[/mm]
Eine solche ist gegeben durch die Einbettung von [mm] $A_{3}$ [/mm] in [mm] $S_{3}$ [/mm] und die Operation durch Konjugation mit einer Involution in der [mm] $S_{3}$; [/mm] dieses semidirekte Produkt ist isomorph zur [mm] $S_{3}$.
[/mm]
Nun wuerde ich gerne die [mm] $\IZ_{2}$ [/mm] anders auf [mm] $A_{3}$ [/mm] operieren lassen, sodass das zugehoerige semidirekte Produkt nicht isomoprh zur [mm] $S_{3}$ [/mm] ist.
Dazu ist es nuetzlich, dass Du bereits die Automorphismengruppe von [mm] $A_{3}$ [/mm] berechnet hast. Dein Ergebniss besagt, wenn [mm] $1\neq \alpha\in \IZ$, [/mm] dann gibt es fuer die Wirkung von [mm] $\alpha$ [/mm] auf [mm] $A_{3}$ [/mm] nur $2$ Moeglichkeiten:
1. [mm] $\alpha$ [/mm] induziert einen Automorphismus der Ordnung $2$ und das zugehoerige semidirekte Produkt ist die [mm] $S_{3}$ [/mm]
2. [mm] $\alpha$ [/mm] induziert... und das zugehoerige semidirekte Produkt...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Mo 19.10.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo hippias,
Ich möchte das unbedingt verstehen. Leider macht es nocht nicht klick.
Wir reden vom inneren semidirekten Produkt.
Sei [mm] \Theta: \mathbb{Z}_2 \rightarrow Aut(A_3) [/mm] ein Homomorphismus.
[mm] Aut(A_3)=\{id, \phi_2\} [/mm] wobei [mm] \phi_2 [/mm] die Erzeuger in [mm] A_3 [/mm] vertauscht.
Wenn [mm] $\alpha \not= \overline{\{0\}} \in \mathbb{Z}_2( [/mm] $Frage : dh. doch gleich [mm] \alpha=\overline{1} [/mm] oder?)
Fall 1) [mm] \alpha [/mm] induziert den Automorphismus [mm] \phi_2: A_3 \rightarrow A_3 [/mm] mit [mm] ord(\phi_2)=2 [/mm] in [mm] Aut(\mathbb{Z}_3)
[/mm]
Die Abbildung ist( [mm] \alpha \mapsto [/mm] (x [mm] \mapsto x^{-1})) [/mm] oder anders aufgeschrieben ( [mm] \alpha \mapsto [/mm] (x [mm] \mapsto [/mm] (12) x (12))
Die verknüpfung im äußere semidirekte Produkt im Fall 1: [mm] (\sigma_1, \overline{a})*(\sigma_2, \overline{b})=(\sigma_1 [/mm] * [mm] \Theta_{\overline{a}}(\sigma_2),\overline{a} [/mm] * [mm] \overline{b})
[/mm]
Für [mm] \overline{a}\not=\overline{0}
[/mm]
[mm] =(\sigma_1 [/mm] * [mm] (\sigma_2)^{-1},\overline{a} [/mm] * [mm] \overline{b})
[/mm]
Für [mm] \overline{a} [/mm] = [mm] \overline{0}
[/mm]
[mm] =(\sigma_1 *\sigma_2,\overline{a} [/mm] * [mm] \overline{b})
[/mm]
Frage :Wie ergibt sich nun: [mm] A_3 \rtimes_{\phi_2} \mathbb{Z}_2 \cong S_3 [/mm] ?
Fall 2) [mm] \alpha [/mm] induziert den Automorphismus id: [mm] A_3 \rightarrow A_3 [/mm] mit ord(id)=1 in [mm] Aut(\mathbb{Z}_3)
[/mm]
Die Abbildung ist [mm] (\alpha \mapsto [/mm] (x [mm] \mapsto [/mm] x)).
Die verknüpfung im äußere semidirekte Produkt im Fall 2: [mm] (\sigma_1, \overline{a})*(\sigma_2, \overline{b})=(\sigma_1 [/mm] * [mm] \Theta_{\overline{a}}(\sigma_2),\overline{a} [/mm] * [mm] \overline{b})
[/mm]
Da [mm] \overline{a}, \overline{b} \in \{0,1\}=\mathbb{Z}_2 [/mm] folgt:
[mm] =(\sigma_1 *\sigma_2, \overline{a}* \overline{b})
[/mm]
[mm] \Rightarrow A_3 \rtimes_{id} \mathbb{Z}_2 [/mm] = [mm] A_3 \times \mathbb{Z}_2 \cong \mathbb{Z}_3\times \mathbb{Z}_2 \cong \mathbb{Z}_6 [/mm] da ggt(3,2)=1
Frage :Wie schafft man da nun die Verbindung zum inneren semidirekten Produkt?
Frage :Bringt mich die Ordnung von [mm] \phi [/mm] weiter, da du sie angeschrieben hast?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:38 Di 20.10.2015 | | Autor: | hippias |
Nur eines vorneweg, damit wir nicht aneinander vorbeireden: es geht mir darum aus dem beiden Gruppen [mm] $A_{3}$ [/mm] und [mm] $\IZ_{2}$ [/mm] mittels aeusserer semidirekter Produktbildung nicht isomorphe Gruppen zu konstruieren. So habe ich die Fragestellung aufgefasst.
> Hallo hippias,
> Ich möchte das unbedingt verstehen. Leider macht es nocht
> nicht klick.
> Wir reden vom inneren semidirekten Produkt.
>
> Sei [mm]\Theta: \mathbb{Z}_2 \rightarrow Aut(A_3)[/mm] ein
> Homomorphismus.
> [mm]Aut(A_3)=\{id, \phi_2\}[/mm] wobei [mm]\phi_2[/mm] die Erzeuger in [mm]A_3[/mm]
> vertauscht.
>
> Wenn [mm]\alpha \not= \overline{\{0\}} \in \mathbb{Z}_2( [/mm]Frage
> : dh. doch gleich [mm]\alpha=\overline{1}[/mm] oder?)
Ja.
>
> Fall 1) [mm]\alpha[/mm] induziert den Automorphismus [mm]\phi_2: A_3 \rightarrow A_3[/mm]
> mit [mm]ord(\phi_2)=2[/mm] in [mm]Aut(\mathbb{Z}_3)[/mm]
> Die Abbildung ist( [mm]\alpha \mapsto[/mm] (x [mm]\mapsto x^{-1}))[/mm] oder
> anders aufgeschrieben ( [mm]\alpha \mapsto[/mm] (x [mm]\mapsto[/mm] (12) x
> (12))
> Die verknüpfung im äußere semidirekte Produkt im Fall 1:
> [mm](\sigma_1, \overline{a})*(\sigma_2, \overline{b})=(\sigma_1[/mm]
> * [mm]\Theta_{\overline{a}}(\sigma_2),\overline{a}[/mm] *
> [mm]\overline{b})[/mm]
>
> Für [mm]\overline{a}\not=\overline{0}[/mm]
> [mm]=(\sigma_1[/mm] * [mm](\sigma_2)^{-1},\overline{a}[/mm] * [mm]\overline{b})[/mm]
> Für [mm]\overline{a}[/mm] = [mm]\overline{0}[/mm]
> [mm]=(\sigma_1 *\sigma_2,\overline{a}[/mm] * [mm]\overline{b})[/mm]
>
> Frage :Wie ergibt sich nun: [mm]A_3 \rtimes_{\phi_2} \mathbb{Z}_2 \cong S_3[/mm]
> ?
Obwohl die Isomorphie fuer Deine Aufgabe nicht notwendig nachgewiesen werden muss (s.u.), hier ein Tip.
Die Gruppe ist nicht abelsch von der Ordnung $6$. Du koenntest ihre Operation durch Konjugation auf ihren $3$ Involutionen betrachten, um zu zeigen, dass sie [mm] $\cong S_{3}$ [/mm] ist.
>
>
> Fall 2) [mm]\alpha[/mm] induziert den Automorphismus id: [mm]A_3 \rightarrow A_3[/mm]
> mit ord(id)=1 in [mm]Aut(\mathbb{Z}_3)[/mm]
> Die Abbildung ist [mm](\alpha \mapsto[/mm] (x [mm]\mapsto[/mm] x)).
> Die verknüpfung im äußere semidirekte Produkt im Fall
> 2: [mm](\sigma_1, \overline{a})*(\sigma_2, \overline{b})=(\sigma_1[/mm]
> * [mm]\Theta_{\overline{a}}(\sigma_2),\overline{a}[/mm] *
> [mm]\overline{b})[/mm]
> Da [mm]\overline{a}, \overline{b} \in \{0,1\}=\mathbb{Z}_2[/mm]
> folgt:
> [mm]=(\sigma_1 *\sigma_2, \overline{a}* \overline{b})[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow A_3 \rtimes_{id} \mathbb{Z}_2[/mm] = [mm]A_3 \times \mathbb{Z}_2 \cong \mathbb{Z}_3\times \mathbb{Z}_2 \cong \mathbb{Z}_6[/mm]
> da ggt(3,2)=1
Genau: die zweite Konstruktion ist sogar zyklisch. Damit sind die beiden semidirekten Produkte keinesfalls isomorph, obwohl jeweils [mm] $A_{3}$ [/mm] und [mm] $\IZ_{2}$ [/mm] benutzt wurden. Aber zum semidirekten Produkt gehoert eben auch noch immer eine Gruppenoperation, die die Struktur mitbeeinflusst.
> Frage :Wie schafft man da nun die Verbindung zum inneren
> semidirekten Produkt?
>
>
> Frage :Bringt mich die Ordnung von [mm]\phi[/mm] weiter, da du sie
> angeschrieben hast?
>
Ich hoffe das sich diese Fragen nun eruebrigt haben. Das innere semidirekte Produkt gleicher Gruppen ist stets isomorph, sogar identisch, da der Homomorphismus stets durch die Konjugationsoperation auf dem Normalteiler vermittelt wird.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Fr 23.10.2015 | | Autor: | sissile |
Danke für die Antworten!
> Ich hoffe das sich diese Fragen nun eruebrigt haben. Das innere semidirekte Produkt gleicher Gruppen ist stets isomorph, sogar identisch, da der Homomorphismus stets durch die Konjugationsoperation auf dem Normalteiler vermittelt wird.
Da hätte ich einen Einwand:
Aber [mm] \mathbb{Z}_6 [/mm] ist doch INNERES direktes Produkt von Normalteilern die zu [mm] \mathbb{Z}_3 [/mm] und [mm] \mathbb{Z}_2 [/mm] isomorp sind und [mm] S_3 [/mm] wie vorhin gesehen inneres direktes Produkt eines Normalteilers und einer Untergruppe die zu [mm] \mathbb{Z}_3 [/mm] bzw. [mm] \mathbb{Z}_2 [/mm] isomorph sind. Es gilt doch [mm] \mathbb{Z}_6 [/mm] = [mm] \mathbb{Z}_3 \rtimes \mathbb {Z}_2 [/mm] und [mm] S_3= \mathbb{Z}_2 \rtimes \mathbb{Z}_2 [/mm] obwohl [mm] \mathbb{Z}_6 \not\cong S_3. [/mm]
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:30 Fr 23.10.2015 | | Autor: | hippias |
Du hast recht. Meine Aussage war nicht korrekt.
Was ich aber noch einmal festhalten moechte, ist, dass bei dem inneren semidirekten Produkt der Homomorphismus durch die Verknuepfung der Obergruppe festgelegt ist, naemlich durch Konjugation bezueglich der Verknuepfung in der Obergruppe. Bei der Konstruktion des aeusseren semidirekten Produktes hat man mehr Freiheiten.
Nun stimmt es hoffentlich!
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Erlaube mir, ein wenig Hintergrund zu liefern. Alles, was man braucht, ist den richtigen Begriff strukturverträglicher Isomorphismen. Dazu erklären wir ganz allgemein, was ein Homomorphismus zwischen zwei Gruppenwirkungen [mm] $\varphi\colon G\longrightarrow \operatorname{Aut}(X)$ [/mm] und [mm] $\psi\colon G'\longrightarrow\operatorname{Aut}(Y)$ [/mm] sei; hierbei können $X$ und $Y$ alle möglichen mathematischen Objekte (desselben Typs) sein. Man kann Gruppen nicht nur auf Mengen, oder Gruppen wirken lassen, sondern auf geometrische Objekte wie Würfel, topologische Räume, Körper, Körpererweiterungen, Vektorräume,... Beispielsweise wirkt die Galoisgruppe einer Körpererweiterung (quasi per Definition) auf diese Körpererweiterung.
Unter einem Homomorphismus von Gruppenwirkungen verstehen wir ein Paar bestehend aus einem Gruppenhomomorphismus [mm] $f_1\colon G\longrightarrow [/mm] G'$ und einem Morphismus [mm] $f_2\colon X\longrightarrow [/mm] Y$, derart, dass für alle [mm] $g\in [/mm] G$ die Gleichheit [mm] $\psi(f_1(g))\circ f_2=f_2\circ \phi(g)$ [/mm] gilt.
Beachte, dass die Identität [mm] $(\operatorname{id},\operatorname{id})$ [/mm] stets ein Homomorphismus einer Gruppenwirkung in sich selbst ist. Falls wir einen weiteren Homomorphismus [mm] $(f_1',f_2')$ [/mm] von [mm] $G'\longrightarrow\operatorname{Aut}(Y)$ [/mm] nach [mm] $\theta G''\longrightarrow\operatorname{Aut}(Z)$ [/mm] ist, so ist auch die Komposition [mm] $(f_1'\circ f_1,f_2'\circ f_2)$ [/mm] ein Gruppenwirkungs-Homomorphismus: Es gilt dann
[mm] $\theta((f_1'\circ f_1)(g))\circ (f_2'\circ f_2)=\theta(f_1'(f_1(g)))\circ f_2'\circ f_2=f_2'\circ\psi(f_1(g))\circ f_2=f_2'\circ f_2\circ\varphi(g)$.
[/mm]
In anderen Worten bilden die Gruppenwirkungen eine ![[]](/images/popup.gif) Kategorie.
Falls [mm] $f_1$ [/mm] und [mm] $f_2$ [/mm] Isomorphismen sind, so ist auch [mm] $(f_1^{-1},f_2^{-1})$ [/mm] ein Gruppenwirkungshomomorphismus in die umgekehrte Richtung und die Komposition mit [mm] $(f_1,f_2)$ [/mm] ergibt die Identität:
Sei [mm] $g'\in [/mm] G'$. Wir setzen [mm] $g=f_1^{-1}(g')$. [/mm] Aus [mm] $\psi(f_1(g))\circ f_2=f_2\circ\varphi(g)$ [/mm] folt dann [mm] $\psi(g')\circ f_2=f_2\circ\varphi(f_1^{-1}(g')$, [/mm] also [mm] $f_2^{-1}\circ\psi(g')=$\varphi(f_1^{-1}(g'))\circ f_2^{-1}$.
[/mm]
Falls $X$ und $Y$ Gruppen sind, ordnet das semidirekte Produkt jeder Gruppenwirkung [mm] $\varphi\colon G\longrightarrow\operatorname{Aut}(X)$ [/mm] eine Gruppe [mm] $X\rimtes_\varphi [/mm] G$ zu (die Bezeichnungen sind jetzt leider etwas von denen aus deiner Frage verschieden).
Es ordnete aber auch jedem Gruppenwirkungshomomorphismus [mm] $(f_1,f_2)$ [/mm] wie oben einen Gruppenhomomorphismus [mm] $h\colonX\rtimes_\varphi G\longrightarrow Y\rtimes_\psi [/mm] G'$, [mm] $(x,g)\longmapsto(f_2(x),f_1(g))$ [/mm] zu: Es gilt
[mm] $h((x_1,g_1)\cdot(x_2,g_2))=h(x_1\cdot\varphi_{g_1}(x_2),g_1g_2)=(f_2(x_1\cdot\varphi(g_1)(x_2)),f_1(g_1\cdot g_2))=(f_2(x_1)\cdot (f_2\circ \varphi(g_1))(x_2),f_1(g_1),f_2(g_2))=(f_2(x_1)\cdot(\psi(f_1(g_1))\circ f_2)(x_2)),f_1(g_1)f_1(g_2)=(f_2(x_1)\cdot\psi_{f_1(g_1)}(f_2(x_2)),f_1(g_1)\cdot f_1(g_2)=(f_2(x_1),f_1(g_1))\cdot(f_2(x_2),f_1(g_2))=h(x_1,g_1)\cdot h(x_2,g_2)$.
[/mm]
Dabei ist diese Zuordnung offensichtlich verträglich mit Identitäten und Komposition. Hieraus ergibt sich insbesondere, dass wenn zu [mm] $(f_1,f_2)$ [/mm] ein inverser Gruppenwirkungshomomorphismus existiert, auch zu dem zugeordneten Gruppenhomomorphismus ein Inverser existiert.
Die Überlegungen zeigen, dass das semidirekte Produkt ein Funktor von der Kategorie der Gruppenwirkungen auf Gruppen in die Kategorie der Gruppen ist. Funktoren verwandeln immer Isomorphismen in Isomorphismen.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:59 Mo 19.10.2015 | | Autor: | sissile |
Danke für die vielen Hintegrundinfos.
In den Ferien werde ich mir das genauer anschauen. Ich weiß nicht wann ich Klassen, Funktor usw. in meinem Studium kennenlernen werde.
Liebe Grüße,
Sissi
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