Sigma-Algebra (2) < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:56 Di 25.10.2011 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Seien [mm] \Omega [/mm] und [mm] \Omega' [/mm] beliebige nichtleere Mengen. [mm] \mathcal{A}' [/mm] sei eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] über [mm] \Omega' [/mm] und [mm] T:\Omega\to\Omega'.
[/mm]
Zeigen Sie: Das Mengensystem [mm] T^{-1}(\mathcal{A}'):=\{T^{-1}(A') | A' \in \mathcal{A}' \} [/mm] ist eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] über [mm] \Omega. [/mm] |
Hallo!
Also, muss ich hier folgendes zeigen?
(i) [mm] \Omega \in T^{-1}(\mathcal{A}')
[/mm]
(ii) [mm] T^{-1}(A') \in T^{-1}(\mathcal{A}') \Rightarrow \overline{T^{-1}(A')}=\Omega\backslash T^{-1}(A') \in T^{-1}(\mathcal{A}')
[/mm]
(iii) [mm] T^{-1}(A_{n}')_{n\in\IN} \in T^{-1}(\mathcal{A}') \Rightarrow \bigcup_{i=1}^{n}T^{-1}(A_{n}') \in T^{-1}(\mathcal{A}')
[/mm]
Oder liege ich da schon daneben?
Erstmal habe ich mir überlegt, dass [mm] T^{-1} [/mm] von [mm] \Omega' [/mm] auf [mm] \Omega [/mm] abbildet. Heisst doch, es gibt eine Potenzmenge A von [mm] \Omega [/mm] mit [mm] T^{-1}(\matcal{A}')=A [/mm] ... oder?
Sind erstmal nur überlegungen.. bin für jeden tipp dankbar!
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:06 Di 25.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Seien [mm]\Omega[/mm] und [mm]\Omega'[/mm] beliebige nichtleere Mengen.
> [mm]\mathcal{A}'[/mm] sei eine [mm]\sigma-Algebra[/mm] über [mm]\Omega'[/mm] und
> [mm]T:\Omega\to\Omega'.[/mm]
> Zeigen Sie: Das Mengensystem
> [mm]T^{-1}(\mathcal{A}'):=\{T^{-1}(A') | A' \in \mathcal{A}' \}[/mm]
> ist eine [mm]\sigma-Algebra[/mm] über [mm]\Omega.[/mm]
> Hallo!
>
> Also, muss ich hier folgendes zeigen?
>
> (i) [mm]\Omega \in T^{-1}(\mathcal{A}')[/mm]
Ja
> (ii) [mm]T^{-1}(A') \in T^{-1}(\mathcal{A}') \Rightarrow \overline{T^{-1}(A')}=\Omega\backslash T^{-1}(A') \in T^{-1}(\mathcal{A}')[/mm]
Ja, kürzer:
$A [mm] \in T^{-1}(\mathcal{A}') \Rightarrow \overline{A} \in T^{-1}(\mathcal{A}')$
[/mm]
>
> (iii) [mm]T^{-1}(A_{n}')_{n\in\IN} \in T^{-1}(\mathcal{A}') \Rightarrow \bigcup_{i=1}^{n}T^{-1}(A_{n}') \in T^{-1}(\mathcal{A}')[/mm]
Ich hab Dir heute schon mal was zu Deiner schlampigen Schreibweise gesagt!
Ist [mm] (A_n) [/mm] eine Folge in [mm] T^{-1}(\mathcal{A}'), [/mm] so mußt Du zeigen: [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \in T^{-1}(\mathcal{A}')
[/mm]
>
> Oder liege ich da schon daneben?
>
> Erstmal habe ich mir überlegt, dass [mm]T^{-1}[/mm] von [mm]\Omega'[/mm] auf
> [mm]\Omega[/mm] abbildet.
Unfug ! Die Umkehrabbildung von T muß nicht existieren !!
Wie ist denn die Menge [mm] T^{-1}(A') [/mm] für A' [mm] \in \mathcal{A'} [/mm] definiert ??
> Heisst doch, es gibt eine Potenzmenge A
> von [mm]\Omega[/mm] mit [mm]T^{-1}(\matcal{A}')=A[/mm] ... oder?
Völliger Quatsch !
FRED
>
> Sind erstmal nur überlegungen.. bin für jeden tipp
> dankbar!
>
> Vielen Dank!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 Di 25.10.2011 | | Autor: | chesn |
Danke erstmal.. leider komme ich grad gar nicht weiter [mm] :\
[/mm]
was meinst du mit wie die Menge $ [mm] T^{-1}(A') [/mm] $ für A' $ [mm] \in \mathcal{A'} [/mm] $ definiert ist?
dazu habe ich nur: $ [mm] T^{-1}(\mathcal{A}'):=\{T^{-1}(A') | A' \in \mathcal{A}' \} [/mm] $
kannst du mir sagen wie ich auf [mm] \Omega \in T^{-1}(\mathcal{A}) [/mm] komme?
ich glaube wenn ich das erstmal kapiert habe kriege ich auch den rest hin.
wäre nett.. dankeschön schonmal. :]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 Di 25.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Danke erstmal.. leider komme ich grad gar nicht weiter [mm]:\[/mm]
>
> was meinst du mit wie die Menge [mm]T^{-1}(A')[/mm] für A' [mm]\in \mathcal{A'}[/mm]
> definiert ist?
>
> dazu habe ich nur: [mm]T^{-1}(\mathcal{A}'):=\{T^{-1}(A') | A' \in \mathcal{A}' \}[/mm]
>
> kannst du mir sagen wie ich auf [mm]\Omega \in T^{-1}(\mathcal{A})[/mm]
> komme?
> ich glaube wenn ich das erstmal kapiert habe kriege ich
> auch den rest hin.
>
> wäre nett.. dankeschön schonmal. :]
Allgemein: Ist $f:X [mm] \to [/mm] Y$ eine Abbildung , so ist für B [mm] \subset [/mm] Y:
[mm] $f^{-1}(B):=\{x \in X: f(x) \in B\}$
[/mm]
Noch nie gesehen ?
Jetzt mach Dir klar:
[mm] T^{-1}(\Omega')= \Omega.
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:15 Mi 26.10.2011 | | Autor: | chesn |
Danke! Das konnte ich soweit nachvollziehen.
(i) [mm] \Omega \in T^{-1}(\mathcal{A}') [/mm] zu zeigen ist damit trivial.
(ii) zz: A [mm] \in T^{-1}(\mathcal{A}') \Rightarrow \overline{A} \in T^{-1}(\mathcal{A}')
[/mm]
Hierzu ziehe ich das [mm] \Omega [/mm] ran: [mm] \Omega \in T^{-1}(\mathcal{A}') \Rightarrow \overline{\Omega}=\Omega\backslash\Omega=\emptyset \in T^{-1}(\mathcal{A}') [/mm] - darf ich das so?
(iii) Durch vollständige Induktion: (damit habe ich noch probleme, aber versuchs mal..)
Behauptung: [mm] A_n [/mm] ist eine Folge in [mm] T^{-1}(\mathcal{A}') \Rightarrow \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \in T^{-1}(\mathcal{A}')
[/mm]
Anfang für n=1: [mm] A_1 \in T^{-1}(\mathcal{A}') \Rightarrow\bigcup_{n=1}^{\infty}A_1=A_1 \in T^{-1}(\mathcal{A}')
[/mm]
Schritt: [mm] A_{n+1} \in T^{-1}(\mathcal{A}') \Rightarrow \bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n+1}=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n} \cup A_{n+1}=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n} \in T^{-1}(\mathcal{A}')
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Behauptung. [mm] \Box
[/mm]
Bitte um Korrektur. :)
Danke schonmal!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:28 Mi 26.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Danke! Das konnte ich soweit nachvollziehen.
>
> (i) [mm]\Omega \in T^{-1}(\mathcal{A}')[/mm] zu zeigen ist damit
> trivial.
Glückwunsch !
>
> (ii) zz: A [mm]\in T^{-1}(\mathcal{A}') \Rightarrow \overline{A} \in T^{-1}(\mathcal{A}')[/mm]
>
> Hierzu ziehe ich das [mm]\Omega[/mm] ran: [mm]\Omega \in T^{-1}(\mathcal{A}') \Rightarrow \overline{\Omega}=\Omega\backslash\Omega=\emptyset \in T^{-1}(\mathcal{A}')[/mm]
> - darf ich das so?
Natürlich nicht !
Das
A [mm]\in T^{-1}(\mathcal{A}') \Rightarrow \overline{A} \in T^{-1}(\mathcal{A}')[/mm]
sollst Du zeigen. Nicht mehr und nicht weniger.
>
> (iii) Durch vollständige Induktion:
Nein. Induktion ist völliger Quatsch !
> (damit habe ich noch
> probleme, aber versuchs mal..)
>
> Behauptung: [mm]A_n[/mm] ist eine Folge in [mm]T^{-1}(\mathcal{A}') \Rightarrow \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \in T^{-1}(\mathcal{A}')[/mm]
>
> Anfang für n=1: [mm]A_1 \in T^{-1}(\mathcal{A}') \Rightarrow\bigcup_{n=1}^{\infty}A_1=A_1 \in T^{-1}(\mathcal{A}')[/mm]
>
> Schritt: [mm]A_{n+1} \in T^{-1}(\mathcal{A}') \Rightarrow \bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n+1}=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n} \cup A_{n+1}=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n} \in T^{-1}(\mathcal{A}')[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Behauptung. [mm]\Box[/mm]
>
> Bitte um Korrektur. :)
Bitte:
Sei $ [mm] A_n [/mm] $ ist eine Folge in $ [mm] T^{-1}(\mathcal{A}')$. [/mm] Dann gibt es eine Folge [mm] (A_n') [/mm] in [mm] \mathcal{A'} [/mm] mit
[mm] A_n=T^{-1}(A_n')
[/mm]
Fragen an Dich:
1. Was weißt Du über [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n' [/mm] ?
2. Es gilt
[mm] \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n [/mm] blablablubber [mm] T^{-1}(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n' [/mm] ).
Wie bei Günther Jauch:
blablablubber steht für ?
A: ist grüner als B: ist größer als
C: = D ist die schönere Menge als
FRED
>
> Danke schonmal!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 Mi 26.10.2011 | | Autor: | chesn |
Danke für Deine schnelle Antwort!
Erstmal dazu:
$ A [mm] \in T^{-1}(\mathcal{A}') \Rightarrow \overline{A} \in T^{-1}(\mathcal{A}') [/mm] $
Reicht es evtl. zu sagen, dass $ [mm] \Omega\backslash [/mm] A [mm] \subset \Omega [/mm] $ und wegen [mm] \Omega \in T^{-1}(\mathcal{A}') [/mm] folgt:
$ [mm] \Omega\backslash [/mm] A $ [mm] \in T^{-1}(\mathcal{A}') [/mm] ?
Danke!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:08 Mi 26.10.2011 | | Autor: | fred97 |
Mann, wieviel Steilvorlagen brauchst Du noch ?
Sei A [mm] \in T^{-1}(\mathcal{A'}). [/mm] Dann ex. ein A' [mm] \in \mathcal{A'} [/mm] mit
[mm] A=T^{-1}(A').
[/mm]
Was weißt Du über [mm] \overline{A'} [/mm] ? und was weißt Du über blablablubber in
[mm] \overline{A} [/mm] blablablubber [mm] T^{-1}(\overline{A'}). [/mm] ?
FRED
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