Siebformel < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Beweise NUR mit der Siebformel für 2 Ereignisse und elementaren Rechenregeln die Siebformel für drei Mengen [mm] A_1,A_2,A_3\subset\omega. [/mm] Fasse dabei [mm] A_1\cup A_2 [/mm] zunächst als eine Menge auf. |
Ich weiß nicht genau wie ich mit der Siebformel für 2 Mengen die Siebformel für 3 Mengen beweisen soll.
Die Siebformel für 3 Mengen muss ja lauten:
[mm] P(A_1\cup A_2\cup A_3)= P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)-P(A_1\cap A_2)-P(A_1\cap A_3)-P(A_2\cap A_3)+P(A_1\cap A_2\cap A_3)
[/mm]
der Beweis der Summenformel für 2 Mengen sollte auch kein Problem sein:
[mm] B_1:=A_1
[/mm]
[mm] B_2:=A_2 [/mm] \ [mm] A_1=A_1\ (P(A_1\cap A_2)
[/mm]
[mm] P(A_1\cup A_2)=P(B_1\cup B_2)
[/mm]
[mm] =P(B_1)+P(B_2)
[/mm]
[mm] =P(A_1)+P(A_1 [/mm] \ [mm] (A_1\cap A_2))
[/mm]
[mm] =P(A_1)+P(A_2)-P(A_1\cap A_2)
[/mm]
Aber wie beweise ich das jetzt mit 3 Mengen?
mathegirl
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Hallo mathegirl,
> Beweise NUR mit der Siebformel für 2 Ereignisse und
> elementaren Rechenregeln die Siebformel für drei Mengen
> [mm]A_1,A_2,A_3\subset\omega.[/mm] Fasse dabei [mm]A_1\cup A_2[/mm] zunächst
> als eine Menge auf.
> Ich weiß nicht genau wie ich mit der Siebformel für 2
> Mengen die Siebformel für 3 Mengen beweisen soll.
>
> Die Siebformel für 3 Mengen muss ja lauten:
>
> [mm]P(A_1\cup A_2\cup A_3)= P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)-P(A_1\cap A_2)-P(A_1\cap A_3)-P(A_2\cap A_3)+P(A_1\cap A_2\cap A_3)[/mm]
>
> der Beweis der Summenformel für 2 Mengen sollte auch kein
> Problem sein:
> [mm]B_1:=A_1[/mm]
> [mm]B_2:=A_2[/mm] \ [mm]A_1=A_1\ (P(A_1\cap A_2)[/mm]
>
> [mm]P(A_1\cup A_2)=P(B_1\cup B_2)[/mm]
> [mm]=P(B_1)+P(B_2)[/mm]
> [mm]=P(A_1)+P(A_\red{2}[/mm] \ [mm](A_1\cap A_2))[/mm]
> [mm]=P(A_1)+P(A_2)-P(A_1\cap A_2)[/mm]
>
> Aber wie beweise ich das jetzt mit 3 Mengen?
Nach Siebformel für zwei Mengen ist (Hinweis):
[mm] P(A_1\cup A_2\cup A_3)=P(A_1\cup A_2)+P(A_3)-P(A_3\cap(A_1\cup A_2))
[/mm]
Auf [mm] P(A_1\cup A_2) [/mm] und [mm] P(A_3\cap(A_1\cup A_2))=P((A_3\cap A_1)\cup(A_3\cap A_2)) [/mm] kannst du nochmal die Siebformel für zwei Mengen anwenden.
LG
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Ja, der Schritt war mir klar, dass ich [mm] (A_1\cup A_2) [/mm] als eine Menge auffassen muss. Aber wie soll man da weiter die Siebformel anwenden?
Das ist wohl ehr mein Problem hierbei. Ich kann ja eigentlich nur [mm] P(A_1\cup A_2) [/mm] als [mm] P(A_1)+P(A_2) [/mm] umschreiben, aber das ist ja dann keine weitere Anwendung der Siebformel.
Mathegirl
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> Ja, der Schritt war mir klar, dass ich [mm](A_1\cup A_2)[/mm] als
> eine Menge auffassen muss. Aber wie soll man da weiter die
> Siebformel anwenden?
Ich hab's doch schon hingeschrieben:
$ [mm] P(A_1\cup A_2\cup A_3)=P(A_1\cup A_2)+P(A_3)-P(A_3\cap(A_1\cup A_2)) [/mm] $
Ich hab auch geschrieben, wo du auf der rechten Seite nochmals die Siebformel verwenden kannst.
LG
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Das meine ich ja! ich weiß nicht wie ich da nochmal die Siebformel anwenden soll..steh echt aufm schlauch....
mathegirl
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> Das meine ich ja! ich weiß nicht wie ich da nochmal die
> Siebformel anwenden soll..steh echt aufm schlauch....
Ich fasse meine letzten beiden Antworten zusammen:
Was ist $ [mm] P(A_3\cap(A_1\cup A_2))=P((A_3\cap A_1)\blue{\cup}(A_3\cap A_2)) [/mm] $ und [mm] P(A_1\blue{\cup} A_2) [/mm] nach Siebformel?
Setze das in
$ [mm] P(A_1\cup A_2\cup A_3)=P(A_1\cup A_2)+P(A_3)-P(A_3\cap(A_1\cup A_2)) [/mm] $
ein. Nun wird es aber höchste Zeit, dass du selbst etwas tust.
LG
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[mm] P(A_1\cup A_2)=P(A_1)+P(A_2)-P(A_1\cap A_2)
[/mm]
[mm] P(A_3\cap A_1)\cup P(A_3\cap A_2)= P(A_1\cap A_3)-P(A_2\cap A_3)
[/mm]
Wenn man das einsetzt fehlt aber noch [mm] P(A_1\cap A_2\cap A_3)
[/mm]
Die Frage ist nur, wo nehme ich das noch her?
mathegirl
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> [mm]P(A_1\cup A_2)=P(A_1)+P(A_2)-P(A_1\cap A_2)[/mm]![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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> [mm]P(A_3\cap A_1)\cup P(A_3\cap A_2)= P(A_1\cap A_3)-P(A_2\cap A_3)[/mm]
Nein! Da hast du doch keine Siebformel verwendet.
[mm] P((A_3\cap A_1)\red{\cup} P(A_3\cap A_2))= P(A_1\cap A_3)+P(A_2\cap A_3)-P(A_1\cap A_2\cap A_3)
[/mm]
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> Wenn man das einsetzt fehlt aber noch [mm]P(A_1\cap A_2\cap A_3)[/mm]
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> Die Frage ist nur, wo nehme ich das noch her?
>
> mathegirl
LG
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