Sherman-Morrison-Formel < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:16 Do 01.07.2010 | | Autor: | handbag |
| Aufgabe | Mit der Sherman-Morrison-Formel bestimme man die Inverse von
B: [mm] \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
1&1&0\\
1&0&1
\end{pmatrix}
[/mm]
Als Bezugsmatrix verwende man A= [mm] \begin{pmatrix}
1&1&1\\
1&1&0\\
1&0&-1
\end{pmatrix} [/mm] mit
A-1 = [mm] \begin{pmatrix}
0&0&1\\
0&1&-1\\
1&-1&0
\end{pmatrix} [/mm] |
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Ich wollte jetzt u und v (transponiert) ausrechnen und habe B-A berechnet
[mm] \begin{pmatrix}
0&0&0\\
0&0&0\\
0&0&-1
\end{pmatrix}
[/mm]
berechnet. Ich weiß jetzt nicht genau wie ich daraus u und v bekomme. Würde jetzt tippen, dass u= [mm] \begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{pmatrix} [/mm] Also die 1 Spalte von A-1 . Is das eigentlich immer so?
und v wäre bei mir dann die 3te Spalte von B-A also [mm] \begin{pmatrix}
0\\
0\\
-1
\end{pmatrix}
[/mm]
transponiert dann ( 0 0 -1)
Gibt es da ne Regel die man immer anwenden kann um u und v zu bestimmen? Ich hab da irgendwie immer was anderes gefunden.
--------
Wir hatten z. b auch ne Matrix bei der B-a [mm] \begin{pmatrix}
0&0&2\\
0&0&0\\
0&0&0
\end{pmatrix}
[/mm]
und da war vtransponiert dann komischerweise die 3te spalte (0 0 2) warum eigentlich so rum und nicht (2 0 0 ) ?
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:35 Do 01.07.2010 | | Autor: | handbag |
Kann es sein dass ich erst gucken muss, an welcher Stelle die beiden Matrizen A und B abweichen (hier 3te Spalte) und dass ich die dann in der Matrix B-A als vt nehme und die anhängende 3te Zeile dann als u?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:09 Do 01.07.2010 | | Autor: | handbag |
v (transponiert) ist die Zeile in das andere element steht nur aus der Matrix B-A
woher bekomm ich u??? Aus A-1 ok aber woher weiß ich welche Spalte ?
Hilfe ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:11 Do 01.07.2010 | | Autor: | handbag |
ok also für u gucke ich dann in der A-1 Matrix in der Zeile in der das element ist das die beiden matrizen unterscheidet und schaue ob in der Zeile ne 1 steht und nehme dann die Spalte mit dieser 1 ???
Stimmt das ?
Wahrscheinlich schreibt eh keiner, dann red ich halt mit mir selbst :(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:34 Do 01.07.2010 | | Autor: | max3000 |
Mein Beitrag zu dem ganzen:
[mm] \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1&1&0\\ 1&0&1 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] A+\vektor{0 \\ 0 \\ 1}*\vektor{0 & 0 & 2}
[/mm]
[mm] A^{-1} [/mm] hast du gegeben, [mm] u=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}, v=\vektor{0 \\ 0 \\ 2} [/mm] und das ganze musst du nur in die Shermann Morrison Formel einsetzen, wie hier beschrieben:
![[]](/images/popup.gif) http://en.wikipedia.org/wiki/Sherman%E2%80%93Morrison_formula
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:04 Do 01.07.2010 | | Autor: | handbag |
ok, das hab ich jetzt gemacht:
B-A = [mm] \begin{pmatrix}
0&0&0\\
0&0&0\\
0&0&2
\end{pmatrix}
[/mm]
A-1*u = [mm] \begin{pmatrix}
0&0&1\\
0&1&-1\\
1&-1&0
\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}
0\\
0\\
1\\
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
1\\
-1\\
0\\
\end{pmatrix}
[/mm]
vt*A-1*u = [mm] \begin{pmatrix}
0 & 0 &2 \\
\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}
1\\
-1\\
0
\end{pmatrix}=0
[/mm]
vt*A-1 = (0 0 2) [mm] *\begin{pmatrix}
0&0&1\\
0&1&-1\\
1&-1&0
\end{pmatrix}= [/mm]
(2 -1 0)
B-1= [mm] \begin{pmatrix}
1 & 1&1\\
1&1&0\\
1&0&1
\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}
0\\
0\\
1
\end{pmatrix}* [/mm] (0 0 2) = 2 <-- Was mach ich mit der 2 ?
B-1= [mm] \begin{pmatrix}
1&1&1\\
1&1&0\\
1&0&1
\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}
0&0&0\\
0&0&0\\
0&0&2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1&1&1\\
1&1&0\\
1&1&-1
\end{pmatrix}
[/mm]
Könnte da mal jemand drübergucken und mir sagen ob das so stimmt und was ich mit der 2 mache? Wär lieb
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:23 Do 01.07.2010 | | Autor: | max3000 |
> ok, das hab ich jetzt gemacht:
>
> B-A = [mm]\begin{pmatrix}
0&0&0\\
0&0&0\\
0&0&2
\end{pmatrix}[/mm]
>
> A-1*u = [mm]\begin{pmatrix}
0&0&1\\
0&1&-1\\
1&-1&0
\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}
0\\
0\\
1\\
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
1\\
-1\\
0\\
\end{pmatrix}[/mm]
>
> vt*A-1*u = [mm]\begin{pmatrix}
0 & 0 &2 \\
\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}
1\\
-1\\
0
\end{pmatrix}=0[/mm]
>
> vt*A-1 = (0 0 2) [mm]*\begin{pmatrix}
0&0&1\\
0&1&-1\\
1&-1&0
\end{pmatrix}=[/mm]
> (2 -1 0)
>
Das ist falsch. Richtig müsste es [mm] \vektor{2 & -2 & 0} [/mm] ergeben.
Und ab hier versteh ich auch nicht mehr was du weiter machst. Was ist immer dieses B-1 und so? Du meinst doch [mm] B^{-1} [/mm] und so oder?
Du musst jetzt noch [mm] A^{-1}uv^TA^{-1} [/mm] ausrechnen und dann das durch [mm] 1+v^TA^{-1}u [/mm] teilen, wobei der zweite Summand ja davon 0 ist.
Und das ganze dann von dem gegebenen [mm] A^{-1} [/mm] abziehen.
>
> B-1= [mm]\begin{pmatrix}
1 & 1&1\\
1&1&0\\
1&0&1
\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}
0\\
0\\
1
\end{pmatrix}*[/mm]
> (0 0 2) = 2 <-- Was mach ich mit der 2 ?
Das sollte keine 2 ergeben. Spaltenvektor * Zeilenvektor ergibt ne Matrix. Nicht skalarprodukt wie du wahrscheinlich gemacht hast. Hier brauchst du das dyadische Produkt.
>
> B-1= [mm]\begin{pmatrix}
1&1&1\\
1&1&0\\
1&0&1
\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}
0&0&0\\
0&0&0\\
0&0&2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1&1&1\\
1&1&0\\
1&1&-1
\end{pmatrix}[/mm]
>
>
> Könnte da mal jemand drübergucken und mir sagen ob das so
> stimmt und was ich mit der 2 mache? Wär lieb
Sowas kannst du eigentlich selbst prüfen indem du geeignete Software einsetzt. Ich hab grad eben auch nur mit Gnu Octave überprüft (die kostenlose alternative zum überteuertem Matlab). Geht aber sicherlich auch mit Computeralgebrasystemen wie Mathematica oder Maple.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:13 Do 01.07.2010 | | Autor: | handbag |
ok, ich habs jetzt verstanden. Irgendwie fehlen da schritte in meinen Aufzeichnungen.
Danke dir für deine Hilfe.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:23 Do 01.07.2010 | | Autor: | handbag |
Sorry das vorige war unten falsch:
B-1 = [mm] \begin{pmatrix}
0&0&1\\
0&1&-1\\
1&-1&0
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
1\\
-1\\
0
\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}
2&-2&0)
\end{pmatrix}=4
[/mm]
Damit wär dann B-1 = [mm] \begin{pmatrix}
0&0&1\\
0&1&-1\\
1&-1&0
\end{pmatrix} [/mm] * [mm] \begin{pmatrix}
1&1&1\\
1&1&0\\1&0&1
\end{pmatrix}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:30 Do 01.07.2010 | | Autor: | max3000 |
> Sorry das vorige war unten falsch:
>
> B-1 = [mm]\begin{pmatrix}
0&0&1\\
0&1&-1\\
1&-1&0
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
1\\
-1\\
0
\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}
2&-2&0)
\end{pmatrix}=4[/mm]
Nochmal: Spaltenvektor * Zeilenvektor = Matrix. Du nimmst das Skalarprodukt. Das ist aber falsch. Das würde auch gar nicht mehr mit den Dimensionen stimmen. Matrix "minus" Skalar ist gar nicht definiert.
Es gilt:
[mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 0}*\vektor{2 & -2 & 0}=\pmat{2 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
|
|
|
|
