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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:15 Fr 19.10.2007 | | Autor: | DOKTORI |
| Aufgabe | | Geben Sie auf der Menge [mm] A=\{ 1, 2, 3 \} [/mm] zwei sigma Algebren, so dass die Vereinigung von diesen sigma Algebren keine sigma Algebra ist. |
Hat jemand eine Idee wie man sie bauen kann?
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Hallo DOKTORI,
so sehr viele Möglichkeiten, aus [mm] $A=\{1,2,3\}$ [/mm] eine [mm] \sigma [/mm] - Algebra zu "basteln" gibt es ja nicht 
Was wissen wir?
[mm] $\mathcal{A}$ [/mm] ist eine [mm] \sigma [/mm] - Algebra für $A$ ist, wenn gilt:
(1) [mm] $\emptyset,A\in\mathcal{A}$
[/mm]
(2) [mm] $A\in\mathcal{A}\Rightarrow A^c\in\mathcal{A}$ [/mm] (das Komplement muss drin sein)
(3) [mm] $A_i\in\mathcal{A}\Rightarrow\bigcup\limits_{i\in\IN}A_i\in\mathcal{A}$ [/mm] (abzählbare Vereinigung muss drin sein)
Basteln wir mal eine:
[mm] $A_1:=\{\emptyset,\{1,2,3\},\{1\},\{2,3\}\}$
[/mm]
Hier sind [mm] \emptyset,\{1,2,3\} [/mm] und [mm] \{1\},\{2,3\} [/mm] jeweils Komplemente zueinander
Ganz ähnlich kannst du ein [mm] $A_2$ [/mm] konstruieren.
Es müssen ja wieder in [mm] $A_2$ [/mm] die Mengen [mm] $\emptyset,\{1,2,3\}$ [/mm] drin sein.
Spiel ein wenig mit dem anderen "Komplementpaar"
Dann vereinige mal: [mm] $A_1\cup A_2$
[/mm]
Dann schaue mal, ob für diese Vereinigung (1)-(3) wohl noch gelten...
Hilft's weiter?
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 18:29 Fr 19.10.2007 | | Autor: | DOKTORI |
Vielen Dank
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