Sichtstrahl auf einen Körper < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:54 Fr 21.04.2006 | | Autor: | kresse |
| Aufgabe | | Gegeben ist ein Würfel, von dessen Flächen die Normalvektoren gegeben sind. Weiters ist ein Sichtstrahl (=Vektor) gegeben, der auf den Würfel gerichtet ist. Welche Flächen, und was von den Flächen ist sichtbar? |
Hallo,
ich (und meine Klasse) stehe/n kurz vor meiner/unserer Matura, und das scheint eine mögliche Aufgabenstellung zu werden - deshalb ist leider nur die theoretische Behandlung möglich ohne Zahlen. Die Frage, welche Flächen sichtbar sind, kann man - so glauben wir - mit dem skalaren Produkt herausfinden (stumpfer Winkel = nicht sichtbar). Doch die Frage, wieviel bzw. was von den Flächen sichtbar ist, können wir bis jetzt nicht beantworten.
Hat jemand Ideen, oder Anregungen zum Weiterdenken?
Danke und liebe Grüße,
Jasmin
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:30 Fr 21.04.2006 | | Autor: | Andrey |
hi jasmin!
die überlegung mit dem scalarprodukt war völlig richtig, für den fall, dass ihr eine parallelprojektion von dem würfel durchführt (in diesem fall interpretiere ich "was zu sehen ist" als das, was auf einer zum sichtsstrahl orthogonalen Ebene bei einer parallelprojektion abgebildet wird) Bei einer perspektivischen projektion (wie zB bei meisten 3D pc spielen) wäre die sache etwas komplizierter.
um zu bestimmen, ob eine fläche des würfels sichtbar ist oder nicht, muss man den normierten normalenvektor [mm] \vec{n_1} [/mm] von der würfelfläche mit dem normierten sichtsvektor [mm] \vec{s_1} [/mm] multiplizieren
[mm] k=\vec{n_1}*\vec{s_1}
[/mm]
wenn k < 0 ist, dann ist die fläche zu sehen, wenn k [mm] \ge [/mm] 0 ist, dann ist die fläche nicht zu sehen
die fragestellung "wieviel" von der fläche zu sehen ist, ist mir nicht ganz klar, denn, solange der würfel nicht von anderen objekten verdeckt wird, und k<0 ist, ist die ganze fläche zu sehen, obwohl sie "verzerrt" ist.
Ich kann mir aber vorstellen, dass man evtl wissen möchte, wie groß der flächeninhalt der abgebildeten fläche bei einer parallelprojektion im verhältnis zu dem tatsächlichen flächeninhalt der würfelfläche ist.
Ganz anschaulich= wie viel farbe brauche ich, um eine rote parallelprojezierte würfelfläche zu zeichnen, wenn ich weiss, dass die tatsächliche fläche 5x5 cm² gross ist, und ihr normalenvektor [mm] \vec{n_1} [/mm] im winkel von [mm] \alpha=45° [/mm] zu dem sichtsvector [mm] \vec{s_1} [/mm] steht?
Lösung:
[mm] A'=-A*cos(\alpha)=-A*[\vec{n_1}*\vec{s_1}]
[/mm]
Beispiel:
180° => sichtsvektor trifft orthogonal auf die würfelfläche => cos(0)=-1 => A'=-A*-1=A
135° => cos(135°)=-0.707 => A'=A*0.707
90° => cos(90°)=0 => A'=0
gl hf bei matura
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:44 Fr 21.04.2006 | | Autor: | kresse |
hallo,
danke für deine hilfe! bei der ganzen sache geht es tatsächlich um beispielsweise 3d animationen/spiele/etc. - was eben die perspektivische projektion benötigen würde. aber ich hoffe mal, das man das ausschließen kann
auf die normalprojektion einer fläche sind wir auch schon gekommen - gut, dass du das bestätigen konntest. zu deiner frage, wieviel zu sehen ist, könnte ich mir auch vorstelln dass zb ein würfel und eine pyramide kollidieren, und somit die flächen der objekte nicht mehr vollständig sichtbar sind. die frage ist jetzt, is das mathematisch noch sinnvoll/im denkbaren rahmen lösbar?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:36 Sa 22.04.2006 | | Autor: | Andrey |
Hi jasmin!
Wenn es dir(deiner klasse) tatsächlich um perspektivische projektion (3D egoshooter etc) geht, sieht die ganze sache schon um einiges komplizierter aus, zum glück habe ich hier ein paar bücher über 3D spiele programmierung rumliegen, in denen es fast ausschlieslich um diese ganze analytische geometrie und darstellung von 3D objekten geht, da ist nahezu alles zu finden, auch wie man des hinbekommt, dass der würfel von einem dutzend halbdurchsichtigen zerkratzten und verbeulten ikosaedern aus grünem glas überdeckt wird. Weis zwar nicht mehr, in welchen büchern wo was ist, jedoch hoffe ich, dass ich morgen ( 22.20.2006 ) eine mehr oder weniger einfache lösung für dein problem formuliert habe.
soviel kann ich aber jetzt schon sagen, in wörtern, ohne formeln:
1. Wenn ihr eine gute lösung für alle ähnliche fälle finden wollt, rechnet nicht mit würfeln, sondern betrachtet nur dreiecke (polygongrafik roxxx :D )
2. Vereinfacht: Projektion eines punktes (punkt~vertex):
erst koordinaten des vertex in die relative koordinaten zu eurer "kamera" umrechnen (-> sichtstrahl gegeben -> mit ein paar verschiebungen und rotationen krigt man die koordinaten im zum beobachter relativem system -> siehe affine abbildungen) [meist nur in spielen, nicht in matheaufgaben von bedeutung]
x und y koordinaten werden bei der projektion durch die entfernung (tiefe z) geteilt x'=x/z y'=y/z
3. entscheiden, ob dreieck zu sehen ist oder nicht: skalarprodukt hilft nix :(
sondern:
wenn man zB ein dreick ABC benennt (gegen uhrzeigersinn) , und der von oben sichtbar ist, dann muss man erst drei ecken auf das bildschirm projizieren, und dann schauen, ob die punkte A'B'C' IM uhrzeigersinn oder GEGEN den uhrzeigersinn angeordnet sind (IM=unsichtbar GEGEN=sichtbar) oder anders:
man bildet eine ebene E aus spannvektoren [mm] \vec{A'B'} [/mm] und einem normalenvektor zur projektionsebene [mm] \vec{n} [/mm] , und gugt, ob C' OBERHALB der ebene oder UNTERHALB der ebene ist (-> hessesche Ebene-normalenform ohne betragsstriche!!! [normieren auch scheisegal, wenn man genauer überlegt :D ])
4. verdeckte dreiecke 1: ZBuffer=ein teil des graphikkartetreibers überschreibt die weit entfernten punkte mit näheren punkten=> da kann man eigentlich ohne genaue mathematische lösung auskommen
4. verdeckte dreiecke 2: mfg... kA wie das eigentlich exakt UND schnell berechnet werden kann, aber exakt gehts irgendwie so:
1). 3 ecken von dreieck ABC projezieren
2) einen punkt D von DEF projezieren
3a) um des dreieck A'B'C' ein "prisma" bauen, das ortho zu der projektionsebene steht, durch die abstandsberechnungen zu ebenen rausfummeln, ob der punkt D' im A'B'C' liegt oder nicht
3b) voll amok: winkeln A'D'B' B'D'C' und C'D'A' addieren un guggn, ob des 180° sind oder nicht, zu langsam, zu kompliziert, aber geht...
3c) meiner meinung nach die beste lösung: (kam selbst druf in einer mathearbeit *stolz* :D , hat aber 100% einer vor mir erfunden hehe )
[mm] \vec{D'}=t*\vec{A'B'}+s*\vec{A'C'} [/mm] ausdrücken, und guggn, dass [mm] s+t\le1 [/mm] und t [mm] \ge [/mm] 0 und s [mm] \ge [/mm] 0 = im prinzip A'B'C' als ein schräges 2D koordinatensystem nehmen und guggn, ob D' in einem (0|0|0)-(1|0|0)-(0|1|0) dreieck drin ist
5) checken, ob D vor der ABC-Ebene ist etc...
6) evtl 4)-5) vertauschen, geht schneller und so...
so, das sind ein paar denkanstösse, könnn evtl hilfreich sein, können auch fehler drinsein kA, ich geh pennen...
*22.20.2006 vorgenommene änderungen:
habs gestern vergessen, die projezierten punkte A'B'C'D' von den ganz normalen 3D punkten ABCD zu unterscheiden, dies machte die erklärung schwer- (bzw un-) verständlich.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:53 Sa 22.04.2006 | | Autor: | kresse |
guten morgen!
danke danke danke für deine große hilfe! ich versuch jetzt nochmal, das ganze mit fachvokabeln zu beschreiben, nachdem du - glaube ich - auf dem gebiet gut bist.
tatsächlich geht es hierbei um spatial partitioning, was wir händisch durchfühgen müssen. anzunehmender weise werden es 2 objekte sein (würfel + tetraeder = nur mathematisch "einfache", also keine kugel), die wir mittels einem oct-tree am papier zuerst zerlegen müssen.
z-buffering etc. können wir nicht verwenden, weil wir ebn keine grafikkarte sind :) haben natürlich schon überlegt, uns diese fähigkeit anzueignen bis dahin - nein, spaß beiseite. beeilen brauchst du dich mehr oder minder nicht, eine woche ist dafür bestimmt noch zeit!
weiters glaub ich, dass wir bei dem ganzen mit schulmathematik auskommen sollten - da dies keine prüfung in mathe ist, sondern eines von vielen multimedia fächern - und 1. das verfahren priorität hat (verstanden/nicht verstanden) und 2. unsere mathe lehrerin nur simple vektorrechnung mit uns dafür wiederholt hat (sie kennt die angabe vom multi-fach), aber natürlich keine tips gegeben. wiederholt hat sie eben skalares produkt, normalprojektionen, kreuzprodukt etc.
so, dann wollt ich noch sagn, dass man vll. mit dem oct-tree aussagen darüber treffen kann, wieviel von welchem objekt zu sehen ist - wenn sie kollidieren. kann das sein?
vor allem danke, dass du dir soviel mühe gibst und zeit nimmst, uns das leben zu erleichtern!
liebe grüße,
jasmin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:32 Sa 22.04.2006 | | Autor: | Andrey |
| Aufgabe | Ursprüngliche Aufgabe:
Gegeben ist ein Würfel, von dessen Flächen die Normalvektoren gegeben sind. Weiters ist ein Sichtstrahl (=Vektor) gegeben, der auf den Würfel gerichtet ist. Welche Flächen, und was von den Flächen ist sichtbar?
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Oops, sry, bei dieser "leicht vereinfachten" :D aufgabenstellung hatte ich echt ein paar probleme darauf zu kommen, dass es darum geht, den ganzen raum mit nem octree in unterräume zu unterteilen, um schnell feststellen zu können, ob objekte (bzw dreiecke) sichtbar sind oder nicht. Habe zwar noch kein programm geschrieben, das dieses octree-space-partitioning-verfahren verwendet, aber ich glaube, dass dabei der ganze raum mit den ganzen enthaltenen dreiecken in unterräume unterteilt wird, und falls man feststellt, dass ein ganzer unterraum komplett unsichtbar ist, dann werden alle darin enthaltene dreicke einfach nicht mehr berücksichtigt (wozu tausende vertizes projezieren, wenn man eh schon weiss, dass sie alle unsichtbar sind?) Falls ein teilraum doch noch teilweise zu sehen ist, wird er rekursiv in weitere acht teilräume unterteilt usw usw usw... das erspart menge rechenzeit (wenn ein zur projektionsebene sehr naher würfel die halbe szene überdeckt, wird eben die hälfte der dreiecke erst gar nicht projeziert)
Aber irgendwie kann ich mir kaum vorstellen, dass ihr solche berechnungen mit bleistiften und taschenrechnern durchführen müsst: viel zu zeitaufwendig. Ausserdem ist (mir zumindest) nicht ganz klar, was man mit diesem verfahren bei gerade mal 16 dreiecken berechnen will.
Oder geht es doch um kollisionserkennung mit dem octree?
Oder geht es allgemein um octrees?
Wie sicher bist du denn, dass ihr bei solchen aufgaben tatsächlich irgendetwas ausrechnen müsst?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:26 Sa 22.04.2006 | | Autor: | kresse |
grundsätzlich war von mit geplant, auf ein einfaches bsp eine einfache antwort zu bekommen (und im weiter mit den andren auf unser großes problem zu schließen), deswegen hab ich den ganzen background weggelassen :)
aaalso: grundsätzlich kriegn wir (vermutlich oder hoffentlich - weil wir uns schon soviel damit auseinander gesetzt habn) 2 objekte, die mit dem octtree darzustelln sind - dazu haben wir schon übungen gemacht, war auch nicht wirklich das problem wenn mans mal behirnt hat. mit dem octtree soll dann festgestellt werdn ob: berührung, kollision, oder gar kein aneinanderstoßen der objekte vorhanden ist - das is schätzomativ der erste aufgabenteil, den wir, wie gesagt, schon gelöst haben - und somit ist deine frage, ob es allgemein um octtrees beantwortet
dass wir was ausrechnen müssen, ist ziemlich sicher - sonst hättn wir die vektorrechnung nicht wiederholt. was wir ebn berechnen werdn müssn ist, welche flächen der objekte, wieviel/wie sichtbar sind, und wenn sie verdecken, wie sie dann ausschauen. und das ganze ebn mit geometrisch einfachen körpern - und das war ja eigendlich meine ursprüngliche frage :)
hoffe, deine fragen sind jetzt beantwortet!
lg, jasmin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:26 So 23.04.2006 | | Autor: | Andrey |
sry jasmin, ich glaube ich geb's auf, weil ich nach wie vor keinen sinn darin sehe, bei einer kollision eines würfels mit einem tetraeder überhaupt irgendwelche octrees anzuwenden.
So wie ich das bischer kennengelernt habe, ist es erst dann nützlich, wenn man gerade zwei total zertrümmerte und deformierte und überhaupt extrem kompliziert aussehende raumschiffmodelle miteinander kollidieren lässt, damit man mit hilfe des octrees praktisch ohne etwas zu berechnen millionenweise dreiecke rausschmeisst, bei den man sicher ist, dass sie an der kollision nicht teilnehmen. So wie das jetzt aber aussieht, hat das auch nicht viel mit eurer aufgabe zu tun.
Denn du hast etwas von der "darstellung eines einfachen 3D-objekts mit einem octree" geschrieben, und ab diesem punkt glaube ich eben, dass ich nicht wirklich derjenige bin, der dir und deiner klasse bei dieser aufgabe helfen kann, denn darunter kann ich mir im moment nichts konkretes vorstellen, was wahrscheinlich daran liegt, dass ich zu diesem thema nur oberflächliches wissen besitze, da ich das noch nie in der schule durchgehen musste oder ähnliches (bin ja schliesslich auch ein einfacher möchtegern-computerfreak aus der zwölften heheh :D , da die aufgabe ursprünglich etwas einfacher lautete, habe ich das problem ebn bissl unterschätzt :-/ :D )
Ich würde deswegen vorschlagen, die aufgabe schnell nochmal komplett, kurz und präzise zu formulieren, und wieder als offene frage ins forum zu stellen, wird sich bestimmt jemand finden, der sich damit wirklich auskennt.
gl hf... Andrey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Sa 29.04.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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