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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:28 Mo 01.11.2010 | | Autor: | etoxxl |
| Aufgabe | Seien X,Y Mengen, f: X [mm] \to [/mm] Y eine Abbildung und [mm] \mathcal{A} [/mm] eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] in X.
Zeigen Sie, dass [mm] \mathcal{A}_f [/mm] := { B [mm] \in \mathcal{P}(Y) [/mm] | [mm] f^{-1}(B) \in \mathcal{A} [/mm] } eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] in Y ist. |
Hallo,
ich habe angefangen zu überlegen, wie ich zeigen kann dass [mm] \emptyset \in \mathcal{A}_f [/mm] gilt. Allerdings komme ich da einfach nicht weiter.
Kann es sein, dass der Aufgabe eine weitere Eigenschaft fehlt, die z.B beschreibt, was f für eine Funktion ist. ( linear, stetig, etc)
Es gilt ja [mm] \emptyset \in \mathcal{P}(Y)
[/mm]
aber wie kann ich folgern dass [mm] f^{-1}(\emptyset) \in \mathcal{A} [/mm] ist?
Ich weiss doch nichts über die Abbildung f.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:14 Mo 01.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Seien X,Y Mengen, f: X [mm]\to[/mm] Y eine Abbildung und
> [mm]\mathcal{A}[/mm] eine [mm]\sigma-Algebra[/mm] in X.
> Zeigen Sie, dass [mm]\mathcal{A}_f[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= { B [mm]\in \mathcal{P}(Y)[/mm] |
> [mm]f^{-1}(B) \in \mathcal{A}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} eine [mm]\sigma-Algebra[/mm] in Y ist.
> Hallo,
>
> ich habe angefangen zu überlegen, wie ich zeigen kann dass
> [mm]\emptyset \in \mathcal{A}_f[/mm] gilt. Allerdings komme ich da
> einfach nicht weiter.
> Kann es sein, dass der Aufgabe eine weitere Eigenschaft
> fehlt, die z.B beschreibt, was f für eine Funktion ist. (
> linear, stetig, etc)
>
> Es gilt ja [mm]\emptyset \in \mathcal{P}(Y)[/mm]
> aber wie kann ich
> folgern dass [mm]f^{-1}(\emptyset) \in \mathcal{A}[/mm] ist?
> Ich weiss doch nichts über die Abbildung f.
Du kannst [mm] $f^{-1}(\emptyset)$ [/mm] ausrechnen, ohne irgendetwas ueber $f$ zu wissen. (Ausser das es eine Funktion ist.) Versuch es doch mal, z.B. mit Hilfe der Definition von [mm] $f^{-1}$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 Mo 01.11.2010 | | Autor: | etoxxl |
Die Definition von [mm] f^{-1} [/mm] in diesem Fall:
Für B [mm] \subset \mathcal{P} [/mm] gilt [mm] f^{-1}(B) [/mm] = { x [mm] \in [/mm] X | f(x) [mm] \in [/mm] B }
Dann gilt für [mm] \emptyset: f^{-1}(\emptyset) [/mm] = { x [mm] \in [/mm] X | f(x) [mm] \in \emptyset [/mm] } = [mm] \emptyset \in \mathcal{A} [/mm] , da es keine Elemente der leeren Menge gibt.
Nun möchte ich eine weitere Eigenschaft zeigen:
Y [mm] \subset \mathcal{ A}_{f}
[/mm]
[mm] f^{-1}(Y) [/mm] = { x [mm] \in [/mm] X | f(x) [mm] \in [/mm] Y } = X [mm] \in \mathcal{A}
[/mm]
Darf ich das: { x [mm] \in [/mm] X | f(x) [mm] \in [/mm] Y } = X wirklich behaupten ohne zu wissen, ob f surjektiv ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:43 Mo 01.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Die Definition von [mm]f^{-1}[/mm] in diesem Fall:
>
> Für B [mm]\subset \mathcal{P}[/mm] gilt
Du meinst entweder $B [mm] \in \mathcal{P}(Y)$ [/mm] oder $B [mm] \subseteq [/mm] Y$.
> [mm]f^{-1}(B)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { x [mm]\in[/mm] X |
> f(x) [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
B }
>
> Dann gilt für [mm]\emptyset: f^{-1}(\emptyset)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { x [mm]\in[/mm] X |
> f(x) [mm]\in \emptyset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} = [mm]\emptyset \in \mathcal{A}[/mm] , da es
> keine Elemente der leeren Menge gibt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nun möchte ich eine weitere Eigenschaft zeigen:
> Y [mm]\subset \mathcal{ A}_{f}[/mm]
Du meinst $Y [mm] \in \mathcal{A}_f$!
[/mm]
> [mm]f^{-1}(Y)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { x [mm]\in[/mm] X | f(x)
> [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Y } = X [mm]\in \mathcal{A}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Darf ich das: { x [mm]\in[/mm] X | f(x)
> [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Y } = X wirklich behaupten ohne zu wissen, ob f
> surjektiv ist?
Das hat doch nichts damit zu tun, ob $f$ surjektiv ist.
Es ist doch $\{ x \in X \mid f(x) \in Y \} = X$, da fuer jedes $x \in X$ gilt $f(x) \in Y$: schliesslich ist $f$ eine Funktion von $X$ nach $Y$.
LG Felix
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