Separation der Variablen < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:59 Do 18.04.2013 | | Autor: | blubblub |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle auf ganz [mm] \IR [/mm] definierten Lösungen von:
[mm] y'=\wurzel[3]{y}, [/mm] y(0)=0 |
Hallo ihr Lieben,
ich sitze im Moment an dieser Aufgabe und habe folgendes schon raus:
Das AWP besitzt die Nullfunktion als eine konstante Lösung.
Definiere nun eine Funktion f mit f(x)=1 und eine Funktion g mit [mm] g(y)=\wurzel[3]{y} [/mm]
Dann hab ich gezeigt, dass [mm] \integral_{0}^{y}{{s}^{\bruch{-1}{3}} ds} [/mm] existiert. Nun kann ich den Satz Separation der Variablen anwenden:
[mm] \bruch{3}{2}(phi (x))^{\bruch{2}{3}}=x [/mm]
So jetzt habe ich hier schon eine Frage soll ich die konstante c beachten sprich F(x)=x+c
Nun ich habe sie jetzt erstmals nicht beachtet:
und hab am Ende φ(x)= +/- [mm] \wurzel[2]{(\bruch{2}{3} x)^{3}}
[/mm]
Laut dem Satz ist φ(x) aber eindeutig ... In meinem Fall aber nicht. Was bedeutet dies?
Danke schon mal
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Hallo,
> Bestimmen Sie alle auf ganz [mm]\IR[/mm] definierten Lösungen von:
> [mm]y'=\wurzel[3]{y},[/mm] y(0)=0
> Hallo ihr Lieben,
>
> ich sitze im Moment an dieser Aufgabe und habe folgendes
> schon raus:
> Das AWP besitzt die Nullfunktion als eine konstante
> Lösung.
> Definiere nun eine Funktion f mit f(x)=1 und eine Funktion
> g mit [mm]g(y)=\wurzel[3]{y}[/mm]
> Dann hab ich gezeigt, dass
> [mm]\integral_{0}^{y}{{s}^{\bruch{-1}{3}} ds}[/mm] existiert. Nun
> kann ich den Satz Separation der Variablen anwenden:
> [mm]\bruch{3}{2}(phi (x))^{\bruch{2}{3}}=x[/mm]
>
> So jetzt habe ich hier schon eine Frage soll ich die
> konstante c beachten sprich F(x)=x+c
>
> Nun ich habe sie jetzt erstmals nicht beachtet:
>
> und hab am Ende φ(x)= +/- [mm]\wurzel[2]{(\bruch{2}{3} x)^{3}}[/mm]
>
> Laut dem Satz ist φ(x) aber eindeutig ... In meinem Fall
> aber nicht. Was bedeutet dies?
Hm, ich habe das so im Kopf, dass Eindeutigkeit nur dann gegeben ist, wenn [mm] f(0)\ne{0} [/mm] vorgegeben ist.
Deine Lösung ist übrigens richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Insbesondere brauuchst du mit deiner Methode keine Integrationhskonstante, da du ja im Prinzip bestimmt integrerst).
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:43 Do 18.04.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du richtig das c noch dazunimmst hast du mehr Lösungen, du kannst von 0 aus mit y=0 bis x1 gehen, dort dann mit [mm] y=(2/3*x+c)^{3/2} [/mm] weiter, mit geeignetem c
d.h. du hast mit dem Anfangswert unendlich viele Lösungen
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:34 Do 18.04.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du richtig das c noch dazunimmst hast du mehr Lösungen, du kannst von 0 aus mit y=0 bis x1 gehen, dort dann mit [mm] y=(2/3x+c)^{3/2} [/mm] weiter, mit geeignetem c
d.h. du hast mit dem Anfangswert unendlich viele Lösungen
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:48 Fr 19.04.2013 | | Autor: | blubblub |
Vielen Dank für eure Antworten
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