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| Aufgabe | Sei [mm] (\Omega,\mathcal{F},\IP) [/mm] ein Wahrscheinlichkeitsraum und [mm] $A,B,C\in \mathcal{F}$. [/mm] Beweisen sie die Siebformel
[mm] $\IP[A\cup B\cup C]=\IP[A]+\IP[B]+\IP[C]-\IP[A\cap B]-\IP[A\cap C]-\IP[B\cap C]+\IP[A\cap B\cap [/mm] C]$ |
Bei zwei Mengen ist das einfach, da
[mm] $A=(A\backslash B)\cup (A\cap [/mm] B)$
Aber bei drei Mengen wird es da schon schwieriger.
[mm] $A=(A\backslash((B\cup C)\backslash(B\cap C)))\cup(A\cap (B\backslash C))\cup(A\cap(C\backslash B))\cup(A\cap B\cap [/mm] C)$
Stimmt das so??
Oder bringt mich das nicht weiter??
Wenn ich weiß, was A,B,C ist kann ich das mit den gängigen Rechenregeln für [mm] \IP[] [/mm] umformen, bis es passt oder??
Danke
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> Sei [mm](\Omega,\mathcal{F},\IP)[/mm] ein Wahrscheinlichkeitsraum
> und [mm]A,B,C\in \mathcal{F}[/mm]. Beweisen sie die Siebformel
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> [mm]\IP[A\cup B\cup C]=\IP[A]+\IP[B]+\IP[C]-\IP[A\cap B]-\IP[A\cap C]-\IP[B\cap C]+\IP[A\cap B\cap C][/mm]
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> Bei zwei Mengen ist das einfach, da
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> [mm]A=(A\backslash B)\cup (A\cap B)[/mm]
Dann mach es doch genauso:
Schreib die "Siebformel" für zwei Mengen A,B' hin. Mit
[mm] $P(A\cup [/mm] B')=P(.)+P()+ ...-...$ (*)
Merk dir die Zeile.
Dann setzt du [mm] $B'=B\cup [/mm] C$ und wendest (*) auf die Summanden mit [mm] $P(B\cup [/mm] C)$ auf der rechten Seite nocheinmal an.
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> Aber bei drei Mengen wird es da schon schwieriger.
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> [mm]A=(A\backslash((B\cup C)\backslash(B\cap C)))\cup(A\cap (B\backslash C))\cup(A\cap(C\backslash B))\cup(A\cap B\cap C)[/mm]
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> Stimmt das so??
> Oder bringt mich das nicht weiter??
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> Wenn ich weiß, was A,B,C ist kann ich das mit den
> gängigen Rechenregeln für [mm]\IP[][/mm] umformen, bis es passt
> oder??
Den allgemeinen Fall [mm] $P(\bigcup A_i)$ [/mm] beweist man über die Induktion. Da benutzt mein eigentlich auch nur den Induktionsanfang für zwei Mengen.
Genauere Bezeichnung: Siebformel von Poincaré-Sylvester.
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> Danke
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