Separable Körpererweiterung < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:48 Mi 16.04.2008 | | Autor: | Leni-H |
Hi Leute!
Kann mir jemand von euch ein Beispiel für eine inseparable Erweiterung geben? Das wär super!
LG Leni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:22 Mi 16.04.2008 | | Autor: | anstei |
Hallo Leni,
[mm] \IQ [/mm] und endliche Körper sind perfekt, d.h. alle ihre algebraischen Körpererweiterungen sind separabel. Für ein Beispiel einer inseparablen Körpererweiterung muss man also etwas weiter suchen.
Betrachte einmal den Körper [mm] \IF_p(X^p) [/mm] für eine Primzahl p. Wie sieht das Minimalpolynom von X in diesem Körper aus? Wenn du es gefunden hast, finde eine Körpererweiterung von [mm] \IF_p(X^p), [/mm] in dem das Polynom in (gleiche) Linearfaktoren zerfällt -- Ist diese Körperweiterung separabel oder nicht?
LG,
Andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 Mi 16.04.2008 | | Autor: | Leni-H |
Hm, sorry, das verstehe ich jetzt leider nicht so ganz :-(
Kann man eigentlich nicht sagen, dass eine micht algebraische Erweiterung nicht separabel ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:25 Mi 16.04.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Hm, sorry, das verstehe ich jetzt leider nicht so ganz :-(
anstei hat doch im prinzip schon alles gesagt: [mm] $\mathbb{F}_p(X^p) \subset \mathbb{F}_p(X)$ [/mm] ist eine körpererweiterung (ist dir klar, dass es sich um körper handelt, wie diese körper aussehen und das die angegeben inklusion gilt?). welches polynom $f [mm] \in \mathbb{F}_p(X^p)[T]$ [/mm] wird dann von $X$ erfüllt?
> Kann man eigentlich nicht sagen, dass eine micht
> algebraische Erweiterung nicht separabel ist?
nein, warum sollte man? [mm] $\mathbb{Q}(X)/\mathbb{Q}$ [/mm] ist nicht algebraisch (klar?), jedoch separabel, da [mm] $\mathbb{Q}$ [/mm] charakteristik $0$ hat und somit perfekt ist.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:56 Do 17.04.2008 | | Autor: | Leni-H |
Hallo!
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> > Hm, sorry, das verstehe ich jetzt leider nicht so ganz :-(
>
> anstei hat doch im prinzip schon alles gesagt:
> [mm]\mathbb{F}_p(X^p) \subset \mathbb{F}_p(X)[/mm] ist eine
> körpererweiterung (ist dir klar, dass es sich um körper
> handelt, wie diese körper aussehen und das die angegeben
> inklusion gilt?). welches polynom [mm]f \in \mathbb{F}_p(X^p)[T][/mm]
> wird dann von [mm]X[/mm] erfüllt?
>
>Also mir ist klar, dass [mm]\mathbb{F}_p(X^p) \subset \mathbb{F}_p(X)[/mm] eine Körpererweiterung ist.
Das Minimalpolynom von X über [mm] \IF_{p}(X^{p})[T] [/mm] ist [mm] T^{p}-X^{p}.
[/mm]
Und jetzt weiß ich aber nicht ganz, wie ich weiter denken muss. Separabel würde ja bedeuten, dass das Minimalpolynom nur einfache Nullstellen hat. Und wie kann ich jetzt das Gegenteil zeigen?
> > Kann man eigentlich nicht sagen, dass eine micht
> > algebraische Erweiterung nicht separabel ist?
>
> nein, warum sollte man? [mm]\mathbb{Q}(X)/\mathbb{Q}[/mm] ist nicht
> algebraisch (klar?), jedoch separabel, da [mm]\mathbb{Q}[/mm]
> charakteristik [mm]0[/mm] hat und somit perfekt ist.
Aber ich dachte immer, dass gelten muss perfekter Körper + algebraische Erweiterung, damit man von separabel sprechen kann. Ist das falsch?
>
LG Leni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:21 Do 17.04.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> >Also mir ist klar, dass [mm]\mathbb{F}_p(X^p) \subset \mathbb{F}_p(X)[/mm]
> eine Körpererweiterung ist.
> Das Minimalpolynom von X über [mm]\IF_{p}(X^{p})[T][/mm] ist
> [mm]T^{p}-X^{p}.[/mm]
> Und jetzt weiß ich aber nicht ganz, wie ich weiter denken
> muss. Separabel würde ja bedeuten, dass das Minimalpolynom
> nur einfache Nullstellen hat. Und wie kann ich jetzt das
> Gegenteil zeigen?
bedenke, dass in körpern der charakteristik $p$ der frobeniushomomorphismus $x [mm] \longmapsto x^p$ [/mm] ein (wie der name schon sagt) homomorphismus ist.
> Aber ich dachte immer, dass gelten muss perfekter Körper +
> algebraische Erweiterung, damit man von separabel sprechen
> kann. Ist das falsch?
nein, natürlich nicht, siehe felix' mitteilung.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Do 17.04.2008 | | Autor: | Leni-H |
> hi
>
> > >Also mir ist klar, dass [mm]\mathbb{F}_p(X^p) \subset \mathbb{F}_p(X)[/mm]
> > eine Körpererweiterung ist.
> > Das Minimalpolynom von X über [mm]\IF_{p}(X^{p})[T][/mm] ist
> > [mm]T^{p}-X^{p}.[/mm]
> > Und jetzt weiß ich aber nicht ganz, wie ich weiter
> denken
> > muss. Separabel würde ja bedeuten, dass das Minimalpolynom
> > nur einfache Nullstellen hat. Und wie kann ich jetzt das
> > Gegenteil zeigen?
>
> bedenke, dass in körpern der charakteristik [mm]p[/mm] der
> frobeniushomomorphismus [mm]x \longmapsto x^p[/mm] ein (wie der name
> schon sagt) homomorphismus ist.
>
Ok, aber auf welchen Körper muss ich diesen Gedanken jetzt übertragen?
Tut mir wirklich voll leid, aber ich komm einfach nicht dahinter.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:26 Do 17.04.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Ok, aber auf welchen Körper muss ich diesen Gedanken jetzt
> übertragen?
> Tut mir wirklich voll leid, aber ich komm einfach nicht
> dahinter.
besser hätte ich nicht körper geschrieben, sondern integritätsring. die verträglichkeit mit der addition gilt also auch insbesondere in [mm] $\mathbb{F}_p(X)[T]$.
[/mm]
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:18 Do 17.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Andreas
> > Kann man eigentlich nicht sagen, dass eine micht
> > algebraische Erweiterung nicht separabel ist?
>
> nein, warum sollte man? [mm]\mathbb{Q}(X)/\mathbb{Q}[/mm] ist nicht
> algebraisch (klar?), jedoch separabel, da [mm]\mathbb{Q}[/mm]
> charakteristik [mm]0[/mm] hat und somit perfekt ist.
Warum sollte diese Erweiterung separabel sein? Bzw. was verstehst du unter einer separablen nicht-algebraischen Erweiterung? Welche Eigenschaften soll die haben? Meines Wissens ist der Begriff erstmal nur fuer algebraische Erweiterungen definiert. Insofern waere die Erweiterung dann nicht separabel, allerdings kein interessantes Beispiel fuer eine nicht-separable Erweiterung :)
Und zu perfekten Koerper: bei einem perfekten Koerper sind nur alle algebraischen Erweiterungen separabel, nicht alle beliebigen!
Man kann ja auch die Erweiterung $K = [mm] \IF_p(X)[Y] [/mm] / [mm] (Y^p [/mm] - X)$ betrachten; diese ist nicht algebraisch und [mm] $\IF_p$ [/mm] ist perfekt (also nach deinem Argument auch separabel?). Die Untererweiterung $K / [mm] \IF_p(X)$ [/mm] ist jedoch nicht separabel. (Sie ist uebrigens als [mm] $\IF_p$-Algebra [/mm] isomorph zu der inseparablen Erweiterung [mm] $\IF_p(X) [/mm] / [mm] \IF_p(X^p)$.)
[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:18 Do 17.04.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Warum sollte diese Erweiterung separabel sein? Bzw. was
> verstehst du unter einer separablen nicht-algebraischen
> Erweiterung? Welche Eigenschaften soll die haben? Meines
> Wissens ist der Begriff erstmal nur fuer algebraische
> Erweiterungen definiert.
du hast natürlich recht. irgendwie habe ich gar nicht über den begriff nachgedacht, sondern nur aus reflex heraus an die perfektheit von [mm] $\mathbb{Q}$ [/mm] gedacht.
grüße
andreas
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